动态电路的过渡过程

二、一阶电路的零输入响应

响应：电路中所产生的电压、电流等信号。激励：能够在电路中产生相应的信号。零输入响应：输入信号为零，仅由初始状态产生的响应。零状态响应：电路的初始状态为零，仅由输入信号产生的响应。全响应：由输入信号和初始状态共同作用而产生的响应。（一）RC电路的零输入响应换路后电路所经历的物理过程，实际上就是电容元件的放电过程。(a)RC串联电路的短路(b)换路后的动态电路1.物理过程分析(a)RC串联电路的短路(b)换路后的动态电路2.暂态过程的数学分析2.暂态过程的数学分析换路后的电路如图（b）所示。在图示参考方向下，根据KVL，可得由元件的伏安关系得出：将上述伏安关系式代入KVL方程，可得到一个以uC为变量的电路方程：(a)RC串联电路的短路(b)换路后的动态电路特征方程为：特征根为：通解为：由换路前的电路，得uC(0-)=U0=US

根据换路定律，得：再根据电路的初始条件，确定通解中的积分常数一阶线性常系数齐次微分方程特解为由uC可求出电路中的其他响应RC电路零输入响应的变化曲线(a)uC、uR的变化曲线(b)i的变化曲线tU0uC0I0ti0令=RC,称为一阶电路的时间常数

（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；从以上各式可以得出：连续函数跃变

（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；

时间常数RC电路零输入响应的变化曲线(a)uC、uR的变化曲线(b)i的变化曲线（3）能量关系

电容不断释放能量被电阻吸收,

直到全部消耗完毕.uCR+－C【例】

在图（a）所示电路中，开关S打开前电路已处于稳态，在t=0时，将S打开。试求t＞0时的电压uC和电流i，并作出它们随时间变化的曲线。解法一：（1）根据换路定律，确定电路的初始条件。根据换路前的电路，计算出电容元件电压在t=0-时的值为开关S打开时，根据换路定律，电容元件电压的初始值为（2）根据基尔霍夫定律和元件的伏安关系，列写出描述换路后的电路的微分方程。【例】

在图（a）所示电路中，开关S打开前电路已处于稳态，在t=0时，将S打开。试求t＞0时的电压uC和电流i，并作出它们随时间变化的曲线。（3）求微分方程的通解。该微分方程特征方程为特征根为微分方程的通解为（4）根据电路的初始条件，确定微分方程通解中的积分常数，从而求得微分方程的特解（即待求电路响应）。微分方程的特解为（5）由求得的电路响应，求得其他响应。由uC可求得电流解法二：直接应用由前面分析得到的RC电路零输入响应的计算公式进行计算。计算电路的初始条件根据初始条件，确定微分方程通解中的积分常数将换路后的电路变换后的等效电路如图（c）所示。计算换路后的电路中的等效电阻计算电路的时间常数求得电容元件的电压由电容元件的电压，求得电路中电流(a)RL串联电路的短路（二）RL电路的零输入响应(b)换路后的动态电路从能量观点看，换路后电路的过渡过程就是电感元件中磁场能量不断释放的过程，即电感元件的灭磁过程。

1.物理过程分析(a)RL串联电路的短路(b)换路后的动态电路2.暂态过程的数学分析根据换路前电路，确定时电感元件中电流，即：根据换路定律，求电感元件中电流初始值，即：对换路后的电路应用KVL，求得2.暂态过程的数学分析(a)RL串联电路的短路(b)换路后的动态电路根据元件的伏安关系可得由元件伏安关系式代入KVL方程，可以得到一个以iL为未知变量的电路方程，即该一阶线路线性常系数齐次微分方程的特征方程为特征根为该微分方程的通解为将电路的初始条件i(0+)=I0代入上式，求得积分常数微分方程的特解由电感元件的电流iL可求得电路中其它响应RL电路零输入响应的变化曲线(a)uR、uL的变化曲线(b)iL的变化曲线RL电路的零输入响应都是按指数规律衰减。连续函数跃变

（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；

（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；tI0iL0-RI0uLtRL电路中的电感L与电阻R的比值称为RL电路的时间常数。时间常数（1）τ的单位：秒（s）。（2）τ的物理意义：为零输入响应由任一数值开始，衰减到原来值的1/e（约36.8％）所需要的时间。RL电路中的零输入响应衰减的快慢取决于L和R的大小。（3）能量关系

电感不断释放能量被电阻吸收,

直到全部消耗完毕.iL+–uLR【例】

在图（a）所示电路中，t=0时开关S由1合至2，此前电路处于稳态。试求t＞0时iL和uL。【例】

在图（a）所示电路中，t=0时开关S由1合至2，此前电路处于稳态。试求t＞0时iL和uL。解根据换路定律，确定电感元件电流的初始值为换路后的等效电路如图（b）所示，图中电路的时间常数为可得电感元件得电流和电压（三）零输入响应的一般形式一阶电路的零输入响应具有共同的形式，即：结论：1.一阶电路的零输入响应总是由初始值开始按指数规律衰减，直至为零。2.零输入响应衰减的速率取决于电路的时间常数τ。电路的时间常数取决于电路结构和元件参数。3.零输入响应取决于电路初始状态、电路结构和元件参数值。f(0+)：响应变量的初始值；τ

：电路的时间常数三、一阶电路的零状态响应（一）RC电路的零状态响应RC电路的零状态响应1.物理过程分析

iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=02.暂态过程的数学分析RC电路的零状态响应iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=02.暂态过程的数学分析根据换路定律，有：根据KVL，得由元件的伏安关系得出：整理得iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=0非齐次微分方程所对应的齐次微分方程为其通解为非齐次微分方程式的一个特解为根据初始条件uC(0＋)可确定积分常数由此可求得电路中的其他响应RC电路零状态响应的变化曲线(a)uR、uC的变化曲线(b)i的变化曲线【例】

在图示电路中，US=12V，R1=12Ω，R2=6Ω，C=0.5F，uC(0－)=0，试求t＞0时的uC，iC，i1，i2。解（1）根据换路定律，确定电路的初始状态。（2）根据基尔霍夫定律和元件的伏安关系，建立描述换路后的电路的微分方程。由KVL得由元件得伏安关系得【例】

在图示电路中，US=12V，R1=12Ω，R2=6Ω，C=0.5F，

uC(0－)=0，试求t＞0时的uC，iC，i1，i2。由以上式代入整理后，可得到一个以uC为未知变量的一阶线性常系数非齐次微分方程，即由KCL得代入数据其根为该齐次微分方程的通解为因为换路后电路相应的稳态响应就是非齐次微分方程的一个特解，所以（5）根据电路的初始状态，确定非齐次微分方程通解中的积分常数，从而求得非齐次微分方程的特解uC。（6）由已求得的电路变量求出其他电路变量。∵(二)RL电路的零状态响应RL电路的零状态响应1.物理过程分析在整个过渡过程中，电源不断地向其外部电路提供能量，电源所提供的能量一部分转换为磁场能量，储存于电感元件的磁场中，另一部分则被电阻转变为热能而耗散掉。iLK(t=0)US+–uRL+–uLR2.暂态过程的数学分析iLK(t=0)US+–uRL+–uLR

RL电路的零状态响应iLK(t=0)US+–uRL+–uLR已知iL(0－)=0，电路方程为：tuLUStiL00【例】

图（a）所示电路中，t=0时开关闭合，开关闭合前电感元件中的电流为零，试求t＞0时的iL和uL。【例】

图（a）所示电路中，t=0时开关闭合，开关闭合前电感元件中的电流为零，试求t＞0时的iL和uL。解首先应用戴维南定理，将图（a）所示电路等效变换为图（b）所示电路。戴维南等效电路中电路的时间常数为（三）零状态响应的一般形式

式中：（1）τ为电路的时间常数，它决定于电路结构和元件参数值。（2）f(∞)为电路的稳态响应，在t→∞时的响应。注意；只有在电路的稳态响应f(t)存在的情况下，才能直接应用上式来求解零状态响应。四、一阶电路的全响应（一）全响应的求解求解一阶电路的全响应的方法与一阶电路的零状态响应的求解方法基本相同，区别仅在于初始条件不同。1、求解一阶电路全响应的具体步骤：（1）根据换路定律，计算电容元件电压的初始值或电感元件电流的初始值，确定电路初始条件；（2）根据基尔霍夫定律和元件的伏安关系，建立描述换路后的电路的微分方程；（3）求非齐次微分方程所对应的齐次微分方程的通解；（4）求非齐次微分方程的特解，从而求得非齐次微分方程的通解；（5）由电路的初始条件，确定通解中的积分常数，从而求得非其齐次微分方程的特解－－待求响应变量；（6）由已求出的响应变量求出其他响应变量。2.举例说明全响应的求解方法图示电路中开关S在t=0时闭合，开关闭合前电容元件已充电，其电压为U0。试求t＞0时的电压uC。2.举例说明全响应的求解方法图示电路中开关S在t=0时闭合，开关闭合前电容元件已充电，其电压为U0。试求t＞0时的电压uC。根据换路定律，求得电容元件电压的初始值根据KVL和元件的伏安关系，建立以电容元件电压uC作为未知变量的微分方程此方程所对应的齐次微分方程的通解为（τ=RC，时间常数）上述非齐次微分方程的一个特解为通解为由电路的初始条件uC(0+)=U0得RC电路全响应的变化曲线（二）全响应的分解1.全响应可分解为零输入响应和零状态响应的叠加，即全响应＝零输入响应＋零状态响应一阶线性定常电路的全响应可以表示为：例如：一阶线性定常电路的全响应分解为如下形式：2.全响应可分解为瞬时分量和稳态分量的叠加，即全响应＝稳态分量＋暂态分量例如：五、一阶电路的三要素法1、三要素公式式中：（1）f(t)为电路的响应变量，它可以是电路中任一支路电流，任意两节点间的电压；（2）fS(t)为响应变量的稳态分量；（3）fS(0+)为响应变量稳态分量的初始值；（4）τ为电路的时间常数。二、三要素的确定2、稳态值的计算（1）画出换路后的稳定状态的等效电路。若换路后是一个直流稳态电路，则电路中电容元件相当于开路，电感元件相当于短路。若换路后是一个正弦稳态电路，则可用相量模型来表示该稳态电路。（2）应用稳态电路的计算方法，计算稳态等效电路，求出待求响应变量的稳态分量。3、初始值的计算步骤（1）求uC(0-)、iL(0-)

作t=0-时的电路，在直流电路中电容用开路代替，电感用短路代替，求出换路前瞬间电容电压uC(0-)值和电感电流iL(0-)值。（2）根据换路定律求uC(0+)、iL(0+)

uC(0+)=uC(0-)

iL(0+)=iL(0-)（3）作出t=0+时的等效电路

把电容用值为uC(0+)的电压源代替，电感用值为iL(0+)的电流源代替（4）在t=0+瞬时，根据基尔霍夫定律及欧姆定律求出其它有关的初始值（三）三要素法的应用举例【例】图（a）所示电路换路前已达稳态，t=0时开关闭合，试求t＞0时的电流i。（三）三要素法的应用举例【例】图（a）所示电路换路前已达稳态，t=0时开关闭合，试求t＞0时的电流i。解（1）根据换路前的电路，计算换路前电容元件电压uC，将t=0-代入uC的表达式，从而确定uC(0-)。换路前的稳态电路中电容元件相当于开路，换路前的稳态等效电路如图（b）所示。由图（b）电路可求得（2）根据换路定律（3）画出t=0+时刻的等效电路，如图（c）所示，应用计算电阻性电路的方法，计算出响应变量的初始值。由图（c）电路可求得（4）画出换路后的稳态等效电路，应用稳态电路的分析方法，计算出响应变量的稳态分量；将t=0+代入稳态分量的函数式，求得稳态分量的初始值。t=∞时，电容元件相当于开路，此时的等效电路如图（d）所示。由图（d）电路，可求得（6）将所求得三个要素的数值代入三要素公式，从而求得待求响应变量。（1）根据换路前的电路计算电感元件的电流iL，确定t=0-时电感元件的电流i

(0-)。开关闭合前i=0，所以（2）根据换路定律，确定电感元件电流的初始值i(0+)。因为开关闭合时电感元件的电压不可能是无穷大，所以（3）画出换路后的稳态等效电路，应用稳态电路的分析方法，计算出响应变量的稳态分量；将t=0+代入稳态分量的函数式中，求得稳态分量的初始值。本例中换路后的稳态电路是一个正弦稳态电路，可用相量模型表示，如图（b）所示。稳态响应可按正弦稳态电路的计算方法来求解。解电路的复阻抗为式中电源电压的相量为稳态电流的相量为其中，稳态电流的有效值为稳态电流的函数式为将t=0+代入稳态电流的函数式，求得稳态电流得初始值为（4）计算换路后的电路的时间常数（5）将所求得的三个要素的数值代入三要素公式，写出待求响应变量的表达式。电路电流的表达式为此时，电流中没有暂态分量。电路没有过渡过程，开关闭合后立即进入稳定状态。RL串联电路与正弦电压接通时，电路中电流的暂态分量的大小与开关闭合的时刻有关，即换路后电路的过渡过程与开关动作的时刻有关。若开关闭合时，有，则电流的暂态分量所以，电路中的电流等于其稳态分量，即若开关闭合时，有，则电流的暂态分量电路中的电流为若开关闭合时，，则合闸后电流的暂态分量最大；合闸后大约经过半个周期的时间，电路中电流的瞬时绝对值达到最大，其值接近于稳态电流幅值的两倍。小结1.换路定律

换路定律的内容：若换路瞬间电容元件的电流为有限值，则电容元件的电压在换路瞬间不可能发生跃变；若换路瞬间电感元件的电压为有限值，则电感元件的电流在换路瞬间不可能发生跃变。换路定律的数学表达式为：2.初始值的计算（1）由换路前的电路计算出电容元件uC的电压和电感元件iL的电流，确定它们在t=0-时的值uC(0-)和iL(0-)；（2）根据换路定律，确定电容元件电压和电感元件电流的初始值uC(0+)和iL(0+)；（3）画出换路后初始瞬间（即t=0+时刻）的等效电路，在等效电路中，原电路中的电容元件用一个电压为uC(0+)的电压源替代，电感元件用电流为iL(0+)