六级奥数解析

◊第1讲0

计算综合（I）

7"W制⑸'葬少一•♦■—・P-..八…m*7

【内容概述】

繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题.

1.繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：

甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”.找到最长的分数线，将其上视为分子，其下

视为分母.

2.一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数.所以需将带分数化为假分

数.

3.某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观.

4.对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可.

5.本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级.

【典型问题】

®@*

第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛•决赛一试第1题

2x44

1826x2

1.计算:i

13*4

7123

--1--

【分析与解】原式二467?23,17

13--12848128

33

跳级数：**

第五届“华罗庚金杯”少年数学递请赛•复赛第1题

59

2.计算：19-—4(+^3--2---—5.22)i+1(Q空Q2型八”/+\.r)

1W+5.22)1995x0.51995

950

【分析与解】注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有19*.于是，我们想到改变运算顺序,

9

如果分子与分母在19*后的两个数字的运算结果•致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1;如果不一

9

致，也不会增加我们的计算量.所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序.

而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995X0.5.

具体过程如下：

59

19-(+3—-5.22)

1993X04

原式=T—第—七()

1995x0.51995

19-(-6—+5.22)

950

19--1.32

1993x0.44x0.4x0.5

--------------1---------------)

1995x0.41995x0.5

19--1.32

9

11993^^O4=1l

19950.50.54

皴奥级数：*

也京市第三届“迎春杯”数学竞赛•决赛第一题第1题

3.计算：1-------1一

1987

，八,1,19861987

【分析与解】原式=1------77^=-=1---=

1।198739733973

1986

®@级数：**

1999年全国小学教学奥林匹克•决褰B卷第2题

Q

4.计算：已知=——\—

—,则X等于多少?

11

2+-1

x+-

4

]118x+68

【分析与解】方法一:

1+^A-XL1।4x+l12x+711

8x+6

2+—

4x+l

x+-

4

交叉相乘有88x+66=96x+56,x=l.25.

方法二：有1+—1—=U11=l+3‘，所以2+18c213

——r=-=2+-；所以xH———,那么x=1.25.

2+-18813342

Tx+-

4

x+一

4

@@级数：♦/

5.求4,43,443,…，山空这10个数的和.

9个4

【分析与解】方法一：

4+43+443+…+44…43

'----V----'

9个4

=4+(44-1)+(444一1)+…+(4^4-1)

10个4

4

=4+44+444+...+44^4-9=-x(9+99+999+...+999...9)-9

10个49]0个9

4

=-X[(10-1)+(100-1)+(1000-1)+...4-(1000...0-1)]-9

9

4

=-xlll.l00-9=4938271591.

9

方法二：先计算这10个数的个位数字和为3X9+4=3川;

再计算这10个数的十位数字和为4X9=36,加上个位的进位的3,为36+3=3回;

再计算这10个数的百位数字和为4X8=32,加上十位的进位的3,为32+3=3固;

再计算这10个数的千位数字和为4X7=28,加上百位的进位的3,为28+3=3川；

再计算这10个数的万位数字和为4X6=24,加上千位的进位的3,为24+3=2国；

再计算这10个数的十万位数字和为4X5=20,加上万位的进位的2,为20+2=2团；

再计算这10个数的百万位数字和为4X4=16,加上十万位的进位的2,为16+2=1叵］；

再计算这10个数的千万位数字和为4X3=12,加上百万位的进位的1,为12+1=1囱；

再计算这10个数的亿位数字和为4X2=8,加上千万位的进位的1,为8+1=回;

最后计算这10个数的十亿位数字和为4X1=4,加上亿位上没有进位，即为国.

所以，这10个数的和为4938271591.

鲫电级数:军I”

1995年全国小学数学奥林匹克'决赛A卷第2题

6.如图1T,每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少？

图1-1

【分析与解】因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为:

117

3x(―+—+0.6+0.875)=1+0.75+1.8+2.625=6.175=6—

3440

@@级数：**

1995年全国小学数学奥林匹克•初赛A卷第4题

7.我们规定，符号“O”表示选择两数中较大数的运算，例如：3.502.9=2.903.5=3.5.符号“△”

(0.625—23)x(15^50.4)

表示选择两数中较小数的运算，例如：3.5A2.9=2.9A3.5=2.9.请计算：———33屋4--------

(3°3+(而225)

155

0.625X—

5155c7_25

【分析与解】原式__3M.=—X---------=-2—=

1+2.25838412256

3

竣(©级数：*市葬

1996年全国小学数学奥林匹克•初春B卷第5题

8.规定(3)=2X3X4,(4)=3X4X5,(5)=4X5X6,(10)=9X10X11,•••.如果」....-xH.

(16)(17)(17)」

那么方框内应填的数是多少？

(17),16x17x18,1

【分析与解】

□心一导志(16)15x16x175

跳)知级数:**二"

北京市第二届“迎春杯”数学克赛•决赛第二题第2题

9.从和式+,+-!-+-!-中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1?

24681012

【分析与解】因为J_+J_=_L,所以_L,_L,J_,J_的和为1,因此应去掉！与_1.

612424612810

籁。级数：*■*颦-

1989年全国小学数学奥林匹克•决赛第4题

10.如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如

1.892915929.那么在所有这种数中。最大的一个是多少？

8

O

5

图1-2

【分析与解】有整数部分尽可能大，卜分位尽可能大，则有92918……较大,于是最大的为9.291892915.

跳)励级数：***

第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛.决赛二试第1题

11.请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个分数的分母谁也不是谁的约

数”.

111111

【分析与解】有-----1-----=一-----1-----=——

6101510156351410

评注：本题实质可以说是寻找李生质数，为什么这么说呢?

、、11c+a、,，11c+a1

汪意到----+----=--------，当a+c=b时，有-——+-----=--------=-----

axbcxbaxbxcaxbcxbaxbxcaxe

当a、b、c两两互质时，显然满足题意.

显然当a、b、c为质数时一定满足，那么两个质数的和等于另一个质数，必定有一个质数为2,不妨设a

为2,那么有2+c=b，显然b、c为一对挛生质数.

即可得出一般公式：——~~-+一一=」一，c与c+2均为质数即可.

2x(c+2)cx(c+2)2xc

跳)僦)级数：***

12.计算：(1--—)x(1...-)x...x(l10x10)

2x23x3

^(2-1)X(2+1)V(3-1)X(3+1)(10-1)X(10+1)

【分析与解】职工］-------------------X-----------------------------X...X----------------------------------

2x23x310x10

lx3x2x4x3x5x4x6x5x7x6x8x7x9x8x10x9x11

2x2x3x3x4x4x...x10x10

Ix2x3x3x4x4x5x5x...x9x9x10x11

2x2x3x3x4x4x...x9x9x10x10

1x2x10x1111

2x2x10x1020,

的知级数：***

第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛.决赛第6题

已知m1x66+12x67+13x68+14x69+15x70

13.x100.问a的整数部分是多少?

11x65+12x66+13x67+14x68+15x69

【分析与解】

11x66+12x67+13x68+14x69+15x70

a=---------------------------------------------------x100

11x65+12x66+13x67+14x68+15x69

11x(65+1)+12x(66+1)+13x(67+1)+14x(68+1)+15x(69+1)

=--------------------------------------------------------------------------------x110A()n

11x65+12x66+13x67+14x68+15x69

11+12+13+14+15_________

=(1+)x100

11x65+12x66+13x67+14x68+15x69

________11+12+13+14+15________

=100+xlOO.

11x65+12x66+13x67+14x68+15x69

11+12+13+14+1511+12+13+14+15100

因为xl1OAOA<--------------------------------xltA0A0=——

11x65+12x66+13x67+14x68+15x69----------(11+12+13+14+15)x65----------65

所以a<100+==101二.

6565

11+12+13+14+15H121314l^^100

同时---------------------------------------------------xlOO>++++xl00

11x65+12x66+13x67+14x68+15x69(11+12+13+14+15)x6969

100_31

所以a>100H-----=10A1—.

6969

3135

综上有101」<a<1013.所以a的整数部分为101.

6965

的的级数：****

第六届“华罗庚金杯”少年数学邀请骞•复赛第8题

1357991

14.问Lx二x±xLx...x工与相比，哪个更大，为什么？

246810010

1357992468100

【分析与解】方法一：令Lx二x±x,x...x工=A,-x-x-x-x.,..x—=B

24681003579101

，，人13579924681001

有AxB=-X—X—X—x...x----x—x—x—x—x...x-----=——.

24681003579101101

而B中分数对应的都比A中的分数大，则它们的乘积也是B>A,

WAXA<4XB(=-)<—=—x—,AXA<—x—,那么A<—,

1011001010101010

135799,1,1.,

即一X—X—X—X...X—■与一相比，一更大.

24681001010

13579799

方法二：设A=-x—x—x—X...X-x----,

246898100

me1133559999

则A=-x—x—x—x—x—x...x----x-----

224466100100

Ix3x3x5x5x7x7x...x97x97x99x99xl

2x2x4x4x6x6x8x...x96x98x98xl00x100

口於1x33x55x797x9999I1

显然——、——、——-----、---都是小于1的，所以有A“V，于是AV—.

2x24x46x698x9810010010

帽)例)级数：*****

鸽二居”华罗庚金杯”少年教学邀请赛•决赛二试第6题

15.下面是两个1989位整数相乘：出二UxQJJ.问：乘积的各位数字之和是多少？

1989个11989个1

【分析与解】在算式中乘以9,再除以9,则结果不变.因为11L.11能被9整除，所以将一个111...11

'-V-，、-，

1989个11989个1

乘以9,另一个除以9,使原算式变成：

X9_9__9……99Jx、1__2__3__4_5__6__7__9__0_…_…___0_1__2__3__4__5__6_7__9/

1989个9共1988位数

二(1000......00-l)x[23456790..012345679

1989个0共1988位数

=[23456790..01234567g000……00-123456790..01234567g

共1988位数1989个0共1988位数

=[23456790..01234567912345678"76543209..987654320g87654321

共1988位数共1980位数

得到的结果中有1980+9=220个“123456790”和“987654320”及一个“12345678”和•个

“987654321”，所以各位数之和为：

(1+2+3+4+5+6+7+9)x220+(9+8+7+6+5+4+3+2)x220

+(1+2+3+4+5+6+7+8)+(9+8+7+6+5+4+3+2+1)=17901

评注：1111111114-9=12345679；

晓999...9的数字和为9乂匕(其中MW999…9).可以利用上面性质较快的获得结果.

'----V----''----V----'

k个9k个9

■◊第2讲。

计算综合(H)

崛鞭螂崎蠹¥：丁毋装飞常宠「丫嘤—八冬:：

【内容概述】

本讲主要是补充[计算综合(D]未涉及和涉及不深的问题，但不包括多位数的运算.

1.nX(n+1)=[nX(n+1)X(n+2)-(n-l)XnX(n+1)]4-3；

1

2.从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式:/+2?+3?+…+〃2=­X〃X(〃+1)x(2〃+1)

6

3.平方差公式：a--b2=(a+b)(a-b).

【典型问题】

__

㉚⑥级数：****

1]

试比较、的大小.

1.已知a=丁----------,bab

2+-2+——H—

3+3+——「

+-

99

99+—

100

【分析与解】

1________]

a=~i,b

2+一I2+~

3+-L3+r

+f

98+-98+-

AB

其中A=99,B=99+-----.因为A〈B,所以98+—>98+一，

100AB

97+―?—-<97+—^,96+]

>96+-----------------

97+3

98+-98+-97+f

B

98+-98+-

B

1________]

2+---------->2+，所以有a<b.

13+；——

3+-~T~

4+

+r98+工

98+-

AB

眇俺级数：***■

2.试求的和.

1

1+丁

1+—

3+—

]

H---------4+

2005

H---------

2005

1

【分析与解】记》=-------则题目所要求的等式可写为:

1

3+—

4+

--------

2005

11Hl11l+X,

-----+------L，而-----+------L=-------+--------=1.

2+x।+12+x।+12+x2+x

1+xl+x

所以原式的和为1.

评注：上面补充的两例中体现了递推和整体思想.

■

嫄(©级数：*

3.试求1+2+3+4+-99+100的值？

【分析与解】方法一：利用等差数列求和公式，(首项+末项)X项数+2=(1+100)X100+2=5050.

方法二：倒序相加，1+2+3+4+5+-97+98+99+100

100+99+98+97+96+-4+3+2+1

上下两个数相加都是101,并且有100组，所以两倍原式的和为101X100,那么原式的和为

101X100-T2=5050.

方法三：整数裂项(重点)，

原式=(1X2+2X2+3X2+4X2+—+100X2)4-2

=[lx2+2x(3-l)+3x(4-2)+4x(5-3)++100x(101-99)卜2

=(4*2+2*3—4*2+3*4—2*3+4*与—3*4++100x101—劣"449)+2

=100x101+2

=5050.

皴(©级数：***

4.试求1X2+2X3+3X4+4X5+5X6+・・・+99X100.

【分析与解】方法一：整数裂项

原式二(lX2X3+2X3X3+3X4X3+4X5X3+5X6X3+・・・+99X100X3)+3

=[1X2X3+2X3X(4-D+3X4X(5-2)+4X5X(6-3)+5X6X(7-4)+-+99X100X(101-98)]4-3

(1x2x3+2x3)《4--+4^x6—以+5x6x7+99x100x101-

98x99x100)+3

=99x100x1014-3

=33x101x100

=3333x100

=333300.

方法二：利用平方差公式l2+22+3M2+-+n2=H2—(--+1)X(2-+1).

6

原式:12+1+22+2+32+3+42+4+52+5+-+992+99

=12+22+32+42+52+・・-+992+1+2+3+4+5+…+99

99x100x19999x100

二-----------------------------+------------------

62

=328350+4950

=333300.

5.计算下列式子的值：0.1X0.3+0.2x0.4+0.3X0.5+0.4X0.6+-+9.7X9.9+9.8x10.0

【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行计

算.即先计算lX3+2x4+3X5+4x6+―+97x99+98X100。再除以100.

方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差2,于是我们容易想到裂项的方法.

0.1X0.3+0.2x0.4+0.3X0.5+0.4X0.6+…+9.7X9.9+9.8x10.0

=(1X3+2X4+3X5+4X6+-+97X99+98X100)4-100

=[(1X2+1)+(2X3+2)+(3X4+3)+(4X5+4)+…+(97X98+97)+(98X99+98)]-?100

=[(1X2+2X3+3X4+4X5+-+97X98+98X99)+(1+2+3+4+…+97+98)]+100

=(-X98X99X100+-X98X99)4-100

32

=3234+48.51

=3282.51

方法二：可以使用平方差公式进行计算.

0.1X0.3+0.2X0.4+0.3X0.5+0.4X0.6+…+9.7X9.9+9.8X10.0

=(1X3+2X4+3X5+4X6+-+97X99+98X100)4-100

=(12-1+22-1+3-1+42-1+52-1+-+99-1)4-100

=(1'+22+32+42+52+—+992-99)4-100

=(-X99X100X199-99)4-100

6

=16.5X199-0.99

=16.5X200-16.5-0.99

=3282.51

评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的.下面简单介绍一下

整数裂项.

1X2+2X3+3X4+…+(n-1)Xn

=-X[1X2X3+2X3X3+3X4X3+…+(n-l)XnX3]

3

=-X{1X2X3+2X3X(4-D+3X4X(5-2)+…+(nT)Xn[n+l-(n-2)]}

3

1Ix2x3-2x3xl+2x3x4-3x4x2+3x4x5+

——~x

3-(n-1)x〃x(〃-2)+(〃-1)x〃x(〃+1)

二—x(〃-1)x〃x(〃+1)

6.计算下列式子的值：24x(」一+—1一+

+20X21)-(1T+12+22+12+22++102)

2x34x5

【分析与解】虽然很容易看出」一=」-1

-……可是再仔细一看，并没有什么效果,因

2x3234x545

为这不像分数裂项那样能消去很多项.我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式

l2+22+32+—+n=-XnX(n+1)X(2n+l),于是我们又有-_；~--------=----------------

612+22+32++”2〃x(〃+1)(21)

减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢?

111_)-(r+11

24x(---------1-----------F12+22++12+22++102)

2x34x520x21

111111

=24x(-----1------F)-6x(--------------1----------------F+)

2x34x520x211x2x32x3x510x11x12

111_111

=24x(-----1------F)-24x(,---------------1-----------------F4-)--------------------

2x34x520x212x4x34x6x520x22x21

111111

=24x()+()++()

2x32x4x34x54x6x520x2120x22x21

11

=24x(-----1-----六)

2x44x6+

,,111

=6x(----1-------F)

1x22x310x11

=6x(1--)

11

-.6.0

11

1_1+，)2+d+LL

+-++嬴『

45198012345

112,/11)2++(——!——)2+(i+-+-+-11

+-+H--------------、)+(—I-----1-4---------------+-+H--------------

5198012561980121980122345198012

【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律.

显然12+1=2；

(1+1)2+(1)2+(1+1)=4;

(144)2+(14)2+(1)2+(144>6；

*+"+*+(扣+(1+；+/)=8;

所以原式=198012X2=396024.

习题：

计算17X18+18X19+19X20+…+29X30的值.

提示：可有两种方法，整数裂项，利用1到n的平方和的公式.

答案：(29X30X31-16X17X18)+3=29X10X31-16X17X6=7358.

0•T?©©

。第3讲◊j

多位数的运算

【内容概述】|

多位数的运算，涉及利用999…9=10匚1,提出公因数，递推等方法求解问题.

'-------V-------'

k个9

【典型问题】

一、999…9=10匚1的运用:

k个9

在多位数运算中，我们往往运用999…9="-1来转化问题;

'----V----'

攵个9

如:333…3X59049

2004个3

我们把333・・-3转化为99%・・9彳3,

'----V----'

2004个32004个9

于是原式为333…3X59049=(999…9+3)义59049=999…9X59049二(1000…0-1)X19683=19683

'----V----''----V----''----V----'s-----V-----'

2004个32004个92004个92004个0

X1000---0-19683

2004个0

而对于多位数的减法，我们可以列个竖式来求解；

2004个9

八.、

1968299--999999+1

叫个9

1968299--999999+1

4-19683

如・---------------------,于是为！：口.

1999个99682999803

♦---------------------A---------------------<

1999个9

1968299…980316+1

199?个9

1968299…980317

跳）曲级数：***

1.计算666…6x9x333…3的乘积是多少？

20M个62008个3

【分析与解】我们可以把666…6或333…3改写为999…9=0-1;但是为了

'y.*v**Y*

2001个62008个3卜个9

简便计算多位数的减法，我们改写这个多位数.

原式=333…3X2X3X3X333…3

'-----V-----1'-----V-----'

2004个32008个3

=333…3X2X3X999…9

、-V-，'1V-，

2004个32008个9

工1999…98X(1000…0-1)

2003个92008个0

二、199_9_丫・_・・98/X、100-丫0一---0，-1、999__-丫-_-98,

2003个92008个02003个9

2003个92008个9

________A_____________________A_____________

1999…979999999…99+1

-1999--98

'-------V-------'

2003个9

-2003个92003个0-于是为!9是…？7999y000--02.

___________/<_________________A^______

2003个92003个0

1999…979998000…01+1

[999…？7999卵00丁02

2003个92003个0

级数：***

2.计算旦]二J一型二2二AXA,求A.

2004个11002个2

【分析与解】此题的显著特征是式子都含有二j,从而找出突破口.

n个1

222-2=mjJ000--0-H1-J

2004个11002个21002个11002个01002个1

=、111_丫…_l，x(1\_0V00-/--0-1)

1002个11002个0

(

=、111二y…-I/X9、9-9V…9/)

1002个11002个9

=111…1X(111---1X3X3)=A?

<-v-J、二y-/

1002个11002个1

所以，A=333…3.

1002个3

跳)税级数：****

3.计算666…6X666…6X25的乘积数字和是多少？

'---V---''----V----'

2004个62003个6

【分析与解】我们还是利用来简便计算，但是不同于上式的是不易得出凑成

9S_9___9__…____9__/=1\_0___0__0_…_____0__/-1

k个9k个0

・・・于是我们就创造条件使用：

、999-V-9，,

k个9

22

666…6x666…67X25=[―xC999---9)]x[-X(999…9)+1]X25

'---V---''----V----'3'---------'3'---------'

2004个62003个6.2004个9"2004个9

22

=[-X(1000---0-1)]x[-x(1000---0)+1]X25

Q'—v—‘av—v—‘

“2004个0°2004个0

=-X-X[2X1000---0-2]X[2X(1000---0)+1]X25

33'-----v---------',----------v----------'

JJ2004个02004个0

25

=—X[4X1000---0-2X1000---0-2]

O'-----V---------''----------V---------Z

J4008个02004个0

=—x999…9-竺x999--9

Q'-----v-----'Q'-----v-----'

4008个92004个9

=100Xlll---l-50Xlll---l

4008个12004个1

=111---100-555---50(求差过程详见评注)

4008个12004个5

=111…10555…50

'-----V-----''-----V-----'

2004个I2004个5

所以原式的乘积为！11二」Q，5575Q

2004个12004个5

那么原式乘积的数字和为1X2004+5X2004=12024.

评注：对于Ul：10Q—J5515Q的计算,我们再详细的说一说.

4008个I2004个5

111--100-555---50

4008个12004个5

=yj^JOOO…0+yj^J00-555…50

2005个12005个02003个12004个5

=、11-1V…—1，\0__9__9_97_…____9，+1+、11-1丫一…1/00—V5,__5_5_…V50/

2004个12005个92003个12004个5

=nj^O444--494-nrjoi

2004个12004个42003个1

=111-7…—1，0555…5，

、X__v____

2004个12004个5

跳）（@级数：***

4.计算举