人教版九年级数学下册全册教案及教学反思

第二十六章反比例函数

26.1反比例函数

26.1.1反比例函数

¥教学目标

【知识与技能】

1.理解反比例函数的意义.

2.能够根据已知条件确定反比例函数的解析式.

【过程与方法】

经历从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程中，体会反

比例函数来源于生活实际，并确定其解析式.

【情感态度】

经历反比例函数的形成过程，体验函数是描述变量关系的重

要数学模型，培养学生合作交流意识和探索能力.

【教学重点】

理解反比例函数的意义，确定反比例函数的解析式

【教学难点】

反比例函数解析式的确定.

产教学亘程

一了情境导入，初步认识

问题京沪线铁路全程为1463km,乘坐某次列车所用时

间t（单位：h）随该次列车平均速度v（单位：km/h）的变化而

变化,速度v和时间t的对应关系可用怎样的函数式表示？

【教学说明】教师提出问题，学生思考、交流，予以回答.

教师应关注学生能否正确理解路程一定时，运行时间与运行

速度两个变量之间的对应关系，能否正确列出函数关系式，

对有困难的同学教师应及时予以指导.

二、思考探究，获取新知

问题1某住宅小区要种植一个面积为1000m?的长方形

草坪，草坪的长为y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变

化，你能确定y与x之间的函数关系式吗？

问题2已知北京市的总面积为1.68X10,平方千米，

人均占有的土地面积S（单位平方千米/人）随全市人口n（单

位:人）的变化而变化，则S与n的关系式如何？说说你的理

由.

思考观察你列出的三个函数关系式，它们有何特征，

不妨说说看看.

【教学说明】学生相互交流，探寻三个问题中的三个函数

关系式，教师再引导学生分析三个函数的特征，找出其共性,

引入新知.

反比例函数：形如y=±（k#0）的函数称为反比例函数,

X

其中X是自变量，y是X的函数，自变量X的取值范围是不等

于0的一切实数.

试一试

下列问题中，变量间的对应关系，可用怎样的函数解析

式表示？

（1）一个游泳池的容积为2000m3,注满游泳池所用的时间

t（单位:h）随注水速度v（单位：m7h）的变化而变化；

（2）某长方体的体积为1000cm3,长方体的高h（单位：cm）

随底面积S（单位：cm?）的变化而变化.

（3）一个物体重100牛，物体对地面的压强尸随物体与地

面的接触面积S的变化而变化.

【教学说明】学生独立完成（1）、（2）、（3）题，教师巡视，

关注学生完成情况，肯定他们的成绩，提出个别同学问题，

帮助学生加深对构建反比例函数模型的理解.

三、典例精析，掌握新知

例1已知y是x的反比例函数，当％=2时,y=6.

（1）写出y与％之间的函数解析式；

⑵当x=4时，求y的值.

【分析】由于y是x的反比例函数，故可说其表达式为y

=-，只须把x=2,y=6代入，求出左值，即可得y=",

XX

再把％=4代入可求出y=3.

【教学说明】本例展示了确定反比例函数表达式的方程,

教师在评讲时应予以强调.在评讲前，仍应让学生自主探究，

完成解答，锻炼学生分析问题，解决问题的能力.

例2如果y是z的反比例函数，z是x的正比例函数,

且那么y与x是怎样的函数关系？

【分析】因为y是z的反比例函数，故可设y=&（%

Z

WO）,又z是％的正比例函数，则可设z=k2x（%2#0）

xWO,y=—.

k2x

女产0,k2H0,.••30,故y=2是y关于X的反比例函数.

k2k2x

【教学说明】本例仍可让学生先独立思考，然后相互交

流探索结论.最后教师予以评讲，针对学生可能出现的问题

（如设：y=-,z=近时没有区分比例系数）予以强调，并

X

对题中xWO的条件的重要性加以解释，帮助学生加深对反比

例函数意义的理解.

四、运用新知，深化理解

1.下列哪个等式中y是x的反比例函数？

y=4x,—=3,y=6x+l,xy=123.

x

2.已知y与x,成反比例,并且当x=3时,y=4.

(1)写出y和x之间的函数关系式,y是x的反比例函数

吗？

(2)求出当x=1.5时y的值.

【教学说明】让学生通过对上述两道题的探究，加深对

反比例函数意义的理解，增强确定反比例函数表达式的解题

技能，教师巡视，再给出答案并解决易错点.在完成上述题目

后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部

分.

【答案】1.只有等式xy=123中，y是x的反比例函数.

2.解：(1)由题知可设y=y=与,x=3时y=4,

k=4X9=36,即y=*，y不是x的反比例函数.

x

(2)y=^$,x=l.5时，y=———=16.

X'1.5x1,5

五、师生互动，课堂小结

1.知识回顾.

2.谈谈这节课你有哪些收获？

【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本

节知识，理清解题思路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同

探讨解决，对少数同学还面临的问题，可让学生与同伴交流

获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，

及时查漏补缺.

评后作业

L布置作业：入教材“习题26.1”中选取.

2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.

户数学反思

,反比例函数是初中学习阶段的第二种函数类型.因此本

课时教学仍然是从实际问题入手，充分利用已有的生活经验

和背景知识，注意挖掘问题中变量的相互关系及变化规律，

逐步加深理解.在概念的形成过程中，从感性认识到理性认识

一旦建立，即已摆脱其原型成为数学对象.反比例函数具有丰

富的数学含义，可以利用它通过举例、说理、讨论等活动，

感知数学眼光，审视某些实际现象.

此外，教师在例题的处理上，应要求学生将解题步骤写

完整.

26.1.2反比例函数的图象和性质

第1课时反比例函数的图象和性质(1)

教与目标

【知识与技能】

1.会用描点法画反比例函数的图象；

2.理解反比例函数的性质.

【过程与方法】

经历实验操作、探索思考、观察分析的过程中，培养学

生探究、归纳及概括的能力.

【情感态度】

在通过画图探究反比例函数图象及其性质过程中，发展

学生的合作交流意识，增强求知欲望.

【教学重点】

画反比例函数图象，理解反比例函数的简单性质

【教学难点】

理解反比例函数性质，能用性质解决简单的问题.

教学亘程

一;一情境导入，前步认识

问题我们知道，一次函数y=6x的图象是一条直线，

那么反比例函数y=9的图象是什么形状呢？你能用“描点”

X

的方法画出函数的图象？

【教学说明】教师提出问题，学生思考、交流，尝试着

解决问题，教师巡视，关注学生的画图，及时纠正个别同学

在画图中的不足和失误之处，帮助学生尽可能得到其合适的

图象.

二、思考探究，获取新知

问题1在同一坐标系中画出反比例函数y=9和丫=乜

XX

的图象；

【教学说明】将全班同学分成两大组，分别完成问题y

=->丫=乜的画图，在学生探索画反比例函数的图象过程中，

xX

教师应给予恰当点拨：如学生列表时，由于自变量xWO,故

在x<0和x>0时，应各取三个以上的数据，以便使描点画

图更精确些；在连线上，x<0和x>0的两个分支应根据变

化趋势用平滑曲线连接，但它们是不能相交的；列表中数据，

描点时点的位置等不能出错，以保证图象更能反映出反比例

函数的性质.

问题2反比例函数y=-9和y=-"的图象有什么共同

XX

特点？它们之间有什么关系？反比例函数y=9和y=-9的

XX

图象呢？同学间相互交流.

【教学说明】让两组同学分别交流，找出图象的特征，

教师可分别参与讨论，帮助学生获取正确认知.

【归纳结论】由图象可发现：（1）它们都是由两条曲线组

成，并且随|x|的不断增大(或减小)，曲线越来越接近X轴

(或y轴)，但这两条曲线永不相交；(2)y=9和y=-9及

XX

y=上1?和y〜1上2的图象分别关于x轴对称，也关于y轴对

XX

称.

思考观察函数y=9和y=-9以及y=丝和y=_乜

XXXX

的图象.

(1)你能发现它们的共同特征以及不同点吗？

(2)每个函数的图象分别位于哪几个象限？

(3)在每个象限内y随x的变化如何变化？

【归纳结论】反比例函数y=-的图象及其性质：

X

(1)反比例函数y='(Z为常数，且女工0)的图象是双曲

X

线.

(2)当k>0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象

限，在每个象限内，y随x值的增大而减小；

(3)当kVO时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象

限，在每个象限内y随x值的增大而增大.

三、典例精析，掌握新知

例如图，一次函数y=kx十b的图象与反比例函数y

=-的图象相交于A、B两点.

X

(1)根据图象，分别写出A、B的坐标；

(2)求出两函数的解析式；

(3)根据图象回答：当x为何值时，一次函数的

函数值大于反比例函数的函数值.

【分析】(1)观察图象，可直接写出/、8两点的坐标；(2)

利用从8两点的坐标，用待定系数法建立方程组求解，可确

定两函数的解析式；(3)通过两函数的交点从3的坐标得出

答案.

解：(1)观察图象可知4(-6,-2),B(4,3)

⑵由点B在反比例函数y=依的图象上，所以把8(4,3)

X

代入y二'得3='，故机工12,所以y二上.由点力、夕在

x4x

一次函数y=kx+b的图象上，所以把A.方两点坐标代入y=

比解得k=-

kx十b得v2.

b=1

所以一次函数解析式为y=-x+1.

2

(3)由图象可知，当一6Vx<0或x>4时，一次函数的函

数值大于反比例函数的函数值.

【教学说明】本例有一定难度，教师可将题目展开，分

步讲解，辅导学生克服对大题的恐惧.本题考查了从图象获取

信息，应用待定系数法确定反比例函数与一次函数的关系式,

以及利用图象比较函数值的大小等知识点.

四、运用新知，深化理解

1.若反比例函数y=网匚的图象的一个分支在第三象

X

限，则机的取值范围是.

2.如图是某一函数的一部分，则这个函数的表达式可能是

()

A.y=5x

B.y=-x+3

C.y=-—

x

4

D.y=—

x

【教学说明】学生独立完成，然后相互交流，谈谈自己

的看法，教师应参与学生的讨论，加深学生对反比例函数的

图象及其性质的认识和理解，从而更好地掌握本节知识.在完

成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名

师导学”部分.

【答案】1.机2.C

2

五、师生互动，课堂小结

本节课学习了哪些知识？在知识应用过程中需要注意什

么？你有哪些收获？

.>课后作业

'1.布置作M从教材“习题26.1”中选取.

2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.

教学反思

-“反比例函薮的图象和性质”是反比例函数的教学重点,

学生需要在理解的基础上熟练运用.

在学习反比例函数图象和性质时k>0时，双曲线的两个

分支在一、三象限；kVO时，双曲线的两个分支在二、四象

限)，学生可由画法观察图象得知.而增减性由解析式y

=-{kHO)可得到，学生也容易理解.但从图象观察增减性较

X

难，借助计算机的动态演示就容易多了，所以本课教学最好

用多媒体，因为运用多媒体比较函数图象，可以使学生更直

观、更清楚地看清函数的变化，从而使学生加深对函数性质

的理解.

通过本课的教学，教师可深刻地体会到运用信息技术可

加强数学课堂教学中的灵活性、直观性.虽然制作起来比较

麻烦，但能使课堂教学达到预想不到的效果，使课堂教学效

率也明显提高.

第2课时反比例函数的图象和性质(2)

“曾教学目标

【知识与技能】一

理解并掌握反比例函数的图象和性质，能灵活运用性质

解决具体问题.

【过程与方法】

在运用反比例函数的图象及其性质解决具体问题过程

中，进一步增强学生分析问题，解决问题的能力.

【情感态度】

在运用所学新知识解决具体问题过程中，体验成功的快

乐，激发学习兴趣.

【教学重点】

灵活运用反比例函数性质解决问题.

【教学难点】

反比例函数的增减性的描述及其与,=人中人的对应关

X

系.

教学亘程

一「情境导入，初步认识

问题(1)反比例函数y=4(Z¥0)的图象及其性质如

X

何，不妨说说看.

(2)反比例函数在各自象限内的增减性与y=-(女工())

X

中々的对应关系如何？与同伴交流，谈谈你的看法.

【教学说明】学生相互交流，温习回顾上节知识，为本

节的应用作铺垫，教师可予以总结，加深学生认知.

二、思考探究，获取新知

反比例函数的性质主要研究它的图象的位置和函数值的

增减情况，列表归纳如下：

反比例函数k

y=—(ZwO)

X

k的符号k>0k<0

y•y.

图象

J

_______►X

00

r

性质(1)自变量X的取值(1)变量X的取值范

范围为：xWO;(2)围为：xWO;⑵函

函数图象的两个分数图象的两个分支

支分别在第一、第三分别在第二、第四象

象限，在每个象限限，在每个象限内，

内，y随x的增大而y随x的增大而增

减小大

【教学说明】通过上节课的学习，本节教师带领学生梳

理一遍反比例函数的图象与性质，列表归纳，鼓励学生自主

总结.

k

【归纳结论】(1)反比例函数y=±(左HO),因为xWO,

X

y#0,故图象不经过原点.双曲线是由两个分支组成的，一般

不说两个分支经过第一、第三象限(或第二、第四象限)，而

说图象的两个分支分别在第一、第三象限(或第二、第四象

限).

(2)反比例函数的增减性不是连续的，因此在谈到反比例

函数的增减性时，一般都是在各自的象限内的增减情况.

(3)反比例函数的图象无限接近坐标轴，但永远不能和坐

标轴相交，也不能“翘尾巴”

(4)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是反比例

系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在位置和函数的

增减性，也可以推断出k的符号.如：已知双曲线y=A在第

X

二、第四象限，则可知kVO.

三、典例精析，掌握新知

例1已知反比例函数y=2(ZwO)的图象经过点A(2,

X

6).

(1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x值的增大如何

变化？

14

⑵点B(3,4),C(-2-，-4-),D(2,5)是否在这

25

个函数的图象上？

【分析】由反比例函数的表达式y(左力0)经过点A,

X

把A点坐标(2,6)代入相应的x,y后，可得k=12,故>=匕12；

x

由于k=12>0,知函数的图象位于第一、三象限，在各个象限

内y随x值的增大而减小(增减性可先想象出图象，再依据

图象特征可作出说明，注意“各个象限”或“各个分支”是

描述反比例函数增减性的前提条件，不能漏掉)，再把B、C、

D三点坐标代入y=上中可判断B、C、D三点是否在该函数的

x

图象上.

【教学说明】本例应先让学生独立思考，锻炼分析问题、

解决问题的能力，教师再根据学生的完全情况确定评讲方

法.

例2如图是反比例函数y=—的图象的一个分支，根

X

据图象回答下列问题：

(1)图象的另一个分支位于哪个象限？常数m的取值范围

是什么？

(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x,,y.)和点

B(X2,y2),如果x,>x2,那么力与丫2的大小关系如何?说说

你的理由.

【分析】反比例函数的图象只有两种可能，位于第一、

第三象限或者位于第二、第四象限.观察图象知，此反比例函

数的图象的一支位于第一象限，那么另一支必位于第三象限,

而位于第一、三象限的反比例函数的表达式中k>0,即m-5

>0,m>5.而当m>5时，在图象的各个分支上y随x值

的增大而减小，故当小>乂2时yi<y2.

【教学说明】本例仍应先让学生自主探索，形成初步认

识后，教师再与全班同学一道分析并给出解答过程，让学生

通过反思加深对反比例函数的图象及其性质的理解.

四、运用新知，深化理解

1.如图是反比例函数y=5的图象的一支，根

X

据图象回答下列问题：

(1)图象的另一支位于哪个象限，常数〃的取值

范围是什么？

(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(a,b

和

B(a',b')如果a<",那么6与，的大小关系如何？

什么？

,,,3

2.如图，正比例函数y=kx与反比函数)=一

x

的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于

B,连接BC.求aABC的面积.

【教学说明】第1题学生能轻松获得结论，而第2题则

需教师给予点拨引导，教师可让学生先分别求出S.B和SABOC,

再求出SAW.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作

业中本课时的“名师导学”部分.

五、师生互动，课堂小结

通过这节课的学习，你有哪些收获？你感觉到本节知识

有哪些地方是较难理解的？与同伴交流.

,>课后作业

1.布置作业:从教材“习题26.1”中选取.

2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.

登教学反思

、‘反比例函数的图象和性质是以前函数内容的延续，也是

以后学习二次函数的基础.本课时的学习是学生对反比例函

数图象和性质的一个再认知的过程，由于八年级学生是刚刚

接触双曲线这种函数图象，所以教学时应注意引导学生抓住

反比例函数图象的特征，让学生对反比例函数有一个形象和

直观的认识.另外在教学时，教师要与学生进行互动交流，并

积极让学生自主探究反比例函数中k值的几何意义.

26.2实际问题与反比例函数

第1课时实际问题与反比例函数(1)

建教学目标

【知识与技能】

进一步运用反比例函数的知识解决实际问题.

【过程与方法】

经历“实际问题一建立模型一问题解决”的过程，发展

学生分析问题，解决问题的能力.

【情感态度】

运用反比例函数知识解决实际应用问题的过程中，感受

数学的应用价值，提高学习兴趣.

【教学重点】

运用反比例函数的意义和性质解决实际问题.

【教学难点】

用反I匕例函数的思想方法分析、解决实际应用问题.

产教学亘程

一、情境导入，初步认识

问题我们知道，确定一个一次函数y=kx+b的表达式

需要两个独立的条件，而确定一个反比例函数表达式，则只

需一个独立条件即可，如点力(2,3)是一个反比例函数图象上

的点，则此反比例函数的表达式是____________,当x=4

时,y的值为，而当y=g时,相应的x的值为,

用反比例函数可以反映很多实际问题中两个变量之间的关

系，你能举出一个反比例函数的实例吗？

二、典例精析，掌握新知

例1市煤气公司要在地下修建一个容积为10帘的圆柱

形煤气储存室.

（1）储存室的底面积S（单位：m?）与其深度d（单位:m）有

怎样的函数关系？

（2）公司决定把储存室的底面积定为500m2,施工队施工

时应该向地下掘进多深？

（3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15m时，碰到坚

硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划，把储存

室的深改为15m,相应地，储存室的底面积应改为多少才能满

足需要（精确到0.0市）？

【分析】已知圆柱体体积公式片S•d通过变形可得S

=-y，当V一定时，圆柱体的底面积S是圆柱体的高（深）d

a

的反比例函数，而当我500m2时，就可得到d的值，从而解

决问题（2）,同样地，当d=15m一定时，代入S=工可求

d

得S,这样问题（3）获解.

例2码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货

物，装载完毕恰好用了8天时间.

⑴轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度V（单位：吨/

天）与卸货时间t单位：天）之间有怎样的函数关系？

（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5天内

卸载完毕，那么平均每天至少要卸多货？

【分析】由装货速度义装货时间=装货总量，可知轮船装

载的货物总量为240吨；再根据卸货速度=卸货总量小卸货时

间，可得，与［的函数关系式为眸24干0，

获得问题（1）的解;在（2）中，若把t=5代入关系式，可得V=48,

即每天至少要卸载48吨，则可保证在5天内卸货完毕.此处,

若由心2丝40得到t=2—40,由W5,得24型0W5,从而048,

tVV

即每天至少要卸货48吨，才能在不超过5天内卸货完毕.

【教学说明】例2仍可由学生自主探究，得到结论.

鼓励学生多角度出发，对问题（2）发表自己的见解，在学生

交流过程中，教师可参与他们的讨论，帮助学生寻求解决问

题的方法，对有困难的学生及时给予点拨，使不同层次的学

生在学习中都有所收获.

例3如图所示是某一蓄水池每lh的排水量Kn'/h）与

排完水池中的水所用时间t（h）之间的函数图象.

（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水的蓄水量.

（2）写出此函数的函数关系式.

（3）若要6h排完水池的水，那么每lh的排水量应该是多少？

（4）如果每lh排水量是5m3,那么水池中的水将用多长时间

排完？

【分析】解此题关键是从图象中获取有关信息，会根据

图象回答.

解：(1)由图象知：当每lh排水4n?时，需12h排完水

池中的水，

.•.蓄水量为4X12=48(m3)

(2)由图象，与力成反比例，设片工(4#0).

t

48

把片4,片12代入得F48,.・.V=—(力>0).

t

AQ

⑶当片6时，V=—=8,即每lh排水量是8m3

6

⑷当眸5时,5=—,—=9.6(h),即水池中的水

t5

需要用9.6h排完.

【教学说明】例3相比前面两例，难度增加，教师在讲

解本题时，要辅导学生从图象中获取信息，会根据图象回答

问题.

三、运用新知，深化理解

L某玻璃器皿公司要挑选一种容积为1升(1升=1立方分

米)的圆锥形漏斗.

(1)漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系？

(2)如果漏斗口的面积为100厘米2,则漏斗的深为多少？

2.市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方

总量为106m:某运输公司承办了这项工程运送土石方的任务.

(1)运输公司平均每天的工作量/(单位：m7天)与完成运

送任务所需的时间t(单位：天)之间具有怎样的函数关系？

(2)这个运输公司共有100辆卡车，每天一共可运送土石方

10'm3.则公司完成全部运输任务需要多长时间？

【教学说明】以上两题让学生相互交流，共同探讨，获

得结果，使学生通过对上述问题的思考，巩固所学知识，增

强运用反比例函数解决问题的能力.在完成上述题目后，教师

引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.

13

【答案】1.解：(1)上5户1,S=3(d>0)

3d

3

(2)100cm2=1dm2,当S=Idm?时，—=1,d=3dm.

in6

2.解：⑴V7=1O6,V=7«>0).

(2)t=—=^=102.即完成任务需要100天.

V104

四、师生互动，课堂小结

谈谈这节课的收获和体会，与同伴交流.

,“谭后作业

1.布置作M从教材“习题26.2”中选取.

2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.

『教学反思

本节课是用函数的观点处理实际问题,其中蕴含着体积、

面积这样的实际问题.而解决这些问题的关键在于分析实际

情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题

置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么，

可以是什么，从而逐步形成考察实际问题的能力.在解决问题

时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想.

学生已经有了反比例函数的概念及其图象与性质这些知

识作为基础，另外在小学也学过反比例，并且上学期已经学

习了正比例函数、一次函数，学生已经有了一定的知识准备.

因此，本节课教师可从身边事物入手，使学生真正体会到数

学知识来源于生活，有一种亲切感.在学习中要让学生经历实

践、思考、表达与交流的过程，给学生留下充足的时间来进

行交流活动，不断引导学生利用数学知识来解决实际问题.

第2课时实际问题与反比例函数（2）

“曾教学目标

【知识与技能】一

运用反比例函数解决实际应用问题，增强数学建模思想.

【过程与方法】

经历“实际问题一数学建模一拓展应用”的过程，发展学生

分析问题，解决问题的能力.

【情感态度】

进一步锻炼学生的数学应用能力，增强数学应用意识，提高

学习数学的兴趣.

【教学重点】

用反比例函数的有关知识解决实际应用问题.

【教学难点】

构建反比向函数模型解决实际应用问题，巩固反比例函数性

质.

产教学亘程

二、一情境导入，初步认识

“给我一个支点，我可以撬动地球”，古希腊科学家阿基

米德曾如是说，他的“杠杆定律”通俗地讲是：阻力义阻力

臂=动力义动力臂.由上述等式，我们发现，当阻力、阻力臂

一定时，动力和动力臂成反比例函数关系.

二、典例精析，掌握新知

例1小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂

不变，分别为1200N和0.5m.

（1）动力F和动力臂/有怎样的函数关系？当动力臂为

1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？

（2）若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，则动力

臂/至少要加长多少？

【分析】显然本题应用杠杆定律相关知识来解决问题，

首先由阻力和阻力臂的数据得到动力F与动力臂/的函数关

系式为4竿（/>0）,再把/=1.5代入，求出动力的大小.

注意“橇动石头至少需要多大的力”表面上看是不等关系，

但用相等关系来解决更方便些.而（2）中的问题即可用足400

xl=200代入求动力臂的长度的最小值，也可利用不等关

2

系，华W400X；，得/的范围是/23,而动力臂至少应加

长1.5米才行.

【教学说明】在本例教学时，应仍由学生自主探究，构

建适合题意的反比例函数关系式，让学生加深对反比例函数

意义的理解，进一步增强分析问题和解决问题的能力.教师在

学生练习过程中，巡视指导，帮助有困难同学形成正确认知，

在大部分学生自主完成后，可提出以下问题让学生思考，巩

固提高：（1）用反比例函数知识解释：在我们使用撬棍时，

为什么动力臂越长就越省力？（2）你能再举一些应用杠杆原

理做实际例子吗？

例2一个用电器的电阻是可调节的，其范HU\

围是110~220C,已知电压为220V,这个

用电器的电路图如图所示.U777

（1）输出功率摩与电阻只有怎样的函数关系？,

（2）这个用电器功率的范围是多少？

【分析】要想顺利解决本题，应了解电学中关于电功率A

TI2

电阻A和电压〃的关系，即有依=M可以发现P=或

R

TJ2

R=J.这样由于用电器电压U=220V是确定的，从而可

P

22（）2

得（1）的解应为尸=丝-，再把/?=110和/?=220代入可

R

得电功率产值分别为440W和220肌故电功率尸的范围为

2202

220WPW440.事实上，这里还可以由A=t及110W/FW

P

220,得110或二-或220,得220WPW440.

P

【教学说明】教学时，教师应先让学生熟悉与本例相关

的电学知识，即掰=%然后让学生独立完成，由于题目难

度不大，学生应该能予以解决，对个别有困难的同学，可予

以指导，也可让他们与同伴交流，从而能解决问题，在大多

数同学完成以后，教师仍可设置以下两个问题，让学生进一

步加深对知识的理解：(1)想一想，为什么收音机的音量，

某些台灯的亮度以及电风扇的转速都可以调节？(2)你还能

列举一些生活中用电器应用反比例函数性质的例子吗？培养

学生学以致用的能力，即能用所学知识解决现实世界中实际

问题的能力，也可增强学生的学习兴趣.

三、运用新知，深化理解

1.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80km/h的平均速

度用6小时到达目的地.

(1)当他按原路返回来，汽车的平均速度v与时间t有怎样

的函数关系？

(2)如果该司机必须在4h之内回到甲地，则返程时的平均

速度不能低于多少？

2.新建成的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面

需贴瓷砖，已知楼体的外表面面积为5义10：'m。

(1)所需的瓷砖块数n与每块瓷砖的面积S有怎样的函数

关系？

(2)为了使住宅楼的外观更漂亮，开发商决定采用灰、白、

蓝三种颜色的瓷砖，每块瓷砖的面积都是80cm2,灰、白、

蓝瓷砖使用比例为2：2:1,则需要三种瓷砖各多少块？

3.如图是放置在桌面上的一个圆台，已知圆台的上

底面积是下底面积的1/4,此时圆台对桌面的压强为/

100Pa.若把圆台翻过来放，则它对桌面的压强是/

多大呢？k

【教学说明】由学生独立完成，然后相互交流，发

现问题，及时纠正，从而巩固对反比例函数的性质的理解.在

完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名

师导学”部分.

(2)右一=120(km/h).

5x103

2.(1)n•5=5X103,77=^-^-(5>0).

5x1O3

(2)80cm2=8X103m2.n=,=6.25x105(块),

-8xl()T-

3

则有〃灰=6.25X10,X±=2.5X101块)，/?a=6.25X10

21

X-=2.5X105(块)，〃蓝=6.25X10'义5=1.25X

10"块).

3.解：设下底面积为国,则上底面积为显.

由〃=£,且当S=&时，p=100,

s

F-pS=100x50.

同一物体质量不变，F=100S。是定值.

.•.当S=旦时，p=-=^2-=400(Pa).

4S

4

因此，当把圆台翻过来放置时，它对桌面的压强是

400Pa.

四、师生互动，课堂小结

1.请举出一些应用反比例函数的实例，同伴之间相互交流.

2.说说这节课你又有哪些收获？

学》课后作业

布置作业：从教材“习题26.2”中选取.

2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.

GT-v°\

》数学反思

本节课讨论了反比例函数的其他一些应用(主要是在物

理学科中的应用).在这些实际应用中，备课时应注意到与学

生的实际生活相联系，并且注意用函数观点来对这些问题做

出某种解释，从而加深对函数的认识，并突出知识之间的内

在联系，特别是与物理知识之间的联系.

章末复习

产敦孚目标

【知识与技能】

1.系统地回顾本章主要知识，能熟练运用本章知识解决一

些实际应用问题.

2.进一步增强对反比例函数的图象及性质的理解，能运用

它们解决具体问题.

【过程与方法】

经历“知识回顾一一问题与思考一一拓展应用”的过程,

进一步增强学生概括能力，发展学生分析问题，解决问题能

力.

【情感态度】

进一步增强学生的数学应用意识和数学应用能力，培养

合作交流意识和探究能力，激发数学学习兴趣.

【教学重点］

反比而函数的图象及其性质的理解和运用.

【教学难点】

反比例函数图象中的面积不变性质.

产教学亘程

一「知识框图，整体把握

二、释疑解惑，加深理解

1.反比例函数y=&（人40,k为常数）的图象是怎样的？

X

在描述反比例函数性质时应注意哪些问题？你能解释原因

吗？

2.你能列举几个现实生活中应用反比例函数的实例吗？

【教学说明】知识回顾中结构图的构建应是师生共同回

顾本章主要知识过程中教师结合实际所展示的一种框图，然

后教师给出问题与思考，让学生在回顾本章知识后进行必要

反思.学生可相互交流，共同探讨，获得结论，最后教师可根

据问题进行评析.

三、典例精析，复习新知

例1（1）直角坐标系中有四个点尸（2,6）,0（3,4）,

■4,3）和S（5,1）,其中三点在同一反比例函数的图象上，

则不在这个图象上的点是（）

A.P点、B.0点C.R点、D.S点

⑵在反比例函数y=匕网的图象上有AEy）,B（X2,y2）

X

两点，当x）<x2<0时，y,<y2,则机的取值范围是（）

A.m<0B.m>0C.m<-D.m

2

>1

2

【分析】在（1）中，可结合反比例函数表达式y=上知

X

x-y=k,即图象上点的横纵坐标之积是不变的，这样易知S

点坐标（5,1）的横纵坐标之积与另三点不同，故知点S不在

该反比例函数图象上；在（2）中，当X|Vx2Vo时，有.〈丫2.

知此双曲线的一支必在第二象限，从而有1—2加V0,加〉

上时，选D,这里需要让学生结合反比例函数的图象及其各

2

自象限的增减性有较深刻认识才能快速准确获得结论.

例2如图，双曲线y=-（k>0,x>0）经过RIAABO

X

的直角边AB的中点D,已知直角边0B在x轴上，且A450

的面积为3,则k等于（）

A.3B.6C.8D.9

【分析】例2中可连0D,由D为AB边中点，故

i3

SABOO=SMOD=35MOB=]•设D点坐标为(m,n),

点D在双曲线y=-(k>0,x>0)上，故有〃=巴,

xm

1J3

/.mxn=k，又由S△BOD二—OBxBD=—xmxn=一,得

222

mx/?=3、：♦k=3，故选A,事实上，双曲线上任一点向坐标

轴作垂线，垂足和原点所组成的三角形的面积是不变的，为

W

2

例3反比例函数y=—(k#0)与一次函数y=kx-k(k#0)

x

的图像在同一坐标系内的大致图象是()

【分析】本题可依据选项分别得到k值的范围，A、B选

项中k值的取值范围各不相同，而C、D选项中直线与双曲线

中k值大致相同，但D选项中y=kx-k所表示的直线应交于

y轴负半轴，从而知C选项是符合要求的大致图象.

k-\

例4已知反比例函数y=—(%为常数，g).

x

(1)若点A(l,2)在这个函数的图象上，求k的值；

(2)若在这个函数图象的每一支上,y随x的增大而减小,

求k的取值范围.

(3)若k=13,试判断点B(3,4),C(2,5)是否在这个

函数的图象上，并说明理由.

【分析】(1)把x=l,y=2代入y=H,可求出k值.

X

(2)在每一支上y随x的增大而减小时，AT>0.(3)把B、

C两点坐标分别代入解析式，看自变量是否与函数值对应.

例5如图，直线y=x+/n与双曲线y=七相交于A(2,1),

x

B两点.

(1)求机及k的值；

y-x+m

(2)不解关于x,y的方程组k，直接

y=-

IX

写出点B的坐标；

(3)直线y=—2x+4m经过点B吗？请说理由.

【分析】把A(2,1)直接代入y=x+机和y=士可得利=-1,

x

k=2;在(2)中可利用双曲线的对称性及直线特征，发现它

们均是以直线y=-x为对称轴的轴对称图形，从而易知B

点坐标为(-1,-2)；把B(-1,-2)代入y=-2x-4,有右边

=-2X(-1)-4=2-4=~2,知点B在直线y=-2x+4m±.

【教学说明】对于上述五例，都应让学生自主探究，获

取结论，教师可适时予以点拨，最后可适当评讲，帮助学生

加深对反比例函数的图象和性质的理解.

四、运用新知，深化理解

1.关于反比例函数y=-4的图象，下列说法正确的是(

)

A.经过点(-1,-2)

B.无论x取何值时，y随x的增大而增大

C.当xVO时，图象在第二象限

D.图象不是轴对称图形

2.点P(2,1)是反比例函数y=七的图象上一点，则当y

VI时，自变量x的取值范围是()

A.x<2B.x>2C.x<2且xNOD.x

>2或x<0

3.反比例函数y=9与y=2在第一象限的图象如图所示，

XX

作一条平行于X轴的直线分别交第一象限的双曲线于A、B

两点，连OA,OB,则aAOB的面积为()

4.某工人打算利用一块不锈钢条加工一个面积为0.8m?

的矩形模具，假设模具的长与宽分别为y和x,你能写出y

与x之间的函数解析式吗？(此钢条与模具的厚度相同).变

量y与x之间是什么函数关系？

5.已知反比例函数y=上的图象与一次函数y=3x+m的图

象相交于点(1,5).

(1)求这两个函数的解析式；

(2)求这两个函数图象的另一个交点的坐标.

6.如图，点A在反比例函数y=&的图象上,

AB_Lx轴于点B,点C在x轴上，且CO=OB,S△他=2,—

确定此反比例函数的解析式.

【教学说明】学生独立完成，教师巡视指导，对有困难

的同学给予点拨，让每个同学都积极主动地投放到问题的探

究中，最后教师进行简评.

【答案】1.C2.D3.A

V

4.解：xy=S(SwO),y=—(x>0).S=0.8,

0.8

…y=—•

X

AQ

即y与x之间的函数解析式为y="(x>0),y是x的

X

反比例函数.

5.解：⑴点A(L5)在反比例函数y=L(kwO)的图象

X

5

上，.-.5=-k,即k=5,反比例函数的解析式为y=2.又

1x

点A(l,5)在一次函数y=3x十m的图象上,有5=3+m,

m=2.二一次函数的解析式为y=3x+2；

=9f=15

TX=----

(2)由题意可得：，解得“一，或《3.

y=3x+2H

y=-3

这两个函数图象的另一个交点的坐标为(-』，-3).

3

6.解：设点A(x,y),反比例函数y=-(k>0,由图得),

X

===

连接0A,则OBx,BAy.C0OB,SAAOB=SA*CO>S

=

AAOB=—■SAABC1.乂SAAOB=—k，k=2.此反比例函数

22

2

的解析式为y=-.

x

五、师生互动，课堂小结

通过这节课的学习你有哪些收获？谈谈你的看法，并与同伴

交加，

,»谓后作业

-1.布置作M从教材“复习题26”中选取.

2.完成创优作业中本课时练习.

能教与反思

本章所学的内容是初中阶段比较重要的内容.在进行本

章复习时，应积极引导学生与教师自己一起回顾本章所学的

知识.在这个过程中，要让学生充分暴露问题，教师予以针对