【高考数学解题指导】重难点突破：数列题型汇编

重难点突破：数列常见题型汇编

模块一：知识梳理

一、等差数列

1、定义：数列｛叫若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称｛4｝是等差

数列，这个常数称为｛为｝的公差，通常用4表示

2、等差数列的通项公式：a“=q+(n—1)4,此通项公式存在以下几种变形：

(1)an=am+(n-rn)d,其中相。〃：已知数列中的某项册和公差即可求出通项公式

(2)d=%1％：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差

n-m

(3)〃=4二%+1：已知首项，末项，公差即可计算出项数

d

3、等差中项：如果。，4c成等差数列，则方称为a,c的等差中项

(1)等差中项的性质：若。为a,c的等差中项，则有c-A=Z?-a即20=a+c

(2)如果｛凡｝为等差数列，则V〃22,〃eN*,a“均为41TMm的等差中项

(3)如果｛凡｝为等差数列，则am+an=ap+aq<^m+n=p+q

注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等。

比如〃2+〃=〃+q+s,则am+an=ap+4+as不一定成立

②利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。例如：4+%+6+%=20,可

得。4+%+。8+%=%+%+%+%=4%=20,即可得到%=5,可称为“多项合一”

4、等差数列通项公式与函数的关系：

q,=q+(“—l)d=d-“+4—d,所以该通项公式可看作a“关于〃的一次函数，从而可

通过函数的角度分析等差数列的性质。例如：d>0,｛凡｝递增；d<Q,｛4｝递减。

5、等差数列前〃项和公式：5“=幺乜・〃，此公式可有以下变形：

"2

an+a.、

(1)由〃?+〃=p+qo+a”=%,+/可得：Sn=n(p+q=n+l),作用：

在求等差数列前〃项和时，不一定必须已知%,4,只需已知序数和为〃+1的两项即可

(2)由通项公式4=q+(〃一l)d可得：Sn=-~7——」〃=w+:"

作用：①这个公式也是计算等差数列前〃项和的主流公式

②S“=q〃+"；l)d=,〃2+(了_；4)〃,即S“是关于项数〃的二次函数

且不含常数项，可记为5"=41+8〃的形式。从而可将S“的变化规律图像化。

(3)当“=2A:-1(A:GN.)时，S21=4+".•(21)因为％+“21=2%

.Ki=(2k-l)&而%是S21的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系

当“=2k(keN")时S2k=&瓷-2k=k(ak+%句)，即偶数项和与中间两项和的联系

6、等差数列前〃项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的

符号分析，另一个角度是从前“项和公式入手分析

(1)从项的特点看最值产生的条件，以4个等差数列为例：

｛4｝:1,3,5,7,9,11,.-也｝:7,5,3,1,-1,-3,…

｛q,｝:-1,—3,—5,—7,—9,•••｛</„)：—9,—7,—5,—3,—1,1,-,

通过观察可得：｛4｝为递增数列，且%>0,所以所有的项均为正数，前〃项和只有最小值，

即可,同理匕,｝中的项均为负数，所以前w项和只有最大值，即C-而｛也,｝虽然是递减数

列，但因为々>0,所以直到仇=-1,从而前4项和最大，同理，｛4｝前5项和最小。由

此可发现规律:对于等差数列，当首项与公差异号时，前〃项和最值会出现在项符号分界处。

（2）从S“=A〃2+B〃的角度：通过配方可得5“=A[〃+9],要注意〃eN*,

"[2A）4A

则可通过图像判断出S“的最值。

7、由等差数列生成的新等差数列

（1）在等差数列｛%｝中，等间距的抽出一些项所组成的新数列依然为等差数列

例如在｛%｝:1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,…，以3为间隔抽出的项1,9,17,25,…仍为等差

数列。

如何判定等间距：序数成等差数列，则项之间等间距

（2）已知等差数列｛aa｝：%%…，为，%+I，4+2,…,%1,%+1，％1+2,…，冬，…，

设S«=。1+%+---FClf,,

SS+a++aSS

2k~k=4+1k+2-"2k'3k~2k=。2*+1+。2*+2+…+4«，…，则相邻左项和

S.,S2«—S*,S3*—$2*,…成等差数列

（3）已知｛叫,也｝为等差数列，则有：

①｛%+C｝为等差数列，其中C为常数

②｛履/为等差数列，其中人为常数

③｛4,+%｝为等差数列

①②③可归纳为｛幽,+她，+加｝也为等差数列

8、等差数列的判定：设数列可,其前〃项和为S.

（1）定义（递推公式）：all+l-an=d

（2）通项公式：=女〃+加（关于"的一次函数或常值函数）

2

（3）前"项和公式：Sn=An+Bn

注：若S“=A〃2+B〃+C,则｛%｝从第二项开始呈现等差关系

(4)对于V〃eN*,2an+i=an+an+2,即从第二项开始，每一项都是相邻两项的等差中

项

二、等比数列

1、定义：数列｛4｝从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数4(q#0),则称｛《,｝

为等比数列，这个常数q称为数列的公比

注：非零常数列既为等差数列，也为q=l等比数列，而常数列0,0,(),…只是等差数列

n1

2、等比数列通项公式：an=a,-q-',也可以为：an=a,„-q-"'

3、等比中项：若a/,c成等比数列，则h称为a,c的等比中项

(1)若b为a,c的等比中项，则有q=

hc

⑵若｛4｝为等比数列，则V〃GN*,均为a”,a“+2的等比中项

(3)若｛%｝为等比数列，则有tn+n-p+qoaman=apaq

4、等比数列前〃项和公式：设数列｛a.｝的前〃项和为S.

当q=l时，则｛4｝为常数列，所以S,="q；当时，则S“=』-----

i-q

n

可变形为：=设上=4,可得：sn=k-q-k

"\-qq-\q-\q-\

5、公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即

生一生，。4一。3，…成等比数列，且公比为2~~3g=q.

a2-axa2-ax

6、等比数列的单调性

a>0fa,<Qfa,>0[a,<0

当《।或1।时，｛%｝为递增数列，当11或《।时，｛%｝为递减数列.

q>1[0<q<l[0<<1[<7>1

7、等比数列的性质：

(1)在等比数列｛q｝中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；

(2)在等比数列｛4｝中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列，如：q,%,%，%.....

〃3'08，a\3'"18’......；

(3)在等比数列｛为｝中,对任意加,neN+,

(4)在等比数列｛0〃｝中，若加，n,p,q£N+且m+n=p+q,则^^就二小山^,

特殊地，&察二9+歹时，则%%，是%、4/的等比中项.

♦[•%

f___________________A_______\

也就是：ax-an=%•a,T=a3-an_2=……，如图所示：色'92，。3，…产”-2，/t：%.

(5)若数列｛““｝是等比数列，且公比不为一1,S”是其前〃项的和，keN*,那么“，S2k-Sk,

S3k-S2k成等比数列•如下图所示:

s却

r'＞

。]+。2+。3+…+以+ak+\+…++a2k+\+…+3k

SkS2k一StS3k-S2k

(6)两个等比数列｛4｝与｛a｝积、商、倒数的数列｛a“,〃,｝,＜幺＞,＜—＞仍为等比数列.

IAJIAJ

(7)若数列｛a.｝是等比数列，则｛总“｝,｛a?,｝仍为等比数列

8、相邻我项和的比值与公比q相关：

设S=am+l+《“+2+…+a,“+«，7=%+i+*+…+4+*，则有:

S_+勺+2+…+%+*_%(夕+/+…+/)_%_〃，，-，，，

——----------------------7-------------\----u

T4+1+4+2+…+/+3+/)an

特别的：若4+%------4％=Si，4+i+4+2------卜a2k—S?k—5卜,

aaSS

2k+\+2k+2+…+%*=3k~2k^"'则S«,S2k-Sk,S3*-S2*,…成等比数列

9、等比数列的判定方法：

(1)定义法：若&a=g①为非零常数*)或乌-=4(夕为非零常数且〃22),则｛q｝是

等比数列.

(2)中项公式法：若数列｛4｝中a“wO且a,用2=a“.a“+2(〃eN*),则数列｛a,J是等比

数列.

(3)通项公式法：若数列通项公式可写成(c,q均为不为0的常数，

〃eN*),则｛6,｝是等比数列.

(4)前〃项和公式法：若数列｛4｝的前几项和S“—%(女为常数且ZHO,

qrO,D,则｛4｝是等比数列.

10、非常数等比数列｛4｝的前〃项和S“与，前〃项和7；的关系

6(1-川[1]11

S“=」一I,因为一是首项为上，公比为上的等比数列，所以有

i-qMJqq

[r\n

10

=-q)」=q"=q"-1

,1-14.纥1a©'%一1)

q1q

s„^"-'((7-1),1

T„「qq"~l'

11、特殊设法：三个数成等比数列，一般设为3,a,aq；四个数成等比数.列，一般设为

q

~,-,aq,aq\这对已知几数之积，求数列各项，运算很方便.

qq

12、若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.

13、求解等比数列的基本量常用的思想方法

（1）方程的思想：在解有关等比数列的问题时可以考虑化归为©和q等基本量，通过建立

方程（组）获得解.即等比数列的通项公式4=%及前〃项和公式5,或

1-q

S“=幺一巴4,共涉及五个量q,g,〃,％,S,,,知其中三个就能求另外两个，即知三求二，多

i-q

利用方程组的思想，体现了用方程的一思想解决问题，注意要弄准它们的值.运用方程的思想

解等比数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量修、q,掌握好设未知数、列出方程、

解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.

（2）分类讨论思想：在应用等比数列前“项和公式时，.必须分类求和，当q=l时，S“=〃q；

当qwl时，S*/U）；在判断等比数列单调性时，也必须对％与q分类讨论.

i-q

14、辨明三个易误点

（1）由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0,因此q也不能为0,但g可

为正数，也可为负数；

（2）由％+尸眄,qCO,并不能立即断言｛斯｝为等比数列,还要验证为关0；

（3）在运用等比数列的前〃项和公式时，必须注意对q=l与分类讨论，防止因忽略

q=1这一特殊情形导致解题失误.

三、数列的通项的常见求法:

1,公式法：若在已知数列中存在：=4（常数）或也=4,0W0）的关系，可采

用求等差数列、等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项；若在已知数列中存在:

IS.(n=1)

S“=/(4)或S“=/(〃)的关系，可以利用项和公式，求数列通

-I(n>2)

项.

2、累加法：若在已知数列中相邻两项存在：/-。,E=/(〃)(〃22)的关系，可用“累加

法”求通项.

3、累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：」£=g(〃)("N2)的关系，可用“累乘法”求

%

通项.

4、构造法：根据已知式的结构特征，构造等差数列(等比数列)求解.

5、归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据明与项数〃的关系，

猜想数列的通项公式，最后再证明.

四、数列求和的常用方法

1、公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我

们可以运用等差、等比数列的前〃项和的公式来求和.对于一些特殊的数列(正整数数列、

正整数的平方和立方数列等)也可以直接使用公式求和.

2、倒序相加法：类似于等差数列的前〃项和的公式的推导方法，如果一个数列｛%｝的前〃

项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前〃项和即

可用倒序相加法，如等差数列的前〃项和公式即是用此法推导的.

3、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成

的，那么这个数列的前〃项和即可用此法来求,如等比数列前“项和公式就是用此法推导的.

若a“=b»q,其中也｝是等差数列，匕｝是公比为q等比数列，令

5；=贻+加/…+弧％，则沟=咐+研+…+限隔+%与网两式错位相

减并整理即得.

4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，

在求和时一些正负项相互抵消，于是前〃项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称

为裂项相消法.适用于类似a(其中｛〃,,｝是各项不为零的等差数列，C为常数)的

数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法:

小*If111丘,31•I1

(1)—;-•——----,特另独也当左=1时，，才,二一—;

滁：｛#+套)k■»(??•+1.)爵.巽+1

,特别地当左=1时,,----——r==J〃+l-4n；

y/n+l+yjn

‘2",

-

(2n-l)(2n+l)22〃-12〃+1

〃(〃+1)(〃+2)2»(«+1)(n+l)(n+2)

⑸—-=---(―--)(P<q)

pqq-ppq

5、分组转化求和法：有一类数列$碣*念》,它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数

列上加匕伊口是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为

几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.

6、并项求和法：一个数列的前〃项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如

4=(T>"(〃)类型，可采用两项合并求解.例如，

S„=1OO2-992+982-972+...+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.

7、易错分析

(1)使用裂项相消法求和时，容易出现的错误有两个方面：

①裂项过程中易忽视常数，如一1—容易误裂为'--―,漏掉前面的系数,；

〃(〃+2)nn+22

②裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误.要注意正负项相

消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去,的项，未被消去的项有前后对称

的特点.

(2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种

情况求解.

模块二：例题分析

题型一等差数列

角度1:等差数列基本量的计算

等差数列基本量的计算是高考的常考内容，多出现在选择题、填空题或解答题的第（1）问

中，属容易题.高考对等差数列基本量计算的考查常有以下三个命题角度：

（1）求公差"、项数〃或首项0；（2）求通项或特定项；（3）求前〃项和.

例题1：已知等差数列｛q｝中，a,+a2+ai0+an=2019^,则cos（—&）=

2019-zr

【解析】4+g+《（）=4。6=2019万，，％~,

.（、2019万f.3万V2

..cost-a）=cos--------=cos5c0n4zrd-----=cos——=--------

vh674I4J42

例题2：在等差数列｛4｝中，%+。4=7，则4+%+…+4=-

【解析】由题意，根据等差数列通项公式的性质，可得4+4=。2+。5=。3+。4=7,

所以o.+4+q+q+G+q=3（4+%）=21,故正确答案为21.

【总结】等差数列基本运算的解题方法

（1）等差数列的通项公式及前〃项和公式，共涉及五个量％,an,d,n,Sn,知其中三

个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.

（2）数列的通项公式和前〃项和公式在解题中起到变量代换作用，而q和d是等差数列的

两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法

变式1：在等差数列｛4｝中，已知。3+%=10,则34+的=

【解析】因为。3+%=10，所以由等差数列的性质，得氏+&=10，

所以3%+%=2%+2a6-2°

变式2：已知数列｛an｝对任意的九nsN+有atn+为=afn+n，若％=2,则a2018=.

【解析】令加=1,可得%+。〃=a”*,则。〃+i—。〃=2..•・｛4｝为等差数列，首项和公差

均为2./.an=2+2（n-1）=2n,/.a2018=4036,故答案为4036.

角度2：等差数列的判定与证明

例题3：已知数列｛斯｝的前〃项和为S〃,m=l,ay0,anan+i=ASn—l,其中2为常数.

（1）证明：如+2一念=左（2）是否存在九使得｛飙｝为等差数列？并说明理由.，

=

【解析】（1）证明：由题设知1,an+\an+2^Sn+\—1,两式相减得出+i（即+2—

斯+1，由于a〃+i#0,所以斯+2-

（2）由题设知。1=1,〃］。2=6-1，可得。2=2—1.由（1）知，。3=2+1.

令2〃2=QI+Q3，解得2=4.

故如+2—%=4,由此可得｛42,1｝是首项为1，公差为4的等差数列，02,1=4〃一3；

｛。2”｝是首项为3,公差为4的等差数列，敢〃=4〃-1

所以为=2〃-1,知+】一斯=2,因此存在2=4,使得数列｛斯｝为等差数列.

例题4：数列｛《,｝满足4=1,«„+2："+[[=0.

（□）求证：数列，是等差数列；

I。

（□）若数列｛2｝满足4=2,方=—求也｝的前〃，项和s“.

【解析】（□）若an+l=0,则。“=0,这与％=1矛盾，口。升]R0,由已知得

2a“4“+]—。”+。”+|=0,i----------=2,数列｛a“｝以—=1为首项，2为公差等差数列.

«n+i44

（）由（I）可知，—=l+2（«-l）=2n-l,由4比=2•里1-可知a“+也,+]=2a/“.

4b.%

又％仇=2,；.anbn=2x2"T=2"□"=（2〃-1）•2”,

2

AS„=1-2'+3-2+5-23+...+（2/?-1）-2M,贝12s“=1-22+323+5-24+…+（2〃-1）-2田

，-S“=2+2•22+2・2'+•••+2•2"-（2"-1）•2,,+|=（3-2〃）•2向—6,□=（2n-3）-2n+1+6

变式3：若数列｛/｝满足：①对于任意的正整数〃，aa+iNa“恒成立；②对于给定的正整数

k,an_k+an+k=2an对于任意的正整数nkn>外恒成立，则称数列｛凡｝是"R（k）数列

（1）已知普，判断数列｛为｝是否为，，R（2）数列”，并说明理由:

（2）已知数列｛勿｝是“R（3）数列”，且存在整数p（〃>l）,使得&"3，b3P7,bip+i,

用"3成等差数列，证明：｛2｝是等差数列.

【解析】（1）当〃为奇数时，an+i-an=2（H+1）-（2H-1）=3>0,所以a“+|Na”.

aa=

,,-2+n+22（〃-2）-l+2（"+2）-l=2（2〃-l）=2a”.

当〃为偶数时，a“+]—4=（2〃+1）—2〃=1>0,所以。“+INa”.

an_2+an+2=2（n-2）+2（n+2）=4n=2an.所以，数列｛a"｝是"R⑵数列

（2）【解法一】由题意可得：2-3+2+3=22，则数列乙，瓦,%,…是等差数列,

设其公差为4，数列么，4，4,•一是等差数列，设其公差为12，

数列。3，4，％，…是等差数列，设其公差为

因为4<bn+l,所以b3ll+l<%+2<&+4,所以伪+MWa+MW4+（〃+1）4,

所以一4）»伪一4①，〃（4一4）〈伪一4+4②.・

若&一4<0,则当〃〉仄一忆时,①不成立；若人-4>0，则当〃>>一一+4时,

d2一4d?—4

②不成立；若&-4=。，则①和②都成立，所以4=42・

同理得：4=%,所以4=〃2=〃3，记4=42=4=。.…a

bbb

设3p-\-M=&畔1-3p-l=-3P+l=2，

则4,1=%,T+（“一〃）d—（4*+（“一〃T）d）=-b3p+i+d=d-A.

同理可得：b3n-bin_｛=bin+l-b3n=d-A,所以%—2=d-A.所以｛么｝是等差数列.

【解法二】丸=厢-1_&-3=a+(〃_1”_佃+(〃_2”)=b「b/d，

丸=—4厂=4+〃d—(仇+(〃T)d)=。_d+d,

尤=b3P+3-^/1=4+pd-M+pd)=b「t\,

2

以上三式相加可得：34=2d,所以4=一1,

3

所以为_2=b\+(〃一l)d=b[+(3n-2+l)y,

4,i=仇+(〃-l)d=4+d-2+(〃-l)d-b]+(3«-l-l)y,

公=4+(〃_1”=4+4+(“-1”,=ZJ,+(3n-l)y,

所以2=伪，所以％+i—伉=(，所以，数列抄“｝是等差数列.

角度3:等差数列的性质

例题5：设等差数列｛4｝的前〃项和为S,,,且S9=$4,6=1,4+%=0，则%=—

【解析】由$9=可得：S9-邑=%+。6+%+。8+。9=5%=0,即%=0。而％=1,

所以｛〃“｝不是各项为0的常数列，考虑2%=%+%=°，所以。9+6=%+。5nz=9

【总结】

(1)若S7”=S〃("2w〃)，则s,“+〃=0(本题也可用此结论：S9=S4=>S13=0,从而利

用奇数项和与中间项的关系可得S|3=13%=0)

⑵若Sm=n,S〃=ni(mw*,则有染=一(加十九)

例题6：已知数列｛%｝,｛〃｝为等差数列，若4+4=7,。3+4=21,则%+%=

【解析】由｛a„｝,｛bn｝为等差数列可得｛a,,+"｝也为等差数列，

­■•(%+4)为(4+4),(q+&)的等差中项，二2(%+4)=(4+4)+(%+々)

。5+么=2(%+4)—(q+4)=35

例题7：设S“为等差数列｛叫的前〃项和，58=4«3,«7=-2,则4=

【解法一】已知等差数列两个条件即可尝试求通项公式，只需将已知等式写成关于4,d的

方程，解出后即可确定通项公式或者数列中的项

58=4%=>84+284=4(q+2d)%=—2nq+6d=-2

8a+28d=4(a,+2d)[a.=10

<=><!%=%+2d——6

%+6d=-2\d=-2

【解法二】本题还可抓住条件间的联系简化运算。已知的,从而联想到Sg可用q,%表示，

即$8=%％•8=4(。2+%)，所以等式变为：4(。2+%)=4。3=〃2一2=々3，所以可

得。2—%—d——2o%=%+2d——6

例题8：在等差数列｛Q〃｝中，q=-2008，其前〃项和为S”，若曾一瑞=2,则52008的

值等于_______

SSSfS〕

【解析】由上一一9=2观察到，的特点，所以考虑数列5的性质，由等差数列前〃

1210nInJ

项和特征S.=A〃2+8〃可得2=A〃+B,从而可判定l每4为等差数列，且可得公差

n[nJ

d=l,所以e='+(〃—l)d=〃—2009,所以S“2009),即S狈gU—ZOOS

n1

A7yi_1_1zy

例题9：｛a“｝,｛d｝为等差数列，前〃项和分别为若£=就会，则券=

【解析】所求如■可发现分子分母的项序数相同，结合条件所给的是前〃项和的比值。考虑

利用中间项与前〃项和的关系，有：劣|=214],821=21白।,将项的比值转化为数列和的

比值，从而代入〃=21即可求值：包=2以=旦=3

Ai21bliB2X3

变式4：已知等差数列｛%｝中，4+%+q=3,々8+。29+。30=165,则此数列前30项和

等于_______

【解析】求前30项和，联想到公式S“=/2J/7,(〃+q=/7+l),则只需p+夕=31。

由条件可得：(4+%))+(%+生9)+(/+%8)=3(%+%())=168,所以q+Q30=56,

所以s"="+"30・30=840

变式5：已知等差数列｛〃“｝中，Q]+。2+。3+。4=1°，。13+。14+。15+。16=70,则

a2l+a22+。23+。24的值为

6+出=10

【解析】条件为相邻4项和，从而考虑作差能解出数列的公差：《,

%+。14+。15+。16=7°

可得：(QQ-4)+(。碎-劣)+(015—a3)+(016―%)=48d=60,解得d=],

考虑（凡］+%）+?3+々的）—（々13+64+65+。16）=32td=40

所以。21+。22+。23+。24=加+（。13+%4+。15+。16）=11。

变式6：等差数列｛。“｝有两项满足a,”=[,%,=」•，则该数列前〃成项之

km

和为________

【解析】^a=—,a=—,：.d=―—―=-——=—

mkkmm-km-kmk

a=4〃+（几-m）d=j-+^n-m

nmkmk

2+...+1+mk.1+mk

•••鼠/。+加）=+---------mk,二-------

变式7：在等差数列｛4｝中，％〉0,若其前“项和为S“，且Sw=S8,那么当5“取最大

值时，〃的值为

【解法一】考虑从｛。“｝的项出发，由S14=$8可得S]4-§8=4+《0+…+。14=0，可得

+。】2=。=Il=一42，因为q>0,所以a[]>ON*<0，从而S"最大

【解法二】也可从S”的图像出发，由S14=S8可得S〃图像中〃=11是对称轴，再由6>0

与Sl4=S8可判断数列｛〃〃｝的公差d<0,所以为开口向下的抛物线，所以在〃=11处

S〃取得最大值

变式8：设首项为4,公差为d的等差数列｛《,｝的前〃项和为S“，满足S5s6+15=0,则

d的取值范围是

【解析】将$5,$6用q,4进行表示，从而方程55s6+15=0变形为含外,d的方程。而d的

取值只需让关于卬的方程有解即可，所以通过A20求出d的范围

S5=5。］+lOd-Sf、=6q+15d

2

：.S5S6+15=0=（5a,+lOd）（的+15^）=-15,=2a：+9%d+10J+l=0

所以关于的方程2a：+94d+10c/2+1=0应该有解

二A=81/—8（10屋+1）20解得422血或44一2拒

题型二等比数列

角度1:等比数列基本量的计算

等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度为中、

低档题.高考对等比数列的基本运算的考查常有以下三个命题角度：

（1）求首项。卜公比q或项数〃；（2）求通项或特定项：（3）求前”项和.

4

例题10：已知等比数列｛aj,且a6+a8=J'E7dx,则a8（a4+2a6+ag）的值为（）

0

A.n2B.4n2C.8n2D.i6n2

4

【解析】由定积分的几何意义，0）X2+y2=16在第一象限的部分与坐标轴所

0

4

围成的扇形的面积，即J&6.x2dx=4n,所以af+ag4n.又因为｛aj为等比数列，所以

o

38（34+236+38）=3834+23836+382=362+23836+382=/+aj=16TE故选D

例题11：（1）已知邑=。2+10"l,的=9,则苗=

（2）数列｛飙｝是递增的等比数列，。1+。4=%a2a3=8,则数列｛小｝的前〃项和等于,

（3）已知各项都为正数的数列｛期｝满足ai=l,冠一（2%+i—l）a,,—2斯+i=0,则a“=

【解析】（1）设等比数列｛斯｝的公比为夕,由S3=〃2+10ai,得+02+03=02+100，

即俏=如，丁=9,又。5=〃靖=9,所以〃]=*.

3

（ai+aiq=9f[ai=l,〃L8，

（2）设等比数列的公比为夕，则有L3°解得.或＜1

[/•夕3=8,[q=2卜=5.

ai=l,1—2W

又｛如｝为递增数列，所以.所以S“=KT=2“—1・

（3）由届一（2。〃+]—1）。〃-2〃“+i=0得2斯+1（即+1）=斯（飙+1）.

因为｛四｝的各项都为正数，所以肾故｛飙｝是首项为1,公比为3的等比数列，

因此&=2”-1•

变式9：已知数列同｝是公差不为0的等差数列，%=2%数列｛bj的前n项，前2n项，前

3n项的和分别为A,B,C,则()

A.A+B=CB.B2=ACC.(A+B)-C=B2D.(B-A)2=A(C-B)

【解析】:同｝是公差不为0的等差数列，二｛八｝是以公比不为1的等比数列，由等比数列

的性质，可得A,B-A,C-B成等比数列，二可得(B-A)2=A(C-B),故选D

变式10：等差数列｛q｝公差为2,若q,%,应成等比数列，｛4｝前6项的和为

【解析】等差数列｛"“｝的公差为2,若。1,名,。4成等比数列，则

x

即(%+4)-=q(%+6),解得4=-8,S6-6X(―8)+2=-18

角度2:等比数列的判定与证明

35

例题12：设数列｛斯｝的前“项和为S”〃GN*.已知。|=1,02=5,。3=丁且当位2时,

4S”+2+5S"=8S.+1+1

（1）求“4的值

（2）证明：｛%+「5“｝为等比数列

【解析】⑴当〃=2时，4s4+562=863+$,4（1+,+（+”4）+5（1+£）=8（1+,+£）+1

解得

（2）证明：由4S,,+2+5S"=8S“+I+S“T（〃22）,得4s,-2—4&+|+&-S“T=4S”+I—4s,（〃22）

即4如+2+%=44.+1（〃22）.因为4。3+。1=4'卷+1=6=4"2，所以4如+2+“"=4。”+1

a2

〃24"7_4c/〃r-2劭卜i_4c/〃r一〃厂20.।_2斯十|一斯_

I4〃〃+i—2〃〃4Q〃+I—2。〃2(2Q〃+I—a”)

为+i一呼”

所以数歹杀“+1一猫是以=1为首项，幼公比的等比数列

例题13：已知数列｛4｝满足q=|,a„+1=3a“—l（〃eN）

（1）若数列也）满足％=a「g,求证：也｝是等比数列；⑵求数列｛4｝的前项和S“.

【解析】（1）由题可知a“+|-;=3（。“一wN*）,从而有b“+]=3勿，4=4[一（=1

所以｛4｝是以1为首项，3为公比的等比数列

（2）由（1）知”=3"T,从而%=3"T+g,有S“=]+；+3+；+…3-+；=3"+7

例题14：已知数列｛a“｝满足q=2,a,a,i+an-2an_x=0（n>2）.

⑴求证：‘1一’,是等比数列，且a“<2（£—W万）+1；

（2）设5〃为数列｛。〃｝的前〃项和，若mwN*,且m<S100cm+1,求相的值.

【解析】(1)由aa_^+a-2。,“=0(〃22)na”=%、,/.---y-=----竽

nnn%+i1L1__L

an-\an-\

2"

'1---3是以1-----—为首项，一为公比的等比数列，由1----=I—

.a,J422anI2J

2"(1121

要证-----<2+1成立，只需证2"+'-\<2"-\'

2"-1(2"-12n+,-l

即2•一2<2"T-1,即2>1成立，；2>1显然成立，.•.原不等式成立.

1_____I1_____1

（2）由（1）知，“<2+1f

2'-1-22-1+1,〃2<222-1-23-1

“3<…吗《）<

累加得51W）<2（1一薪X）+100<102,

2"1（111、

而。“=-----=1+--------,S=100+1+-—+-—+.••+——>101,...m=101

"2"-I2"-lIOwO（22-123-12IOO-1J

变式11：【2015江苏高考】设时》还,%是各项为正数且公差为0）等差数列

（1）证明：膏力公’2月我飞依次成等比数列；

（2）是否存在q,d,使得附》,名）域.燧/依次成等比数列，并说明理由；

（3）是否存在及正整数〃，大，使得就3«T%喈幽'速泮依次成等比数列，说明理由.

0%：二r

【解析】（1）证明：因为J^二雪茄气=炉（探=1,2,3）是同一个常数，

■

所以2的，2%，2缶，2"4依次构成等比数列.

（2）令祗+镇=口，则at,a2,%,4分别为°，媒>「24,

"户0）.

假设存在q,d,使得■%,靖，a；,a：依次构成等比数列，

则徐-m-成翼森■+，且（痣=靖］部■+2^f.

令,=5,则1={1一弓@十£『，且+跳了/^o）,

化简得产+2产一2=0（*）,且/=¥+1.将产=*+1代入（*）式，

“贲+1）+0斗翳=f+1+器=缄+口=骸，则£=一，.

显然$=,_［不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，

4

因此不存在a”d,使得a”af,a},a：依次构成等比数列.

⑶假设存在9，d及正整数〃，k,使得a；,a},缚"，若'秣依次构成等比数列，

则HQ+加片=3+总产阂，且（%W也乎到4隰H趣+解产网.

分别在两个等式的两边同除以母’”遍及d*峭，并令人一(，＞一,/^o),

/3

则(1/宏广、(1句缎*，且(l+/fs,阳2=(1.产狗.

将上述两个等式两边取对数，得。小流物(I+阴毒浊(IT嚷)，

且(n+^ln(l+f)+(»+3i)ln(l+3r)=2(B+2i)Jn(l+2r).

化简得凝[加。+旬一呵1.+用=.球[2历(1+9一瓜口*蠡»,

且+^)-1»(1+/)]=Js[3ta(l+#)-In(l+3^)].

再将这两式相除，化简得ln(l+3r)ki(l+2n+31nn+2r)ln(l+n=41nn，3nin(l-r)(**).

令g(r)=41n(l+3nin(l+r)—ln(l+3r)ln(l+2r)—31n(l+2r)ln(l+r),

2Rl+3r')：ln(l+3r')-3(l+2r')：ln('l+2r'|+3(l+rrin(l+r)■

则g'(r)=」---：——：——