华师大版九年级数学上册全册教案

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第22章一元二次方程

22.1一元二次方程

【知识与技能】

1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整

理成一般形式ax2+bx+c=0(a#).

2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为

数学模型(一元二次方程)的过程中，使学生感受方程是刻画

现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.

【过程与方法】

通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一

元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，

提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.

【情感态度】

通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学

生的学习热情.

【教学重点】

判定一个数是否是方程的根.

【教学难点】

由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些

根是否确定是实际问题的根.

一、情境导入，初步认识

问题1绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟

面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，

那么绿地的长和宽各为多少？

【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x

(x+10)=900,整理可得x2+10x整00=0.(1)

问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年

底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.

解：设这两年的年平均增长率为x,我们知道，去年年底

的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5(1+x)万册，

同样，明年年底的图书数又是今年年底的(l+x)倍，即5

(1+x)-(l+x)=5(l+x)万册.可列得方程5(l+x)2=7.2,

整理可得5x2+10x22=0(2)

【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题.

二、思考探究，获取新知

思考、讨论

问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，

这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次

方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？

共同特点：

（1）都是整式方程

（2）只含有一个未知数

（3）未知数的最高次数是2

【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，

并且未知数的最高次数是2,这样的方程叫做一元二次方程.通

常可写成如下的一般形式：

2

ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数,a#）.其中ax2叫做二次

项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项系数，c叫做常数项.

例1判断下列方程是否为一元二次方程：

解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.

【教学说明】（1）一元二次方程为整式方程；（2）类似

⑤这样的方程要化简后才能判断.

例2将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一

般形式，并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项.

解:2x2J3x+ll=0；2,-13,11.

【教学说明】将一元二次方程化成一般形式时，通常要将

首项化负为正，化分为整.

三、运用新知，深化理解

1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中

的二次项系数、一次项系数及常数项.

(1)5x2-l=4x

(2)4x=81

(3)4x(x+2)=25

(4)(3x-2)(x+1)=8x-3

解：(1)5x2-4x-l=0；5,-4,-1；

(2)4x2-81=0；4,,-81

2

(3)4x2+8x-25=0；4,8,-25

(4)3x2-7x+l=0；3,-7,1.

2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二

次方程的一般形式.

(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形

的边长X；

(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的

长x；

(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长

的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.

解：(1)4x2=25；4x2-25=0；

(2)x(x-2)=100；x2-2x-100=0；

(3)x=(1-x)2；x2-3x+l=0.

3.若x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根，求a的值.

解:,八二？是方程ax2+4x-5=0的一个根.

4a+8-5=0解得：a=-

3

4

四、师生互动，课堂小结

1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式

方程，叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a声)，一元

二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的

项、次数及其系数的定义是一致的.

3.在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中,

体会学习一元二次方程的必要性和重要性.

1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.1”中选取.

2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.

22.2一元二次方程的解法

1.直接开平方法和因式分解法

【知识与技能】

1.会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b(a#O,ab>)的方程.

2.灵活应用因式分解法解一元二次方程.

3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用.

【过程与方法】

创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活

动式等几种方法进行教学.

【情感态度】

鼓励学生积极主动的参与“教''与"学”的整个过程，激发求

知的欲望，体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心.

【教学重点】

利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.

【教学难点】

合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次

方程.

一、情境导入，初步认识

问：怎样解方程(x+l)2=256?

解：方法1：直接开平方，得x+1=±16

所以原方程的解是x

1

=15,x

2

=-17

方法2：原方程可变形为：

(x+1)2-256=0,方程左边分解因式，得(x+1+16)

(x+1-16)=0

即(x+17)(x-15)=0

所以x+17=0或x-15=0

原方程的解x

1

二15,x

2

=-17

【教学说明】让学生说出作业中的解法，教师板书.

二、思考探究，获取新知

例1用直接开平方法解下列方程

(1)(3x+l)2=7;(2)y2+2y+l=24;(3)9n2-

24n+16=ll.

【教学说明】运用开平方法解形如(x+m)2=n(n>)的

方程时，最容易出现的错误是漏掉负根.

例2用因式分解法解下列方程：

(1)5x2-4x=0

(2)3x(2x+l)=4x+2

(3)(x+5)2=3x+15

【教学说明】解这里的(2)(3)题时，注意整体划归的

思想.

三、运用新知，深化理解

1.用直接开平方法解下列方程

(1)3(x-1)2-6=0

(2)x2-4x+4=5

(3)(x+5)2=25

(4)x2+2x+l=4

2.用因式分解法解下列方程：

3.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面

积增加了一倍，求小圆形场地的半径.

解：设小圆形场地的半径为xm.

则可列方程27ix2=7i(x+5)2.

解得x

1

=5+52,x

2

=5-52(舍去).

答：小圆形场地的半径为(5+52)m.

【教学说明】可由学生自主完成例题，分小组展示结果，

教师点评.

四、师生互动，课堂小结

1.引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次

方程的一般步骤.

2.对于形如a(x-k)2=b(a^O,b>)的方程,只要把(x-k)

看作一个整体，就可转化为x2=n(n>)的形式用直接开平方

法解.

3.当方程出现相同因式(单项式或多项式)时，切不可约

去相同因式，而应用因式分解法解.

1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.

2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.

2.配方法

【知识与技能】

1.使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元

二次方程.

2.在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转

化的技能.

【过程与方法】

通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.

【情感态度】

学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数

学的价值，增加学生学习数学的兴趣.

【教学重点】

使学生掌握用配方法解一元二次方程.

【教学难点】

发现并理解配方的方法.

一、情境导入，初步认识

问题要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且面积为

16m2,场地的长和宽分别是多少？

设场地的宽为xm,则长为(x+6)m,根据矩形面积为

16m2,得到方程x(x+6)=16,整理得到x2+6x-16=0.

【教学说明】创设实际问题情境，让学生感受到生活中处

处有数学，激发学生的主动性和求知欲.

二、思考探究，获取新知

探究如何解方程x2+6x-l6=0?

问题1通过上节课的学习，我们现在会解什么样的一元二

次方程？举例说明.

【教学说明】用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解

的一元二次方程的特点：等号左边是一个完全平方式，右边是

一个非负常数，即(x+m)2=n(n>),运用直接开平方法可

求解.

问题2你会用直接开平方法解下列方程吗？

(1)(x+3)2=25

(2)x2+6x+9=25

(3)x2+6x=16

(4)x2+6x-16=0

【教学说明】教师启发学生逆向思考问题的思维方式，将

x2+6x-16=0转化为(x+3)2=25的形式，从而求得方程的解.

解：移项得：x2+6x=16,

两边都加上9即(

x2+6x+9=16+9,

左边写成完全平方形式，得：

(x+3)2=25,开平方，得：x+3=±5,(降次)

即x+3=5或x+3=-5

解一次方程得：x

1

=2,x

2

=-8.

【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方

式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解

一元二次方程的方法叫做配方法.

例1填空：

(1)x2+8x+16=(x+4)2

(2)x2-x+

11

=(x-)2

42

6

2)，使左边配成x2+bx+(b2)2的形式，得:

2

(3)4x2+4x+l=(2x+l)2

例2列方程：

(1)x2+6x+5=0(2)2x2+6x+2=0(3)(1+x)2+2

(1+x)-4=0

【教学说明】教师可让学生自主完成例题，小组展示，教

师点评归纳.

【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤：

(1)把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；

(2)把常数项移到方程的右边；

(3)方程两边同时除以二次项系数a；

(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

(5)此时方程的左边是一个完全平方形式，然后利用直

接开平方法来解.

三、运用新知，深化理解

1.用配方法解下列方程：

(1)2x2-4x-8=0

(2)x2-4x+2=0

(3)x2-

1

x-l=O

2

2.如果x2-4x+y2+6y+z2+13=0,求(xy)z的值.

【教学说明】学生独立解答，小组内交流，上台展示并讲

解思路.

四、师生互动，课堂小结

1.用配方法解一元二次方程的步骤.

2.用配方法解一元二次方程的注意事项.

1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.

2.完成练习册中课时练习的“课时作业”部分.

3.公式法

【知识与技能】

1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的

概念.

2.会熟练应用公式法解一元二次方程.

【过程与方法】

通过复习配方法解一元二次方程，引导学生推导出求根公

式，使学生进一步认识特殊与一般的关系.

【情感态度】

经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力，渗透

辩证唯物主义观点.

【教学重点】

求根公式的推导和公式法的应用.

【教学难点】

一元二次方程求根公式的推导.

一、情境导入，初步认识

用配方法解方程：(1)x2+3x+2=0(2)2x2-3x+5=0

解：(1)x

1

=1,X

2

—2(2)无解

二、思考探究，获取新知

如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a?),

你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？

问题已知ax2+bx+c=0(aW),试推导它的两个根

【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨

把a,b,c也当成具体数字，根据上面的解题步骤就可以推导下

去.

探究一元二次方程ax2+bx+c=0（a声）的根由方程的系数

a,b,c而定，因此：

（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式

ax2+bx+c=0,当b2-

bb24ac

4acN时，将a,b,c代入式子x就得到方程的根，当b2-4ac

<

2a

时，方程没有实数根.

bb24ac

（2）x叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a声）的求根公

2a

式.

（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

【教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式,

体验获取知识的过程，体会成功的喜悦，可让学生小组展示.

例1用公式法解下列方程:

①2x2-4x-1=0②5x+2=3x2

③(x-2)(3x-5)=0④4x2-3x+l=0

66

,x

2

二1-

22

解：①x

1

=1+

1

②x

1

=2,x

2

3

5

③x

1

=2,x

2

3

④无解

【教学说明】(1)对②、③要先化成一般形式；(2)强

调确定a,b,c的值，注意它们的符号；(3)先计算b2-4ac的

值，再代入公式.

三、运用新知，深化理解

1.用公式法解下列方程：

(1)x2+x-12=0

2(2)x-2x-

1

二0

4

(3)x2+4x+8=2x+ll

(4)x(x-4)=2-8x

(5)x2+2x=0

(6)x2+25x+10=0

解：(1)x

1

=3,x

2

=-4;

2323

,x

2

二•

22

(2)x

1

(3)x

1

=l,x

2

二3;

(4)x

1

=-2+6,x

2

=-2-6；

(5)x

1

=0,x

2

二2

(6)无解.

【教学说明】用公式法解方程关键是要先将方程化为一般

形式.

四、师生互动，课堂小结

1.求根公式的概念及其推导过程.

2.公式法的概念.

3.应用公式法解一元二次方程.

1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.

2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.

4.一元二次方程根的判别式

【知识与技能】

1.能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推

理论证；

2.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范

围.

【过程与方法】

1.经历一元二次方程根的判别式的产生过程；

2.向学生渗透分类讨论的数学思想；

3.培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力.

【情感态度】

1.体验数学的简洁美；

2.培养学生的探索、创新精神和协作精神.

【教学重点】

根的判别式的正确理解与运用.

【教学难点】

含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用.

一、情境导入，初步认识

用公式法解下列一元二次方程

(1)x2+5x+6=0

(2)9x2-6x+l=0

(3)x2-2x+3=0

解：(1)X

1

=-2,x

2

=-3

1

(2)x

1

二x

2

3

(3)无解

【教学说明】让学生亲身感知一元二次方程根的情况，回

顾已有知识.

二、思考探究，获取新知

观察解题过程，可以发现:在把系数代入求根公式之前，

需先确定a,b,c的值，然后求出b2-4ac的值，它能决定方程是

否有解，我们把b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常

用符号“△”来表示，即A=b2-4ac.

我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现：

【归纳结论】(1)当△＞时，方程有两个不相等的实数

根：

bb24acbb24ac

x

1

,x

2

2a2a

(2)当A=0时，方程有两个相等的实数根,x

1

=x

2

(3)当A〈时，方程没有实数根.

例1利用根的判别式判定下列方程的根的情况:

b

2a

解：(1)有两个不相等的实数根；

(2)有两个相等的实数根；

(3)无实数根；

(4)有两个不相等的实数根.

例2当m为何值时，方程(m+1)x2-(2m-3)x+m+l=O,

(1)有两个不相等的实数根？

(2)有两个相等的实数根？

(3)没有实数根？

解：(1)m<

1

且m^-1;

4

(2)m=

4

1

4

(3)m>

【教学说明】注意(1)中的m+屏这一条件.

三、运用新知，深化理解

1.方程x2-4x+4=0的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.有一个实数根

D.没有实数根

2.已知x2+2x=m-l没有实数根，求证：x2+mx=l-2m必有

两个不相等的实数根.

【答案】1.B

2.证明:Vx2+2x-m+l=0没有实数根，4-4(1-m)<

0,.'.mV0.对于方程x2+mx=l-2m,即x2+mx+2m-1=0,A=m2-

8m+4,*/m<0,/.A>0,/.x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数

根.

【教学说明】引导学生灵活运用知识.

四、师生互动，课堂小结

1.用判别式判定一元二次方程根的情况

(1)△〉时，一元二次方程有两个不相等的实数根；

(2)△=()时，一元二次方程有两个相等的实数根.

(3)时，一元二次方程无实数根.

2.运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不

为这一隐含条件.

【教学说明】可让学生分组讨论，回忆整理，再由小组代

表陈述.

1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.

2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.

*5.一元二次方程的根与系数的关系

【知识与技能】

1.引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出

一元二次方程根与系数的关系，及其关系的运用.

2.通过观察、实践、讨论等活动，经历从观察判断到发现

关系的过程.

【过程与方法】

通过探究一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察

分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励学

生勇于探索的精神.

【情感态度】

在积极参与数学活动的同时，初步体验发现问题，总结规

律的态度及养成质疑和独立思考的习惯.

【教学重点】

一元二次方程根与系数之间的关系的运用.

【教学难点】

一元二次方程根与系数之间的关系的运用.

一、情境导入，初步认识

1.完成下列表格

问题你发现了什么规律？

①用语言叙述你发现的规律：（两根之和为一次项系数的

相反数；两根之积为常数项）

②设方程x2+px+q=0的两根为x

1

,x

2

,用式子表示你发现的规律.（xl+x2=-p,xl・x2=q）

2.完成下列表格

问题上面发现的结论在这里成立吗？（不成立）

请完善规律：

①用语言叙述发现的规律：（两根之和为一次项系数与二

次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比）

②设方程ax2+bx+c=0的两根为x

1

,X

2

,用式子表示你发现的规律.(X

1

+X

2

=-bc

,x

1

•X

2

二)

aa

二、思考探究，获取新知

通过以上活动你发现了什么规律？对一般的一元二次方程

ax2+bx+c=0(a#)这一规律是否成立？试通过求根公式加以

说明.

bb24acbb24acb

ax+bx+c=O的两根x

1

,X

2

,xl+x2-,

2a2aa

2

x

1

•X

2

c

a

【教学说明】教师可引导学生根据求根公式推导出根与系

数之间的关系，体会知识形成的过程，加深对知识的理解.

例1不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：

(1)x2-6x-15=0;

(2)3x2+7x-9=0;

(3)5x-1=4x2.

解：(1)x1+x2=6,x1-x2=-15;

(2)xl+x2=-

7

,xl-x2-3；

3

(3)xl+x2=

51

,xl・x2=.

44

【教学说明】先将方程化为一般形式，找出对应的系数.

例2已知方程2x2+kx-9=0的一个根是-3,求另一根及k

的值.

解:另一根为

3

,k=3.

2

【教学说明】本题有两种解法，一种是根据根的定义，将

x=-3代入方程先求k,再求另一个根；一种是利用根与系数的

关系解答.

例3已知a,0是方程x2-3x-5=0的两根，不解方程，求下

列代数式的值.

三、运用新知，深化理解

1.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：

(1)x2-3x=15

(2)5x2-1=4x2

(3)x2-3x+2=10

(4)4x2-144=0

(5)3x(x-1)=2(x-1)

(6)(2x-l)2=(3-x)2

2.两根均为负数的一元二次方程是()

A.7x2-12x+5=0

B.6x2-13x-5=0

C.4x2+21x+5=0

D.x2+15x-8=0

【教学说明】两根均为负数的一元二次方程根与系数的关

系满足两根之和为负数，两根之积为正数.

【答案】1.(1)x

+X

2

=3,x

1

x

2

—15

(2)x

1

+x

2

=0,x

1

x

2

二-l

(3)x

1

+x

2

=3,x

1

X

2

=-8

(4)x

1

+x

2

=0,x

1

x

2

—36

52

(5)x

1

+x

2

=X

1

X

2

33

(6)x

1

+x

2

2.C

28

,x

1

X

2

33

【教学说明】可由学生自主完成抢答，教师点评.

四、师生互动，课堂小结

1.一元二次方程的根与系数的关系.

2.一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件.

1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.

2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.

22.3实践与探索

【知识与技能】

使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实

际问题转化为数学模型来建立一元二次方程.

【过程与方法】

让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学

建模思想，体会如何寻找实际问题中的等量关系.

【情感态度】

通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创

新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严

谨的治学精神.

【教学重点】

列一元二次方程解决实际问题.

【教学难点】

寻找实际问题中的等量关系.

一、情境导入，初步认识

问题1学校生物小组有一块长32m,宽20m的矩形试验

田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一

条等宽的小道，要使种植面积为540m,小道的宽应是多少？

问题2某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为

31.5元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.

二、思考探究，获取新知

问题1【分析】问题中的等量关系很明显，即抓住种植面

积为540m2来列方程，设小道的宽为xm,如何来表示种植面

积？

方法一：如图，由题意得，32x20-32x-20x+x2=540

2

方法二：如图，采用平移的方法更简便.

由题意可得：(20-x)(32-x)=540

解得x

1

=50,x

2

二2

由题意可得x<20,x=2

【教学说明】引导学生学会一题多解，同时要注意检验所

解得的结果是否符合实际意义.

问题2【分析】这是增长率问题，问题中的数量关系很明

了，即原价56元经过两次降价降为31.5元，设每次降价的百

分率为x,由题意得

56(1-x)2=31.5

解得x

1

=0.25,x

2

=1.75(舍去)

三、运用新知，深化理解

1.青山村种的水稻2011年平均每公顷产量为7200kg,2013

年平均每公顷产量为8450kg,求水稻每公顷产量的年平均增

长率.

2.用一根长40cm的铁丝围成一个长方形，要求长方形的

面积为75cm2.

(1)求此长方形的宽.

(2)能围成一个面积为101cm2的长方形吗？如能，说

明围法.

(3)若设围成一个长方形的面积为S(cm2)，长方形的

宽为x(cm),求S与x的函数关系式，并求出当x为何值时,

S的值最大，最大面积为多少.

【答案】1.解：设年平均增长率为x,

则有7200(1+x)2=8450,

解得x

1

1

-0.08,

12

x

2

24

--2.08(舍去).

12

即年平均增长率为8%.

答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.

2.解：(1)设此长方形的宽为xcm,则长为(20-x)cm.

根据题意，得x(20-x)=75

解得：xl=5,x2=15(舍去).

答：此长方形的宽是5cm.

(2)不能.由x(20-x)=101,即x2-20x+101=0,,知

△=202-4x101=4<,方程无解，故不能围成一个面积为

101cm2的长方形.

(3)S=x(20-x)=-x2+20x.

由S=-x2+20x=-(x-10)2+100可知，当x=10时，S的值

最大，最大面积为100cm2.

【教学说明】注意一元二次方程根的判别式和配方法在第

2题第(2)、(3)问中的应用.

四、师生互动，课堂小结

L列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、

答.最后要检验根是否符合实际意义.

2.用一元二次方程解决特殊图形问题时，通常要先画出图

形，利用图形的面积找相等关系列方程.

3.若平均增长(降低)率为x,增长(或降低)前的基数

是a,增长(或降低)n次后的量是b,则有：a(l±x)n=b

(常见n=2).

1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.3”中选取.

2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.

本章复习

【知识与技能】

掌握一元二次方程的基本概念及其解法；灵活运用一元二

次方程知识解决一些实际问题.

【过程与方法】

通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及到的化归思想、

建模思想的过程，加深对本章知识的理解.

【情感态度】

【教学重点】

一元二次方程的解法及应用.

【教学难点】

一元二次方程的应用.

一、知识框图，整体把握

二、释疑解惑，加深理解

1.一元二次方程的解法

【教学说明】一般考虑选择方法的顺序：直接开平方法、

因式分解法、配方法或公式法.

2.一元二次方程根的判别式A=b2-4ac

(1)当△>时，方程有两个不相等的实数根；

(2)当A=0时，方程有两个相等的实数根；(

3)当时，方程无实数根.

在应用时，要根据根的情况限定A的取值，同时应注意

二次项系数不为这一条件.

3.一元二次方程y=ax2+bx+c(a，)的根与系数的关系，

在应用时要注意变形.同时要明确根与系数的关系成立的两个

条件：

(1)ar,(2)A>

4.应用一元二次方程解决实际问题，要注重分析实际问题

中的等量关系，列出方程，求出方程的解，同时要注意检验其

是否符合题意.

三、典例精析，复习新知

例1用适当的方法解下列方程

(1)x2-7x=0

(2)x2+12x+27=0

(3)x(x-2)+x-2=0

(4)x2+x-2=4

(5)4(x+2)2=9(2x-l)2

解：⑴x

1

=0,x

2

二7;

(2)x

1

=-3,x

2

=-9;

(3)x

1

=2,x

2

二1；

(4)x

1

=2,x

2

二3;

(5)x

1

71

,x

2

48

【教学说明】依据各种不同方法所对应方程的特点来解.

例2关于x的方程ax2-(3a+l)x+2(a+1)=0,有两个

不相等的实数根x

1

,x

2

，且有x

1

-X

1

X

2

+X

2

=l-a,则a的值是().

A.lB.-lC.l或-1D.2

例3(2012.江苏徐州)为了倡导节能低碳生活，某公司对

集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过

a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除交

20元外，超过部分每千瓦时要交

a

元，

100某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份

用电45千瓦时，交电费20元.

(1)求a的值；

(2)若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电

量为多少千瓦时？

解：(1)由题意得20+(80-a)x

a=50.

(2)设5月份用电x千瓦时，依题意得20+(x-50)x

x=100,则该宿舍当月用电量为100千瓦时.

【教学说明】现实生活中存在大量的实际应用问题，需要

用一元二次方程的知识来解决，解决这类问题的关键是在充分

理解题意的基础上构建方程模型.

四、复习训练，巩固提高.

1.方程x2-3x=0的解为()

50

=45,解得

100

a

=35,解得a

1

=30,a

2

=50,Va>45,

100

A.x=0

B.x=3

C.x

1

=0,x

2

=-3

D.x

1

=0,x

2

二3

2.(2012・河北)用配方法解方程x2+4x+l=0,配方后的方

程是()

A.(x+2)2=3B.(x-2)2=3C.(x-2)2=5D.

(x+2)2=5

3.(2012•辽宁本溪)已知一元二次方程x2-8x+15=0的两

个根恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则4ABC的周

长为()

A.13B.11或13C.llD.12

4.(2012•山东日照)已知关于x的一元二次方程(k-2)

2x2+(2k+l)x+l=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围

是()

A.k<

4

且kr2

3

4

且k#2

3

3

且原2

4

3

且k，2

4

22

B.k>

C.k>

D.k>

5.设a,0是一元二次方程x+3x-7=0的两个根，则

a+4a+0=.

6.（2012•内蒙古包头）关于x的两个方程x2-x-2=0与

个解相同，则a=.

7.（2012.湖北鄂州）设x

1

,X

2

是一元二次方程x2+5x-3=0的两个根，且2x

1

（x

2

2+6x2-3）+a=4,则a=.

12

有一

xlxa

8.（2012.山东济宁）一学校为了绿化校园环境，向某园林

公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过

60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1

棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最

低售价不得少于100元.该校最终向园林公司支付树苗款8800

元，请问该校共购买了多少棵树苗？

【答案】l.D2.A3.B4.C5.46.47.10

8.解：二飞。棵树苗的售价为120x60=7200（元），而

7200V8800,.••该校购买的树苗超过60棵.设该校共购买了x

棵树苗，由题意得X[120-0.5(x-60)]=8800,解得

xl=220,x2=80,当xl=220时,120-0.5X(220-60)=40<100,

x=220不合题意,舍去；当x=80时，120-0.5X(80-60)

=110>100,，x=80,即该校共购买了80棵树苗.

五、师生互动，课堂小结

本堂课你能完整地回顾本章所学的有关一元二次方程的知

识吗？你还有哪些困惑与疑问？

1.布置作业：从教材本章“复习题”中选取.

2.完成练习册中“本章热点专题训练”.

第23章图形的相似

23.1成比例线段

1.成比例线段

【知识与技能】

1.了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例.

2.会利用比例的性质，求出未知线段的长.

【过程与方法】

培养学生灵活解题及合作探究的能力.

【情感态度】

感受数学逻辑推理的魅力.

【教学重点】

成比例线段的定义;比例的基本性质及直接运用.

【教学难点】

比例的基本性质的灵活运用，探索比例的其他性质.

一、情境导入，初步认识

挂上两张照片，问:

1.这两个图形有什么联系？

它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，

是相似图形.

2.这两个图形是相似图形，为什么有些图形是相似的，而

有的图形看起来

相像又不会相似呢？相似的两个图形有什么主要特征

呢？为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的

成比例.

二、思考探究，获取新知

1.两条线段的比

（1）回忆什么叫两个数的比，怎样度量线段的长度，

怎样比较两线段的大小.

如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度

分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB：CD=m：n

或写成ABCD=

叫做这两个线段比的前项和后项.

如果把

mAB

表示成比值k,贝仁k或AB=k.CD.

nCD

m

,其中，线段AB、CD分别

n

注意：在量线段时要选用同一个长度单位.

(2)做一做

量出数学书的长和宽(精确到0.1cm),并求出长和宽

的比.

改用m作单位，则长为0.211m,宽为0.148叫长与宽的

比为0211：

0.148=211：148.

只要是选用同一单位测量线段，不管采用什么单位，

它们的比值不变.（3）求两条线段的比时要注意的问

题

①两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单

位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；

②两条线段的比没有长度单位，它与所采用的长度单

位无关；

③两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总

是正数.

问：两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关

系？（学生讨论）（答：线段的长度比与所采用的长

度单位无关）.

2.成比例线段的定义四条线段a、b、c、d中，如果其中

两条线段的长度之

比等于另外两条线段的长度之比，如

成比例线段，简称比例线段.

3.比例的基本性质两条线段的比实际上就是两个数的比.如

果a、b、c、d

四个数满足

同伴交流.

如果

ac

,那么ad=bc.

bd

acac

,那么ad=bc吗？反过来，如果说ad=bc,那么吗？

与

bdbd

ac

,那么这四条线段a、b、c、d叫做

bd

若ad二bc(a、b、c、d都不等于)，那么

ac

bd

例1在某市城区地图(比例尺1：9000)±,新安大街

的图上长度与光华大街的图上长度分别是16cm、10cm.

(1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？

(2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它

们的实际长度之比呢？

解：⑴1440米，900米.(2)8：5,8：5.

例2如图，已知

acabcd

和;二3,求

bdbd

解：

abed

=4,=4.

bd

三、运用新知，深化理解

【教学说明】分组讨论完成并展示.

四、师生互动，课堂小结

1.注意点：（1）两线段的比值总是正数；（2）讨论线段

的比时，不指明

长度单位；（3）对两条线段的长度一定要用同一长度

单位表示.

2.比例尺：图上长度与实际长度的比.

3.熟记成比例线段的定义.

4.掌握比例的基本性质，并能灵活运用.

1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.1”中选取.

2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.

2.平行线分线段成比例

【知识与技能】

了解平行线分线段成比例定理的证明，掌握定理的内

容.能应用定理证明线段成比例等问题，并会进行有关

的计算.

【过程与方法】

通过定理的推导证明与应用，培养学生探索新知识、

提高分析问题和解决问题的能力，提高学生的识图能

力和发散思维能力，以及现有知识向新知识迁移的能

力.

【情感态度】

通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到

一般，并能欣赏数学表达式的对称美.

【教学重点】

定理的应用.

【教学难点】

定理的推导证明.

一、情境导入，初步认识

问题1翻开我们的作业本，每一页都是由一些间距相

等的平行线组成的，如图在作业本上任意画一条直线m

与相邻的三条平行线交于A、B、C三点，得到两条线

段AB、BC,量一量，你发现这两条线段的长度有什么

关系？相等即AB二BC（由学生回答）

.思考：再任意画一条直线n与这组平行线相交，得到两

条线段DE和EF,

你发现DE与EF的长度存在什么关系？

由此，我们可以得到

ABDF

BCEF

问题2选择作业本上不相邻的三条平行线，任意画m、

n与它们相交，如果m、n这两条直线平行，观察并思

考这时所得的AD、DB、FE、EC这四条线段的长度有什

么关系.如果m、n这两条直线不平行，你再观察一下,

量一量,算一算，看看它们是否存在类似关系.

归纳：

ADFE

DBEC

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

（简称“平行线分线段成比例”）

二、思考探究，获取新知

思考：（1）如图，当图（3）中的点A与点F重合时

就形成一个三角形的特殊情况，此时，AD、DB、AE、

EC这四条线段之间会有怎样的关系？（2）如图，当图

（3）中的直线n相交于第二条平行上某点时，是

否也有类似的成比例线段呢？

归纳：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边

的延长线），所得的对应线段成比例.

例1如图，I

1

//\

2

//\

3

(1)已知AB=3,DE=2,EF=4,求BC；

(2)已知AC=8,DE=2,EF=3,求AB.

三、运用新知，深化理解

1.如图，已知1

1

//\

2

//\

3

,下列比例式中错误的是()

2.如图，已知1

1

//\

2

//\

3

,下列比例式中成立的是()

【答案】1.D2.D

【教学说明】可由学生独立完成抢答，教师最后点拨.

四、师生互动，课堂小结

1.平行线分线段成比例定理及其推论，注意“对应”的含义.

2.研究问题的方法：从特殊到一般，类比联想.

1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.1”中选取.

2.完成《创优作业》中本课时练习的“课时作业”部分.

23.2相似图形

【知识与技能】

知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相

等.识别两个多边形是否相似的方法.

【过程与方法】

在推出相似多边形性质时，让学生用量角器、刻度尺

来测量，锻炼动手能力.

【情感态度】

让学生感受数学知识源于生活、用于生活.

【教学重点】

相似图形的定义和性质.

【教学难点】

相似图形的性质.

一、情境导入，初步认识

复习：

1.若线段a=6cm,b=4cm,c=3.6cm,d=2.4cm,那么线段a,b,c,d

会成比例吗？

2.两张相似的地图中的对应线段有什么关系？（都成比例）

二、思考探究，获取新知

相似的两张地图中的对应线段都会成比例，对于一般

的相似多边形，这个结论是否成立呢？同学们动手量

一量，算一算，用刻度尺和量角器量一量课本第58页

两个相似四边形的边长，量一量它们的内角，由一位

同学把量得的结果写在黑板上，其他同学把量得的结

果与同伴交流.

同学们会发现有什么关系呢？经过观察、计算得出这

两个相似四边形的对应边会成比例，对应角会相等，

再观察课本中两个相似的五边形，是否也具有一样的

结果？反映它们的边之间、角之间的关系是什么关系?

同学们用格点图画相似的两个三角形，也观察、度量,

它们是否也具有这种关系（对应边成比例，对应角相

等）？

由此可以得到两个相似多边形的特征：

（由同学回答，教师板书）对应边成比例，对应角相

实际上这两个特征，也是我们识别两个多边形是否相

似的方法.即如果两个多边形的对应边成比例，对应角

相等，那么这两个多边形相似.

识别两个多边形是否相似的标准有：（边数相同），

对应边要（成比例），对应角要（都相等）.（括号内

要求同学填）

填一填:

(1)两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢?

两个等边三角形呢？两个等腰直角三角形呢？

(2)所有的菱形都相似吗？所有矩形呢？正方形呢？

例1矩形ABCD与矩形A，B，5D，中，

AB=1.5cm,BC=4.5cm,A'B'=0.8cm,BzC'

=2.4cm,这两个矩形相似吗？为什么？

例2如图所示，四边形ABCD与四边形A，BzC'X相

似，求NA的度数与x的值:三、运用新知，深化理解

1.矩形ABCD与矩形ABCTX中，已知

AB=16cm,AD=10cm,A'D，=6cm,矩形ABCTX的面积为54cm2,

这两个矩形相似吗？为什么？2.如图，四边形ABCD与四边

形A，5X是相似的，且CzDz±BZC/,根据

图中的条件，求出未知的边x、y及角a.

【答案】1.这两个矩形不相似，由矩形A，B，5X

的面积为54知A7Bz=544-6=9(cm),

2.x=14,y=18,a=85°

【教学说明】教师引导学生独立完成，让学生演示并

讲解，师生共同点评.四、师生互动，课堂小结

1.相似多边形的性质：对应边成比例；对应角相等.

2.相似多边形的判定.

1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.2”中选取.

2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.

23.3相似三角形

1.相似三角形

【知识与技能】

1.知道相似三角形的概念；

2.能够熟练地找出相似三角形的对应边和对应角;

3.会根据概念判断两个三角形相似，能说出相似三角形的

相似比，由相似

比求出未知的边长；

4.掌握利用“平行于三角形一边的直线，和其它两边（或

两边的延长线）

相交所构成的三角形与原三角形相似”来判断两个三

角形相似.

【过程与方法】

在探索活动中，发展发现问题、解决问题的意识和合

作交流的习惯.【情感态度】

培养学生严谨的数学思维习惯.

【教学重点】

掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断

两个三角形是否相似.【教学难点】

熟练找出对应元素，在此基础上根据定义求线段长或

角的度数.

一、情境导入，初步认识

复习：什么是相似形？识别两个多边形是否相似的标

准是什么？

二、思考探究，获取新知

1.相似三角形的有关概念：

由复习中引入，如果两个多边形的对应边成比例，对

应角都相等，那么这两个多边形相似.

三角形是最简单的多边形.由此可以说什么样的两个三

角形相似？如果两个三角形的三条边都成比例，三个

角对应相等，那么这两个三角形相似，如在4ABC与

△A，B，5中，ZA=Az,ZB=ZBz,ZC=ZC,,

ABBCAC

,那

ABBCAC

么AABC与AA，B，C'相似，记作

△ABCsZiA，B，5.是表示相似的符号，读作

“相似于"，这样两个三角形相似就读作“aABC相似

于AA，BzC'”.

由于NA=NA，,ZB=ZBz,ZC=ZCz,所以A与A7

是对应顶点，B与Bz是对应顶点，C与5是对应顶

点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，

以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边.如

果记

ABBCAC

二k,

ABBCAC

那么这个比值k就表示这两个相似三角形的相似比.相

似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系.如

△ABCS2\A，B，J,它的相似比为k,即指

C与△ABC的相似比应是

AB

=k,那么4AB

AB

AB

,就不是k了，应为多少呢？同学们想一想.

AB

ABBCAC

二1,

ABBCAC

如果△ABCs/iA，B，C，,相似比k=1,你会发现什么

呢？

所以可得AB=A'Bz,BC=B,C',AC=A'C',因此这两

个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三

角形称之为全等三角形，全等三角形是相似三角形的

特例.试问：①全等的两个三角形一定相似吗？②相似

的两个三角形会全等吗？

2ZABC中，D是AB上任意一点，过D作DE〃BC,交

AC边于E,那么4ADE

与AABC是否相似？

【分析】判断它们是否相似，由①对应角是否相等，

②对应边是否成比例去考虑.能否得对应角相等？根据

平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否

成比例呢？可根据平行线分线段成比例的基本事实，

推得

过度量发现

DEAD

,所以可以判断出△ADE与△ABC相似.

BCAB

AEDE

,通

ACBC

思考（1）你能否通过演绎推理证明你的猜想？

（2）若是DE/7BC,DE与BA、CA延长线交于E、D,那

么4ADE与4ABC还会相似吗？试试看，如果相似写出

它们对应边的比例式.

【归纳结论】平行于三角形一边的直线和其他两边

（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形

相似.

例1如图，在4ABC中，点D是边AB的三等分点，

DE/7BC,DE=5,求BC的长.

解：'/DE/7BC,

.".△ADE^AABC,

/.DEBC=ADAB=13,

.-.BC=3DE=15.

三、运用新知，深化理解

1.如图所示，DE/7BC.

(1)如果AD=2,DB=3,求DE：BC的值；

(2)如果AD=8,DB=12,AC=15,DE=7,求AE和BC的

长.

2.如图，梯形ABCD中，AD〃BC,点E是边AD的中点，

连接BE交AC于点F,BE的延长线交CD的延长线于点G.

GEAE

GBBC

(1)求证:

(2)若GE=2,BF=3,求线段EF的长.

【答案】1.(1)DE：BC=2：5

(2)AE=6,BC=

35

2

2.(1)证明：：AD〃BC,.,.△GED^AGBC,

GEED

.又•.•ED=AE,

GBBC

GEAE

GBBC

(2)设EF的长为x,则由(1)知

GEAE

5

GBBC

又二

AEGEGEEF

,・；即

BCGBGBBF

2x

，解得x

1

—6（舍去），x

2

二1,

2x33

AEF=1.

【教学说明】第2题教师适当点拨，小组讨论后独立

完成.

四、师生互动，课堂小结

你这节课学到了哪些知识？还有哪些疑问？

1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3”中选取.

2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.

第2课时相似三角形的判定（2）【知识与技能】

1.掌握相似三角形的判定定理2：有两边对应成比例，且

夹角相等的两个

三角形相似；

2.掌握相似三角形的判定定理

3：三条边对应成比例的两个三角形相似3能依据条件，

灵活应用相似三

角形的判定定理，正确判断两个三角形相似.

【过程与方法】

在推理过程中学会灵活使用数学方法.

【情感态度】

培养学生严谨的数学证明习惯和对数学的兴趣.

【教学重点】

相似三角形的判定定理2、3的推导过程，掌握相似三

角形的判定定理2、

3并能灵活应用.

【教学难点】

相似三角形的判定定理的推导及应用.

一、情境导入，初步认识

复习：1.现在要判断两个三角形相似有哪几种方法?

有两种方法：（1）根据定义；（2）有两个角对应相等

的两个三角形相似.

11

2.如图△ABC中，D、E是AB、AC上三等分点（即

AD=AB,AE=AC）,那么

33

AADE与AABC相似吗？你用的是哪一种方法？

由于没有两个角对应相等，同学们可以动手量一量，

量什么后可以判断它们是否相似？

【教学说明】可能有一部分同学用量角器量角，有一

部分同学量线段，看看能否成比例，无论哪一种，都

应肯定他们是正确的，要求同学说出是应用哪一种方

法判断出的.

二、思考探究，获取新知

同学们通过量角或量线段计算之后，得出：

△ADEs/iABC.从已知条件看，△

ADE与4ABC有一对对应角相等，即NA=NA（是公共

角），而一个条件是

11AD1AE1ADAE

AD=AB,AE=AC,即是.△ADE的两条边AD、，，因此

33AB3AC3ABAC

AE与AABC的两条边AB、AC会对应成比例，它们的

夹角又相等，符合这样条件

的两个三角形也会相似吗？我们再做一次实验.观察教

材图23.3.10,如果有一点E在边AC上，那么点E应

该在什么位置才能使4ADE与AABC相似呢？

1

图中两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值

为，将点E由点A