弹性力学简明教程第三版全程导学及习题全解

第一章楮卷

本章学习重点与难点

重点

一-、弹性力学的内容:弹性力学的研究对象、内容和危困•注意与其它力学在任

务、研究对象和研究方法上的相同点及不同点.

二、弹性力学的基本假定、基本fit和坐标系

1.为简化计算，弹性力学假定所研究的物体处于连续的、完全弹性的、均匀的、

各向同性的、小变形的状态.

2.各种基本量的正负号规定.注意弹性力学中应力分量的正负号规定与材料

力学中的正负号规定有何相同点和不同点.

外力（体力、面力）均以沿坐标轴正向为正•面力的正负号与所处的面无关（只

与坐标系有关），注意与应力分量正面正向、负面负向约定的区别.

3.五个基本假定在建立弹力力学基本方程时的用途。

难点

建立正面、负面的概念,确立弹性力学中应力分量的正负号规定。

典型例题讲解

例1・1试分别根据在材料力学中,和弹性力学中符号的规定,确定图中所示

的切应力ri.ri»T3的符号•

O：

例1•1图

2弹怏•力学的明数枚（第三•施）金也导母及习题全*

【解答】（D在材料力学中规定，凡企图使单元或其局部顺时针转动的切应力

为正.反之为负.所以,r,.r,为正打八r.为负.

（2）在弹性力学中规定,作用于正坐标面上的切应力以正坐标轴方向为正.作

用于负坐标面L的切应力以负坐标轴方向为正，相反的方向均为负.所以,c，s，

「3，r4均为负o

习题全解

1-1试举例说明,什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体，什

么是非均匀的各向异性体。

【解答】木材、竹材是均匀的各向异性体;混合材料通常称为非均匀的各向同

性体•如沙石混凝土构件，为非均匀的各向同性体;有生物组织如长骨•为非均匀的

各向异性体.

1-2一般的混凝土构件和钢筋混^土构件能否作为理想弹性体？一般的岩

质地基和土质地基能否作为理想弹性体？

【解答】一般的混凝土构件可以作为理想的弹性体•而钢筋混凝土构件不可

以作为理想的弹性体L•般的岩质地基不可以作为理想弹性体，而土质地基可以作

为理想的弹性体.

1-3五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？

【解答】（D连续性假定:引用这一假定以后，物体中的应力、应变和位移等物

理量就可看成是连续的，因此,建立用性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函

数来表示它们的变化规律。

（2）完全弹性假定:引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应力

成正比的含义，亦即二者成线性的关系，服从胡克定律•从而使物理方程成为线性

的方程。

（3）均匀性假定;在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相

同的.因此，反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模垃E和泊松比〃等）就不随

位置坐标而变化.

（4）各向同性假定:所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是相

同的。进一步地说,就是物体的弹性常数也不随方向而变化.

（5）小变形假定।我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改

变,而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算.同时，在研究物体的变形和位移时，

可以将它们的二次器或乘积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性

微分方程.

在上述这些假定下,学性力学问题都化为线性问题•从而可以应用叠加原理。

1-4应力和面力的符号规定有什么区别？鼠分别画出正面和负面上的正的

应力和正的面力的方向。

»—*纣it3

【解答】应力的符号规定是:当作用面的外法线指向坐标轴的正方向时（即正

面时3这个面上的应力（不论是正应力或切应力）以沿坐标轴的正方向为正.沿坐

标轴的负方向为负.与此相反.当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面

时）.这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负.

面力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正,沿坐标轴的负方

向时为负.

解14图

1-5试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定.

【解答】在弹性力学和材料力学中切应力的符号规定不尽相同:材料力学中

规定,凡企图使微段顺时针转动的切应力为正；在弹性力学中规定，作用于正坐标

面上的切应力以沿坐标轴正方向为正,作用F负坐标面上的切应力以沿坐标轴负

方向为正.相反的方向均为负.

1-6试举例说明正的应力对应于正的形变.

【解答】如梁受拉伸时,其形状发生改变，正的应力（拉

应力）对应于正的形变.

1-7试画出题1-7图中的矩形薄板的正的体力,面力

和应力的方向.

注意：（1）无论在哪一个位置的体力,在哪一个边界面上

的面力，均以沿坐标轴正方向为正，反之为负.（2）边界面上

的应力应是以在正坐标面上•方向沿坐标轴正方向为正，反

4弹性力学演明数检（第三*）金极导学及习网全解

（a）体力和曲力,（b）体力和应力

之为负，在负坐标面上•方向沿坐标轴负方向为正，反之为负。

1-8试画出题1-8图中的三角形薄板的正的面力和体力的方向.

题］-8图

第二,平而同题的基洋理卷

本章学习重点与难点

重点

一、两类平面问题的概念

平面应力问题平面应变问题

名称

未知量已知量未知量已知量

位移UtVw#0U，0w=0

二九・=0

应变<J，£y，YQ/,«=T«=3=。

£«=一百5十。」

r=r,=0，

应力%Wy，r»r„=r.=a.=0<7,»<7,tTjcyytx

4o,=〃（％十%）

体力、面力的作用面平行于Q平体力、面力的作用面平行于“》平

外力

面•外力沿板厚均匀分布。面，外力沿Z轴无变化.

物体在一个方向的几何尺寸远小于

沿一个方向（通常取为Z轴）很长的

形状其它两个方向的几何尺寸（等厚度

等截面棱柱体（等截面长柱体）.

薄板1

二、平面问题的基本方程

平面问题的基本方程共有八个，见下表.其中，E,〃,G分别是弹性模量、泊松

P

比和切变模量,G=57TJ.

1十〃）

名称基本方程表达式应用基本假定

平衡微连续性，小变

分方程蓼+鬻岩+既形,均匀性

几何Du3vdu।3v连续性，小变

-F‘，=热，，”=豆+石・

方程形•均匀性

6“忸■力学演明收桎（第三版）金松导学及习国金解

续表

名称基本方程表达式应用基本假定

平面应力问题平面应变问题

_1、连续性•小变

€*=三z（。・一/＞）.

物理形，均匀性，

_1、

方程-一二豆（z%——完全弹性，

各向同性

1

y"=不riy®y~亍T2O

三、平面问题的边界条件

弹性力学平面问题的边界条件有三类，如下表.其中S..S.分别表示面力、位

移已知的边界，/和m则是边界面的方向余弦.

位移边界条件应力边界条件混合边界条件

u="S.上

|d+mr”=?S上

产+mr“=7・，5上

ur^-hw,=/,.

1%+巩=九・-

四、平面问题的两条求解途径

1.处理平面问题时•常用按位移求解和按应力求解这两条途径.在满足相应

的求解方程和边界条件之后，前者先求出位移再用几何方程、物理方程分别求出应

变和应力，后者先求出应力再由物理方程、几何方程分别求出应变和位移.

2.按位移求解平面问题•归结为在给定边界条件F,求解以位移表示的平衡微

分方程（平面应力情况）：

♦号（票+宁奈+守悬）=。，

“号佛+宁骁+*悬）=。・

3.按应力求解平面问题，除运用平衡微分方程外，还需补充应变相容方程，该

方程可用应变或应力分量表示.

用应力表示的相容方程：

一般情况下：

V:（a,+%）="—（1+〃）（*?+*§）♦平面应力问题

▽%+%）=一（心/（蒙+粉）。平面应变冲值

第二案平面阿邂的修本m论7

常体力情况下,

V"%+%）=0・

用应变表示的相容方程：

・♦・，।31一叽

dy2dxldxdy*

接应力求解常体力情况下的两类平面问题•归结为在给定边界条件下•求解如

下的偏微分方程组•若是多连通（开孔）物体•相应的位移分量需满足位移单值条件：

符+零+/，=。，

卷+窘+八=。，

▽"%+力）=0.

五、关于位移解法、应力解法及应变相容方程

1.弹性力学问题按位移求解（或按位移、应变、应力同时求解）时•应变相容方

程能自行满足。按应力求解时•为保证从几何方程求得连续的位移分量•需补充应

变相容方程，是保证物体（单连体）连续的充分和必要条件。对于多连体•只有在加

上位移单值条件，才能使物体变形后仍保持为连续体.

2.按位移求解时需联立求解二阶偏微分方程，虽在理论上讲适用于各类边界

条件，但实际运用时较难得到精确满足位移边界条件的解析解.因此，使其在寻找

精确解时受到了限制。然而，这•方法在数值解法中得到了广泛应用。

3.应力解法通常适用于应力边界条件或仅在局部给定位移的混合边界条件.

由于可引入应力函数求解，故在寻找平面问题的解析解时.用此法求解比按位移求

解容易。

4.在按应力解法求解的方程组中并不隐含弹性常数，因此,按应力求解单连通

平面弹性体的应力边界问题时，其应力解答与E.“.G无关（但应变、位移分量与弹

性常数有关），即应力与材料性质无关。这意味着不同弹性材料的物体（不论是属

于平面应力问题，还是属于平面应变问题）,只要在卬平面内具有相同的形状、约

束和荷载,那么,*的分布情况就相同（不考虑体力）.可以证明：对于多连

通（开孔）物体，若作用在同一边界上外力的主矢为零,上述结论也成立。

难点

一、两类平面问题的异同点。

二、圣维南原理的适用范围,对其定义的把握。在利用圣维南原理在小边界

（次要边界）上局部放松♦使应力边界条件近似满足时，注意主矢（主矩）的正负号规

定:应力合成的主矢（主矩）与外力主矢（主矩）方向一致时取正号•反之取负号。

三、列出应力边界条件.

8J*帙力学蔺明效松（H三版）金槿5#及习・金X

典型例题讲解

例2・1已知薄板有F列形变关系：，=AzA£、=BV，y„=C-Dy'式中

A.B.C.D皆为常数,试检查在形变过程中是否符合连续条件.若满足并列出应力

分量表达式.

【解】（】>相容条件：

将形变分量代人形变协调方程（相容方程）

"4•乜二叽

dyzdx2'

其中=°，=°，垓字=°。

djredxdy

所以满足相容方程，符合连续性条件。

（2）在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为

*=f一下（―+—>=T-E-2（.Ary+/xBy»

*=[上*i（£,+-）=]（/iAxy+ByD•

j=Gy“=G（C-D/）.

（3）平衡微分方程

翡+/,=%

言+•+/,=。・

其中空=岩*色=「^<3By—血）,

■=。'=-2GDy.

若满足平衡微分方程,必须有

[■^y-2GDy+f.=0.

厂一"

C

]（3By?4-/xAj）+/,=0.

分析:用形变分it表示的应力分量,满足了相容方

程和平衡微分方程条件,若要求出常数A,B・C.D还

需应力边界条件.

例2・2如图所示为一矩形截面水坝,其右侧面

受好水压力（水的密度为P）.顶部受集中力P作用.

第二*平面问题的事本理论9

试写出水现的应力边界条件.

【解】根据在边界上应力与面力的关系

左侧面t（*）,・》=了*《V）=0.4.）*■*=f、（«y）=0，

右侧面：Q,）.・T=7,<y）=一pgy，（rXv）x--A0—3=0・

上下端面为小边界面，应用圣维南原理,可列出三个积分的应力边界条件。上

端面的面力向截面形心。简化，得面力的主矢量和主矩分别为FN.F’,M,,

F、=Psina,Fs=-Pcosa,Mo=华sina・

y=0坐标面,应力主矢量符号与面力主矢量符号相反，应力主矩与面力主矩的转

向相反。所以

|A（外）,=odx=—FN=-Psina,

[《%），=oN（lr——Me工—I*PAsina,

J-44

[）,=odx=-Fs=Pcosa。■

J-A

下端面的面力向截面形心D简化,得到主矢18和主矩为

/2

FN=­Psina.Fs=Pcosa----

M[>=P/cosa-粤sina一冬pg.

y=/坐标面,应力主矢量、主矩的符号与面力主矢量、主矩的符号相同.所以

JA（%）,»<tr=FN=-Psina,

f*],3

J&）y«ixdLr=MD=P/cosa—yPAsina----"g,

JrCQ…业=Fs=Pcosa-多图・

分析：（D与坐标轴平行的主要边界只能建立两个等式,而且与边界平行的应

力分量不会出现.如在左、右侧面•不要加入（八九­=0或——=0。

（2）在大边界上必须精确满足应力边界条件，当在小边界（次要边界）上无法精

确满足时.可以应用圣维南原理使应力边界条件近似满足，使问题的求解大为筒

化.应力合成的主矢（主矩）符号的取法亦可用外力主矢（主矩）的方向判断，二者

方向一致时取正号,反之取负号。

习题全解

2-1如果某一问题中-rty=0,只存在平面应力分量,r“，且

它们不沿N方向变化,仅为工u的函数•试考虑此问题是否就是平面应力问题？

10力学加明敦根（第三版）全权导学及习H金就

【解答】平面应力问题.就是作用在物体上的外力.约束沿N向均不变化，只

有平面应力分量（,•%"0）,且仅为工~的函数的弹性力学问题.所以此问图是平

面应力问题。，

2-2如果某一问题中•—=71«>=72=0,只存在平面应变分量一・一♦

7”.且它们不沿z方向变化,仅为i.y的函数•试考虑此问题是否就是平面应

变问胭？

【解答】平面应变问题,就是物体截面形状、体力、面力及约束沿？向均不变.

只有平面应变分量（£,，£,.7”）.且仅为/，3的函数的弹性力学问题•所以此问题

是平面应变问题。

2-3试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中•题2•3

图•其应力状态接近于平面应力的情况，

【解答】在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中,可以认为在该薄

层的上下表面都无面力•且在薄层内所有各点都有*=r„=r0=0,只存在平面

应力分城叫，力.r°，且它们不沿z向变化.仅为工~的函数。可认定此间即是平

面应力问题。

2-4试分析说明•在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄

板中，题27图•当板上只受向的面力或约束•且不沿厚度变化时•其应力状

态接近于平面应变的情况.

题24图

【解答】板上处处受法向约束时3=0,且不受切向面力作用，则y»=y'=o

（相应r0=ro=0）;板边上只受r.y向的而力或约束•所以仅存在c,，一，人,且不

沿厚度变化•所以其应变状态接近于平面应变的情况.

2-5在题2-5图的微分体中.若将对形心的力矩平衡条件ZMc=0•改为对

第二皋平面间反的事本逐诒11

角点的力矩平衡条件，试问将导出什么形式的方程？

题2-5图

【解】将对形心的力矩平衡条件EM,=0,改为分别对四个角点A,B.D.E

的平衡条件.为计算方便，在z方向的尺寸取为一个单位。

XMA=o.

力drX1X学+(*4--dx)dyX1X学一(「”)dyXIXdx

+(。―+^^血)ctrXIXdy-(%+攀dy)&XIX亨—<r,dyXIX当

(a)

+/,drd_yXIX——/vdrdyXIX-=0.

XM”=0,

(〃+翁dr)d_yXI次学+(I+专打)加*1—4y+

(力+全力)<LrX1X当一jdyX1Xdr'-ardyX1X与—(b)

*drXIX华+/,dxdyX】X学+—dxdyXIX竽=0.

ZM[)=0,

(力+言力)业X1X~一.“dyXIXdr+o*dyX1X学+

ry,drX1Xdy-(yvcLrX1X与一(%+^^cLr)d),X1X当—(c)

f,drdyXIX冬+f,(lrdyXIX竽=0.

SME=O,

JQ+养dy)drX1X+”,dyX1X*+r>,drX1Xdy+%drXIX

12“性力学洵明敷更（第三uia）余核导学及习H全解

1

y_（%+爹dr）dyX1X-^—（r„+苦dr）dyX1Xdr-f,drdyXIX

学十八业出X1X华=0。（d）

略去式（a）、（b）、（c）和式（d）中三阶小量（亦即<fxdy.dx^y都趋于零），并将各式

都除以dr力后合并同类项，分别得到

r”=J・

2-6在题2-5图的微分体中，若考虑每一面上的应力分量不是均匀分布的,

试问将导出什么形式的平衡微分方程？

【解】微分单元体ABCD的边长dz,d》都是微量,因此可以假设在单元体各

面上所受的应力如图（a）示,忽略了二阶以上的高阶微量•而看作是线性分布的.如

图（b）示.为计算方便•单元体在z方向的尺寸取为一个单位.

各点正应力，

0n一

Tlf

lrj

I

UXUIIMUMB

B

T

T[

.-k

也）

解2-6图

Q/）A=%，《力》A=Oy；

（力）B=%+粉必，（%）s=%+粉dy；

（%）Q=o,+^^dz,（力力=<7,+养dr；

Q,〉c=%+养&+符”•（%）c=%+若业+符dy.

各点切应力，

）A=r,9.（I）A=T,,：

（ru）B=r”+-^dy，（j）B=Ty,+^^力；

（r"）&=r<y4--^^dx.（r„）c=r”+-J^dr，

需二/平E同18的木本理论13

（r”）c=仁，+养&+警力，（fk〉c=「”+作"+得打.

由微分单元体的平衡条件£F,=0,2F,=0得

｛_｝［%+（%+言的）］）dy十偿［（%卜翁dr）

+（。，+养乙+含的）］｝3一（虹~+上+窘dr）］.

+(l[(r>>+得力)+卜”+笠&+警dy)]}dr+/,drdy

=0,

卜十"+（。,+言&）］｝&+｛+［（*+舞动

+（%+柴改+言打）］｝"+（r„+'；jdy）］｝dy

+|l［（r»+若L）+卜,+警力+争&）］）3+f,drd>

=0.

以上二式分别展开并约简,再分别除以dzdy.就得到平面问翘中的平衡微分

方程

2-7在导出平面向胭的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定？这些方

程的适用条件是什么？

【解答】（D在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定

是：物体的连续性，小变形和均匀性・

在两种平面问题（平面应力、平面应变问题）中,平衡微分方程和几何方程都

适用。

（2）在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是:物体的连续性,完全弹

性,均匀性，小变形和各向同性•即物体为小变形的理想弹性体，

在两种平面问题（平面应力、平面应变问题）中的物理方程不一样,如果将平面

应力问题的物理方程中的E换为言了小换为之.就得到平面应变问胭的物理

方程.

2-8试列出题2-8图（《）.期2-8图（b）所示问题的全部边界条件.在其端

部边界上,应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。

【解】（1）对于图（a）的向鹿

14弹性力学演明致桎（第三款）仝柱导学及习超全科

在主饕边界X=O.X-h上.应精确满足下列边界条件,

（%）.=（»=­豳>・（丁”）…=0;

《%）…=­W・…=0.

在小边界（次要边界）y=0上•能精确满足卜列边界条件।

<%>v-n=-pM,<r>r）=0。

在小边界（次要边界）y・心上•方位移边界条件：（“）,04=0.（&）八与=0.

这两个位移边界条件可以应用圣维南原理•改用三个积分的应力边界条件来代替.

当板厚6=1时.

J<a,>y-*2<lr=pg（A|+h?）b.

«［《％》一上产dx*0,

£<ryr）…与业=0.

♦2・8图

（2）对于图（b）所示问题

在主要边界>=±h/2上•应精确满足下列边界条件：

（%>>一"4=0,（r^=_Q1，

（Sv）y_—*/*==—q・（Tu）,=f2=0。

在次要边界*=o上.应用圣维南原理列出三个枳分的应力边界条件•当板摩

6=1时，

JT.（力）…力=-F、，

,]*_,《%),=oydy=­M,

在次要边界/=/上，有位移边界条件：（“）,—=0.«）,』=0。这两个位移

边界条件可以改用三个积分的应力边界条件来代替

基二立平面问我的基本理论15

匚」。，)一心=矶—八・

《%),川力=—M-FJ-*・

J—*2ZL

J<r,v),-.rdj=■一ql一孰・

2-9试应用圣维南原理•列出题2-9图所示的两个问胭中(M边的三个积分

的应力边界条件,并比较两者的面力是否静力等效？

题2-9图

【解】(D对于图(a),上端面的面力向截面形心简化，得主矢和主矩分别为

八=q6/2・Fs=0.M=，詈(5r)&r=—qb?/12•应用圣维南原理,列出三

个枳分的应力边界条件,当板厚<5=1时，

j(心)>.odr=—qb/2.

<j(*)-oidj=q加/12,

[JT2(r”>»idr=0・

(2)对于图(b).应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件,当板厚S=1时.

J(%),=odLr=一驰/2,

<J(*=#/12,

j)y.ocLr=0.

所以.在小边界QA边上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同.这两个问

16弹性力学蔺明数极（茶三瓶）全栈导学及习fl!全解

题为静力等效的。

2-10检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？

【解】（1）用位移表示的平衡微分方程

上（含+宁券+*就）+"。，

缶一+〒票+字悬）+“。・

（2）用位移表示的应力边界条件

言也袈+虚）+"*宁既+给卜力丁

,.（在S•上）

当口原+假）+,〒第+机1f.

（3）位移边界条件

（u）,Na,（V）,=V.（在5.上）

2-11检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？

【解】（1）平衡微分方程

（2）相容方程

+%）=-"+"）（养+粉）.

（3）应力边界条件（假定全部为应力边界条件,s=s.）

/（d+mj），=乙，/夫,x

（.f（在3=S上）

1（皿十/r”），=九・t

（4）若为多连体•还须满足位移单值条件.

2-12检验平面问题中的应力函数0是否为正确解答的条件是什么？

【解】应力函数须满足以下条件

（1）相容方程

V*<J>=0.

（2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件•$=$•）

H-mr„>,=.

{7（在$=力上）

（<WVf-hr,）,=fy.

（3）若为多连体,还须满足位移单值条件.

求出应力函数。后,可以按下式求出应力分量，

s=每一/>，力=5?一/0'、=Sxdy'

第二案平面间M的a本理论17

2-13检验下列应力分量是否是图示问题的解答：

（a）@2-13图（a）,%=gq，*=rr二。・

（b）02-13图M由材料力学公式必0卷,“=等（取梁的厚度6=1）.

得出所示问题的解答：

%=-2q舒，丁”=一舞（炉-4九

又根据平衡微分方程和边界条件得出

_3qiy八x>3qx

%―彳仄-2q市一方。

试导出上述公式,并检验解答的正确性.

【解】按应力求解时（本题体力不计），在单连体中应力分量外必须满

足:平衡微分方程、相容方程、应力边界条件（假设$="）.

⑴题2-13图⑸0=方qg=ro=0.

①相容条件:将应力分量代人相容方程，教材中式（2-23）

（备+券）（*+9>=1?X0，

不满足相容方程.

②平衡条件:将应力分量代入平衡微分方程

言+需=。，

'粉+窘=。・

显然满足.

③应力边界条件:在H=±。边界上，

=（下“）*=裁=。。

在y=±6边界上，

《力）,皿犷h。，“〃），"="=。.

满足应力边界条件。

⑵题2-13图（b）,由材料力学公式.*=%，r“=皆（取梁的厚度&=1），

得出所示问题的解答孙=一2q家,r”一?言又根据平衡微分

方程和边界条件得出a,=学会'-2qJTT~^~j.试导出上述公式,并检验解答的

£rIflin4H

正确性.

18嫌性力学简明敷程（第三版）金根导学及习到全科

题2・13图

①推导公式：

在分布荷栽的作用下,梁发生弯曲变形，梁横截面是宽度为1•高为人的矩形.

其对z轴（中性轴）的惯性矩为h=差，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和

剪力方程分别为MJ）=$，—%

所以截面内任意点的正应力和切应力分别为

3

M（J:）V°xy

°'=~T.------Tq肝,

r“=喙2（一务）一学融―八

根据平衡微分方程的第二式（体力不计）

.+.=。，

得到

%=4*一2<7/+A・

根据边界条件（*）,-*,?=0,

得A=一好，

所以„=的红一2。士一里三

②相容条件：

将应力分量代入相容方程

（或+给——云。・

不满足相容方程。

③平衡条件：

票二塞平面同题的孤本设论19

将应力分贵代人平衡微分方程显然满足。

④应力边界条件：

在主要边界y=士人/2上,应精确满足卜列边界条件：

(。>),h—hfl1*《T"j1r),=T/2=。0

(%),-*々=0.=0。

自然满足.

在”=0的次要边界上•外力的主矢量.主矩都为零.有三个枳分的应力边界

条件：

0/2产

L“Q,〉,idy=0，L“<%〉，7dy=0,

)匚“…dy=0.

在工=/次要边界上，(〃)­/=0,(>),・，=0.这两个位移边界条件可以改

用三个积分的应力边界条件来代替.

J.2(%),_,dy=Jf“-2q/dy=0,

“J:5L刁二一2q京加工一哈.

J-a-T二-¥君⑴一4户出=一¥.

所以.满足应力的边界条件.

虽然上两图中的应力分量都满足平衡微分方程和应力边界条件,但都不满足

相容方程,所以两题的解答都不是问题的解.

2-14试证明：在发生最大与最小切应力的面上,正应力的数值都等于两个主

应力的平均值.

【证明】任意斜截面上.的切应力为r,=/m<6—6〉，其中6，G为两个主

应力.

用关系式八+m«=l消去m,得

r.=±/«/1—z2-6)=±je—4(6—6)=±J}--尸)㈤-6).

由上式可见.当十一厂=0时”.为最大和最小.于是得I-±JJ.

而%=八(G-6)十。2，得到="^金・

2-15设已求得一点处的应力分量，试求62—，

(a)(yx=100,%=50,rjy=10/50;

(b)%=200,力=0,=-400;

20舞M力学前明效植（第三J»）金枚导学及习餐全解

(c)”=-2000,*=1000,r,y=-400j

(d)w=-1000.%=—1500,rx,=500.

【解】根据教材中式（2-6）和tana,二51二2可分别求出主应力和主应力的

方向：

3）%=100,ay=50,r„==10>/50；

;卜100^50土.1^9）2+（10^7.

得

<b)

::卜咿土J（毛）丁+《二嬴,

o\—a,-691+1000NQ

tana,=F-=-500—=0A-618-

得Ox=-691.“二-1809,ai=31*43\

2-16设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计•在全部边界上（包括孔口

边界上）受有均匀压力q.试证乙=*=一。及r”=。能满足平衡微分方程、相容

方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答.

第二*平面内题的事本理论21

解276图

【证明】(1)将应力分量=-q.r”=0和/,=八=0分别代入平衡

微分方程、相容方程

■+需+….

</储)

用+*+八=。・♦

(3+弄)<%+%)-《1+小空+驾)=0.⑸

显然式(a)、(b)是满足的。

(2)对于微小的三角板A,dz,dy都为正值•斜边上的方向余弦Z=COS(%N).

m=cos(〃.y),将%=%=-q,r1y=0代入平面问题的应力边界条件的表达式

八包+mj),=/*《5),,、

,r(0

I(w,+ITJ9),=/,($)・

则布'

011cos(n,x)=­qcos(ntx)*

%cos(〃，y)=­qcos

所以%=-q,。,=—g・

对于单连体•上述条件就是确定应力的全部条件.

(3)对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。

该题为平面应力的情况，首先，将应力分量久=-q及下0=0代入物理

方程，教材中式(2・12),得形变分量

(〃―1)C

=Eq，y”=。。

然后，将式(d)的形变分量代入几何方程.教材中式(2-8),得

du(〃一】)dv(隰一1)dv.8u八

si=-E-g'石豆=①

22弹位力学福明数桎I第三麻)全程与学及习现全JW

前二式的积分得到

U-"宜―'r+/i(y)，0=、£飞"qy+'2(N)，(f)

其中的人和人分别是丫和1的待定函数•可以通过几何方程的第三式求出。

将式(力代人式”)的第三式，得

_d/1(y)_df,(JC)

dydr

等式左边只是y的函数•而等式右边只是工的函数。因此，只可能两边都等于

同,个常数3.于是有

”《y)d/2(j)

-37^=i-

积分以后得

/i(>)=—<«y\u(>»/zCxJ^cur-Fv0.

代人式(f)得位移分址

(〃一］)

u=~£-9"—wy+“0•

,<<-1)")

v=--.