二次函数的应用辅导(1对1辅导)

二次函数的应用（一）．2019·州某商店购进一批进价为元件日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出件第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验提高销售单价会导销售量的减少售量件与销售单价元)关系如图所示．图中点P所示的实际意义当销售单价定为元时，销售数量为300件销售单价每提高时，销售量相应减少20件；写出y与x之的函数解析式y＝＋，自变量x取值范围为30≤≤；第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？解：(3)设第二个月的利润为元由已知得w(x＝－－＋1000)＝－20x2＋－＝20(x35)2＋，∵200∴当x＝时，w取大，最大值为，故第二个月的售单价定为35元，可获得最大利润，最大利润是元2．某商品进价为每件元，售价为每件元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖件(每件售价不能高于元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．(1)求与x的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？解由题意得y＝(210－10x)(50＋－－＋110x＋＜≤且x为整数（2）由(中的y与x的解析式配方得＝－10(x－＋∵0x≤，且x为整数，当＝5，50x＝，＝2400(元)；当x＝6时，＋x＝，y＝2400(元，∴当售价定为每件或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是元3．2019·徐州)某馆拥有客房间，经营中发现：每天入住的客房数y(间)与其价格x()(180≤x≤满足一次函数关系，部分对应值如表：(1)求与x之间的函数表达式；x()y(间

180100

26060

28050

30040(2)已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元，每日空置的客房需支出各种费用60，当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大值(宾馆当日利润＝当日房费收入－当日支出)1解：(1)y＝－x＋1902

2222(2)设房价为x元(180≤x≤300)时，宾馆当日利润为w元，111依题意得＝(－x＋190)(x－100)－60×[100－(－x＋190)]＝－x2＋210x－222113600＝－(x－210)2＋8450，∴当x＝210，w＝8450，则当房价为210元2最大时，宾馆当日利润最大，最大利润为8450元4．(2019·襄阳)企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本30元/件，且年销售量y(万件)关于售＋140（40≤x<60），价x(元/件)的函数解析式为y＝＋80（60≤x≤70）(1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元)直接写出年利润W(万元)关于售价x(/件)的函数解析式；(2)当该产品的售价/件)为多少时业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？(3)若企业销售该产品的年利润不少于万元，试确定该产品的售价x(/件)的取值范围解：(1)当40≤x＜时，W＝(x－30)(－＋140)＝－2x

2

＋200x－4200；当60≤x≤70时，W＝(x－30)(－x＋80)＝－x2＋110x－2400，＋200x－（≤x<60）则W＝＋－2400（≤x≤70当≤x＜60时，－2x2＋－4200＝－2(x－＋800，∴当x＝时，W取得最大值，最大值800；60x≤时，W－x2＋－2400＝－(x＋625，∴当＝时，W取得最大值，最大值为－(60＋625＝600，∵800600，∴当x＝时，W取得最大值800，即该产品的售价x50/件时，企业销售该产品获得的年利润最大，最大年利润是800万元6．如图，ABC是边长为3的等边三角形，动Q同时从AB点出发，分别AB方向匀速移动它们的速度都是1，当P运动到点B时，Q两点停止运动，设P点运动时间为t(s)．(1)当为何值时，△PBQ是直角三角形？(2)设四边形的面积为ycm2，求y于的函数解析式，当t取何值时，四边形APQC的面积最小？并求出最小值．解：(1)由题意可知∠B＝°，BP＝(3－t)cm，BQ＝tcm.若△PBQ是直角三角形，则∠BPQ＝°或∠BQP＝30°，1111于是BQ＝BP或＝BQ，即t＝(3－t)或3－t＝t，2222

1212解得t＝1或t＝2，即当t为1s或2s时，△PBQ是直角三角形11(2)过点P作PM⊥BC于点M，则易知BM＝BP＝(3－t)cm，22∴PM＝BP2

－BM

2

＝

32

(3－，∴S

四边形APQC

＝S

△

－S

△

131＝×3×3－222t·

33339333393(3－t)＝t－t＋，即y＝t2－t＋，2444444易知0<t<3.于是y＝

332733273(t－)2＋，∴t＝时y＝，即t42162最小163273为s时，四边形APQC的面积最小，最小值为cm22167图道的截面由抛物线和长方形构成形的长是12m是4m1照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝－x6

2

＋bx＋c表示，且抛物线上的17点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为m.2(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面OA的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？（7）（）11解：(1)y＝－x2＋2x＋4，即y＝－(x－6)266

＋10，∴拱顶D到地面的距离为10m(2)由题意得货运汽车最外侧与地面的交点为(20)或(100)，x22＝2或x＝10时，y＝＞6，所以这辆货车能安全通过31(3)令y＝8，则－－6)6

2

＋10＝8，解x＝6＋23x＝6－23，则12x－x＝43，所以两排灯的水平距离最小是43m类型四：以球类运动为背景8．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1的A飞出(A在y轴上)运动员乙在距点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式；(2)足球第一次落地点C距守门员多少米？(取43＝7)(3)运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？(取26＝5)解：(1)y＝－

112

(x－2＋41(2)令y＝0，则－(x－6)2＋4＝0，解得x＝43＋6≈13，121x＝－43＋6＜舍去)，∴足球第一次落地距守门员约13米2(3)第二次足球弹出后的距离为CD，根据题意CD＝EF(即相当于将抛物线1AEMFC向下平移了2个单位，∴2＝－(x－6)12

2

＋4，解得x＝6－26，x＝612＋26，∴CD＝|x－|＝46≈10，∴BD＝13－6＋10＝17(米)，则他应再向前12跑17米二次函数的应用（二）类一在售题建函数关系例1

某宾馆个房间供游居住，每个房间定120元时，房间全部住满当每个房间天的定每增加10时，就会有个房间闲。如果游客居住间，宾馆需每个房每天支出20元的各种用，设个房间定价加x元x整数）⑴（分）直接出每天客居住的房数量与的函数关系式。⑵（分）设宾每天的润为W，当每间房定价为多少时，宾每天所获利最大，最大润是多？⑶（4）某日宾馆了解当的住宿情况，得到下信息①当日所获润不低于5000，②宾为游客住的房间共出费用有超过600元③每个房间刚住满2。问：这宾馆入住的客人数少有多少人解：⑴y=－x＋50⑵设该宾馆房间的定价（120+10x-20（x整数那么宾馆内（50-x）个房间被旅客居住，依题意，得W=(－x＋50)120+10x-20）W=(－x＋50)(10x＋100)=－10(x－20)²＋9000

所以当x＝即每间房价定价为＋120=320元时每天利润最大最大利润为9000元⑶由－(x－20)²＋9000≧；(－x＋≦600得20≦x≦40)当x=40时，这天宾馆入住的游客人数最少:2y=2－x＋50)=2(－＋50)=20人)练习：某工厂为了对新发的一种产品进行合理价，将该产品拟定的价格进行试销，通过天的试销情况进行统计,得到如下数据：单价（元/件）303442销量（件）

40322420（）计算这天售额的平均数（销售额单价销量）（）通过对上面表格中的据进行分析，现销量（）与单价（元/件）间存在一次函关系，求关于的函数关系式不需要写出函数自变的取值范围）；（）预计在今后的销售中销量与单价仍存在（2）中的关，且该产品的本是20元/件为工厂获得最大利润，该产的价应定为多少?解：）函数关系式为（

=934.4--（）设所求一次将（30，40）、40，）代入解得

，得∴

-（）设利润为

元，产品的单价为元/件，根据题意，得=分∴当元/时，工厂获得最大利润450元类二在何形动建函数关系

22例2：

如图，矩形

的两边长，，点P、分从同时出，在边上方向以每的速度匀速运动，在上沿方向以每的速度匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为秒，的积为

（1）关的函数关系式，并写出的值范围；（2）的面积的最大值．解：∵S

1／2PB•BQPB=AB-AP=18-2xBQ=x，∴y=1／218-2xx即y=-x+9xx≤4；）由）知y=-x

2

+9x∴y=-x-981／4，当x9／2y随x大而增大，而x≤4当x=4时，y

最大值

=20△PBQ大面积是．练习：美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD篱笆只围，BC两边，AB=xm.（）花园的面积为,求值；（）在P处一棵树与墙CDAD的距分别是15m和6m要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最值解：（1）∵AB=xm，∴BC=.

例3：例3：根据题意，得∴的为12m或16m.（）∵根据题意，得∵

，解得，∴，∴当

或

时，S随x的大而增大∴当

时，花园面积S最大，最大值为

类三在化案题建函数关系科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.图所示，图中点的横坐标

表示科技馆从开门后经过的时间（分钟），纵坐标

表示到达科技馆的总人数.中曲线对应的函数解式为，10:00之后来的游较少可忽略不计（1请写出图中曲线对应的函数解析式；（2为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过人，后来的人在馆外休息区等待.10:30开到12:00馆内陆续有人离馆平均每分钟离馆人直到馆内人数减少到624人，馆外等待的游客可全部进入问馆外游客最多等待多少分钟？解：（1，

（2，15+30+90-78）=57分钟所以，馆外游客最多等待分钟练习：某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每产销x件已知产销两种产品的有关信息如下表：每件售价（万元）每成本（万元）每年他费用（万元）每最大产销量（件）产品甲乙

620

a10

2040＋2

20080其中a为常数，且3≤≤5.（）若销甲、乙种产品年利润分别为y1万、2万元直接写出y、2的函数关系式；（）别求出产销两种产品的最大年利润；（）获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理.解：（）1=(6-)（＜x≤200），x²+10-400＜x≤80）；（）产品：≤≤5∴6a＞0，∴1随x的大增.∴当x＝时1max＝1180－200（3a≤5）乙产品：2=-0.05x²+10-40＜≤80）∴当0＜≤80时，2随x的增大而增.当x＝时，2max＝440（万元）∴产销甲种产品的最大年利润(1180-200万元乙种产品的最大年利润为440万元（）－200＞440，得3＜时，此时选择甲产品；1180－200＝，得=3.7时此时选择甲乙产品；1180－200＜，得3.7＜≤5，此时选择乙产.∴当3≤＜3.7时，生产甲产品的利润高；当时生产甲乙两种产品的利润相同；当3.7＜≤5时上产乙产品的利润高.类四二

例4

如图，已知抛线y＝2＋＋c(a称轴为直线x＝－1，且物线经过A1，），C（，3）两点，与x轴交于点B。（）若直线ymx＋n经BC两，求直线BC和抛物线的解析式；（）在抛物线的对称轴x＝－上一点M，使M到点A的离到点C的距离之和最小，出点M的标；（设点P为物线的对称轴x＝－1上一个动点求eq\o\ac(△,使)BPC为直角三角形的点的坐标。解：（1）依题意得：∴抛物线解析为

解之得：∵对称轴为＝－1，且抛物线经过（，0）∴把（，0）、（，3）分别代入直线y＝＋得解之得：∴直线y＝＋的析式为（）设直线BC与称轴x＝－1的交点为M，则此时MA＋MC的最小。把x＝－1代入直

得，y＝∴M（－，2）。即当点到的距离与到点的距离之和最小时M的坐标为（－1，）。（注：本题只M坐没说要明为何此时MAMC的最小，所以答案没证MAMC的最小的原因（3）设P（－1，），又B（－，），C（0，3）∴BC＝，2＝(－1＋2＋＝4＋t，PC＝(1)＋－3)＝2－6t＋

①若点为角顶点，则BC＋PB＝PC即：18＋4＋t2＝t－6t＋10解之得：＝－2②若点为直角顶点，BC＋PC＝PB即18＋t－6t＋＝＋t2解之得＝③若点为角顶点，则2＋2＝2即：4＋2＋－＋10＝解得：t＝，t＝2综上所述P的坐标为(－2)或(－1或－，)或－，

1

)如图，在平面直角坐标系中，线与轴交于点，与轴于点，抛物线：114过、两点，与x轴一交点为2（1）抛物线解析式及点坐标．（2）右平移抛物线，使平移后的抛物线恰经过的外心，抛物12线、C相于点，四边形的面积．12（3）知抛物线的顶点为，为抛物对称轴上一点，为抛物线21上一点，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，1直接写出点坐标；不存在，请说明理由．解：（1）直线与y轴于点，与轴交于点令，可得，则点的坐标为0，4）令，可得则点的坐标为（，0），将（0，4）（，代入／

2

，

{{可得

{／，解得

{

／2抛物线的解析式为：／4x21／，，则1／4／，2解得，点坐标为（8，0）（2）图，连接，由（1），（8，），（，4，（，，，，BC，22222222222

，是直角三角形．设的斜边的中点为则1／2（），的边的中点E的坐标为，），抛物线恰好经过的外心，为的外心，2，即F（，，由（3，0），F（）得抛物线：2（）（）1／／4，联立方程组1／42／1／4／解得／，即（／，／），如图，接，，，

OCD

eq