高考数学第31讲 数列求和

1nnn1n1n222221nnn1n1n2222222第

高中数学知识点高考资料高考历年考试真题数列求和考纲要求熟练掌等差、等比数列的前n项和公式．．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方.

考情分析2016·全卷Ⅱ，2016·江卷182016·北卷12分值：5分

命题趋势利用公式求数列的前n项，利用常见求和模型求数列的前n项和．公式法与分组求法(1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前项公式求和．①等差数列的前n项和公式：anS＝＝__＋dn2②等比数列的前n项和公式：1q＝，S＝－a＝__，≠－1－(2)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成和时可用分组求和法分别求和后相加减．．倒序相加法与并求和法(1)倒序相加法如果一个数列{

n

}

的前项首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项可用倒序相加法差数列的前n项公式即是用此法推导的．(2)并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如＝－fn)类型，可采用两项合并求解．n例如，S＝－99＋98－97＋…＋2－1＝(100－)＋－)＋＋－1)n＝(100＋＋＋97)＋…＋＋＝050.．裂项相消法

－＝－＝1n122nn－－1nn＋2高中数学知识点高考资料高考历年考试真题－＝－＝1n122nn－－1nn＋2(1)把数列的通项拆成两项之差求时中间的一些项可以相互抵消而求得其和．(2)常见的裂项技巧①②

11＝－.n＋112＋2

③④

11212n＝＋1－＋n＋

．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的个数列的前项和即可用此法来求，如比数列的前n项公式就是用此法推导的．．思维辨析(在括号内打“√”或”．a(1)如果已知等差数列的通项公式则在求其前项时使用公式S＝较合n2理．√

)(2)如果数列{

n

}

－a为等比数列，且公比不等于，则其前n项S＝√)n－q11(3)当≥2时＝－)－1－1＋1(4)求＝＋2＋a＋＋na时只要把上式等号两边同时乘a即根据错位相减法n求得．)(5)如果数列{}数．(√)

是周期为k的期数列，那么

S＝mS(m，为于的正整k解析(1)确．根据等差数列求和公式以及运算的合理性可知．(2)正确．根据等比数列的求和公和通项公式可知．1(3)错误．直接验证可知＝

(4)错误．含有字母的数列求和常要分类讨论，此题需要a＝0a，以及≠0且≠三种情况求和，只有当≠0且a≠1时能用错位相减法求和．(5)正确．根据周期性可得．．在数列{}＝，＝a＋n1nA1ln2C．3＋5

＋，则a＝(D5B2＋ln3D．2＋ln5

)

nnn2nnn123n2nnn2n2nnnn*n1n13n23nn2nnnn2nnn123n2nnn2n2nnnn*n1n13n23nn2nnnn1n1n1nn解析因为－a＝n

高中数学知识点高考资料高考历年考试真题n＋＝＝ln(n－n所以－＝(a－a)(a－a)＋－)＋(－)5544332＝(ln－4)(ln－3)(ln3－ln2)＋(ln2－ln1)＝－＝5所以a＝a＋52＋ln5，故选D．5．若数{}

的通项公式为＝2n2－，则数列{}n

的前和为C)A2＋n－1

B＋－C．

＋n

2

－2

D．2

＋－2解析S＝＋＋a＋…＋n

n＝＋2×＋(2＋×2－＋＋×3－1)…＋(2＋2－1)＝2＋…＋2)＋2(1＋2＋＋…＋)＝

n＋2×－＝－＋n＋－－2＝2

＋n

－．若数{}

的通项公式是＝(1)(3－2)，则＋＋a＋＋＝A)n2310A15C．

B12D．15解析∵＝－n2)，∴a＋a＋a＋＋n1

10＝－＋4－710＋－19＋22＋28＝(－1＋(－710)＋(－13＋16)＋(＋22)＋－＋＝3×5＝．已知数列{

}n

的前n项为S且a＝n

nN

)，则S＝－n

＋解析∵＝·2，n∴＝＋＋3·2＋…＋n.①n∴2＝n

＋＋…＋(n－1)·2＋

.②①－②，得＝2＋＋＋－·2n＝

－n＝－2－＝(1－2.－∴＝(n－＋2.n一

分组法求和分组求和法的常见类型(1)若＝c，且{nnn

}{nn

}

为等差或等比数列，可采用分组求和法{

n

}

的前n项

n5261322n2n22n2nnnn5261322n2n22n2nnn2和．(2)通项公式为a＝n

，n奇数，nc，为数n

的数列，其中数{}{}nn

是等比或等差数列，可采用分组求和法．【例】已知差数列{

n

}足＝，a＋＝14.56(1)求

{

}n

的通项公式；(2)若＝＋(q0)，求数列{nnn

}n

的前和.n解析(1)数{}公差为，9则由＝，＋a＝14得解得＝14.所以{

n

}

的通项公式为a＝－n(2)由＝n－＝－1n

2n

当＞0且q时＝[13＋5＋7＋…＋(2－＋(q＋＋q＋q＋…＋q＝n＋；－当＝1时＝，S＝n．n所以数{

n

，}前项和＝q＋，＞0q≠1.1－q二

错位相减法求和利用错位相减法求和的两点注意在出”与”的达式时应特别注意将两式“项对齐”以便下一步准确写出n“－”的表达式．nn(2)在应用错位相减法求和时，若比数列的公比为参数，应分公比等于和不等于1两种情况求解．同时要注意等比数列的项数是多少．【例2若公比为的比数列{

n

}

＋的首项＝1足＝(n＝．1n2(1)求值；(2)设＝，数列{n

}n

的前n项n解析(1)题意易知＝a＋，nn2即a＝q＋q.11∴2－－10，解得＝1或q－

n1＋0－＋12－＋12n1n932**n1＋0－＋12－＋12n1n932**n－22＋＋an－－nn1nn1nn1nn(2)①当＝1时＝，b＝，＝1②当＝－时，a＝－，＝－n

n

1

，S＝1·n

－

2

－＋＋n

－

n

1－S＝1·

－＋＋(n－

－＋

－

n两式相减，得＝1n

－n－＋－＋－＋…＋－n

，421整理得＝－＋－n三

裂项相消法求和常见的裂项方法数列(∈N)

裂项方法(∈N)为非零常数)

＝

－＋k

＝n－12

－n11

1＝n

1－1

nnk

＝(＋k－nk＋＞0，a≠1)

loga

1＝log(n－lognaa

11＝－－－12－1－1【例】已知项数列{}前和为，，，成差数列．n2(1)证明：数列{}

是等比数列；1(2)若＝＋，求数n项和T.n2nnn1解析(1)明：由题意知2＝＋.n当＝1时a＝＋，∴＝112当≥2时S＝a－，＝a－，nn11两式相减，得a＝a－2(≥，即a＝nnn1

nnn2n－∴＝－＋－＋－＋－＋＋2nn22nnnnnn{}nn2n*高中数学知识点高考资料高考历年nnn2n－∴＝－＋－＋－＋－＋＋2nn22nnnnnn{}nn2n*∵

{

}n

为正项数列，∴＝n，n∴数列{}n

是以为首，以为比的等比数列．(2)由(1)知a＝＝，＝log2＋＝－2＋3＋1.n∴

11＝＝－.b＋nnn11n5＋2

1n＝－＝.＋2．已知等比数{

n

}

中＝a，差数{25

n

}

中＋＝，数{4

n

}

的前项和S＝B)9A9C．

B18D．72解析∵＝，a＝4，∴＝，255∴a＝＋b＝＝，∴＝2.∴＝9＝18，故选．5455．已知正项数列{}足a2－6a2.＝，则数{}n1n1

的前n项为_

n－1__.解析∵－a＝a，(a－a＋)＝0.nn1∵a＞，∴＝a.＝，nn∴

{

}n

是首项为2公比为3的等比数列．∴＝＝－n－．在数{}

中，a＝，＝a－1nnn(1)求数列{}

的通项公式；(2)若＝，求数列{nan

n

}前n项Sn1解析(1)题意得－＝n1又因为＝，所以＝所数项1公差为1的差数列，所以＝n1a1n1即a＝，以数列a的通项公式为＝nn(2)由(1)得b＝n＋2)．n所以＝1－＋－4＋3－lg＋＋lg(－－lg＋lg(n－1)－lg(n＋＋nlgn－lg(n＝＋lg2－lg(n－n2)＝lg.．设数{}

满足＋a＋3＋＋13

＝(nN)．n

n2nn*n23n234n3nnnn17103nnn1nnnn高中数学知识点高考资料高考历年考试真题n2nn*n23n234n3nnnn17103nnn1nnnn(1)求数列{

}n

的通项；(2)设＝，数列{nan

}n

的前项和Sn解析(1)a＋3a＋1

2

＋＋33

＝①n3∴a＝，13＋3＋a＋…＋31

n

＝1

－(≥，－11①－②，得3＝－＝(n≥，化简得＝≥．n3显然，a＝也足上式，故＝∈N)．13n3(2)由(1)得b＝n

n

于是＝×3＋×3＋×3＋…＋，nS＝×3＋×＋×3＋…＋，n③－④，得2＝3n

2

＋3＋＋

－n

n，－2n3即－2＝－n·3∴＝·3＋n－3n4易错点求时数不清项错因分析：弄清和式的构成规律数清项数的关键．【例】设(n＝2＋

4

＋2

＋2

＋…＋2

10

(≥，nZ，则f(＝()A(8－C．(8－1)

BD．(8

－1)－1)解析1×1－2,3n＝＋4)－2所n)是首项为2公比为等比数列的前＋项的和．由求和公式得fn＝＝(8－7

4

－1)选D．答案：D【跟踪训练1把数列依次按第一个括号内一个数，二个括号内两个数，第三个括号内三个数第四个括号内一数…循环分组((7,9,11)(15,17)，，(25)，…则第50个号内各之和__392__.解析将三括号作为一组，则由5＝16＋，知第50个号为第17组第二个括号即50个括号中应是两个数又为每组含有个数所以第个括号的最末一

－1nn－＋－－＋－＋＋高中数学知识点高考资料高考历年考试真题－1nn－＋－－＋－＋＋个数为数列{2－1}的第16×＝96项50个号的第一个数应为数{n1}的第项即为×－＝195第二个数为×－1＝，故第个号内各数之和为＋＝392.易错点找到裂项相消规律错因分析：看清是相邻项相消还隔项相消，同时注意系数．【例】求和＋＋＋×31解析＝＝1

，1111－＋－＋－＋…－＋592－1n3∴原式＝1－n2n5

＝

＋－－n2＋5n＝－11【跟踪训练】数列1，，，，，的前项＋＋2＋3＋2＋3＋2＋…＋和为B)A

nn

B

n＋1＋C．＋

D．

nn＋解析

2＝＝2＋＋3＋…n

，数列

111，，，…的n项和为＋1＋31＋2＋＋1＋3＋…＋

3n＋

＝

－n1

n＝＋

，故选．课时达标

第31讲[解密考纲]n一、选择题

nnn6n6m2a5＋d，高中数学知识点高考资料高考历年考试真题nnn6n6m2a5＋d，．数列{a}前n和为S，＝，＝(D)A

BC．

D．1111116解析因为＝＝－，所以＝－＋－＋…＋－＝－＝＋122377．已知S＝nA11C．120

1＋＋＋＋，S＝10，则＝C)＋3＋22＋＋1B99D．121解析因为

＋1n

＋1＝＝n＋1－所S＝－＋－2…＋＋－nmm1m＝＋1由知得1＝10所以＝120故选C．．在数列{}，已知＝，a－＝n1nn则S＝D)2

，记为数列{a}前n项，nA1C．

BD．1π解析由题，得＝＋，以＝＋π＝1，a＝＋＝0，ann

45π＝a＋2＝＝＋＝，…，因此，数{}一以为期的周期数列，而301845042所以＝×＋＋＋a)＋＝010故选D．21221．已知等差数{}前n项和为S＝，S＝，则数100项为n5nn1(A)AC．

BD．解析设等数列{}首项为a，公差为n1＝5∵a55，S5＝，∴×∴

∴a＝a＋(n＝nn

**2112nn11009－＋1n**2112nn11009－＋1n∴

高中数学知识点高考资料高考历年考试真题1111＝＝－，数项和为1－＋－＋…－ann112＝1＝101．数列{a}通公式＝nnnA2C．504

n，其前项为S，S＝)nB－1D．0π解析因为＝cos，以当n为数时，a＝，n2当偶数时，a＝n

，＝4m－n＝－2，

其中N，所以＝＋＋＋＋＋…＋a＋a＋a22452017＝a＋＋a＋＋…＋＋242018＝－＋4－68－10－14＋＋016－018＝(－2＋(－68)＋－10＋12)…(－＋016)－＝×5042018－1010，故选B．．已知数列{}足a＝1＝2n1n

n

(n∈

)，是列{}前项，则n

2018＝)A2－1

B3×2－3C．3×2

－1

D．3×

－2解析依题得aa＝2，a＝n1nn2

n1，于是有annan1

＝2，即＝2，数列，，，，，…是＝为项为公比131n的等比数列；数列，，，…，，…是＝为首项为比的等比数列，于是22有S

2018

＝(a＋a＋＋＋1017

)＋(a＋a＋＋＋a262018

－2)＝＋＝×2－－2

1－二、填空题2．在数列{}＝＋＋…＋，又＝，则数列{}前n项nn＋1＋ann1n为___.＋解析∵＝n

n8＝，∴b＝＝＋2

∴b＋＋…＋＝12

111－＋－＋…－3n＋1

n＝＋1

**12n2*22222n21n2*n11nn1n23n1nn22高中数学知识点高考资料高考历年考试真题**12n2*22222n21n2*n11nn1n23n1nn22．(2018·河郑州模拟设数列{}通公式为＝2－10(Nnn＋a＝15

，则a＋|＋…12解析由＝n10(nN){}以－为项，为差的等差数列，又由＝nn－≥0得n5，所以当时a；n当n时a≥，所以＋＋＋a＝－(a＋a＋a＋a＋(a＋a＋…＋)＝n115234520＝a数列{}正数列＋＋＋＝n＋n(∈N)＋＋＋n1223n＝__2＋__.解析令n，得＝，a＝11当≥2时a＋＋＋＝n1)11

＋－1)．与已知式相减，得a＝nn

＋n)－(－－－＝2n＋2.∴a＝n＋1)，n＝时a适nn∴a＝n＋1)，＝n，nna＋∴＋＋＋＝＝2＋nn三、解答题．在数{}，a＝，＝2＋(n2)(n2，n∈N)．nn(1)求，的；2(2)证明：数列{＋n}等数列，并{}通公式；nn(3)求数列{}前n项nn解析(1)＝2得＝2＝21令＝3，得＝a＋＝13.32(2)证明因＋n＝n＝2

＋n＋na＋14≠0所a＋≠所＋n所以数列{＋n}首项为，公比为2的等比数列，n所以＋＝＝，以＝－n.nn(3)因