平面向量数量积及其几何意义

关于平面向量数量积及其几何意义第1页，课件共18页，创作于2023年2月定义：

一般地，实数λ与向量a

的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)当λ>0时,λa

的方向与a方向相同；当λ<0时,λa

的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0第2页，课件共18页，创作于2023年2月运算律：

设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=(λμ)

a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb第3页，课件共18页，创作于2023年2月已知两个非零向量a和b，作OA=a，

OB=b，则∠AOB=θ

（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。OBAθ向量的夹角当θ＝0°时，a与b同向；OAB当θ＝180°时，a与b反向；OABB当θ＝90°时，称a与b垂直，记为a⊥b.OAab第4页，课件共18页，创作于2023年2月

我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算

W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角

从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。第5页，课件共18页，创作于2023年2月

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b

a·b=|a||b|cosθ定义规定:零向量与任一向量的数量积为0注意：向量的数量积是一个数量。第6页，课件共18页，创作于2023年2月

向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？思考：a·b=|a||b|cosθ当0°≤θ＜

90°时a·b为正；当90°＜θ≤180°时a·b为负。当θ=90°时a·b为零。第7页，课件共18页，创作于2023年2月重要性质:设是非零向量，方向相同的单位向量，的夹角，则特别地OABθ

abB1第8页，课件共18页，创作于2023年2月解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）

=－10例1已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。第9页，课件共18页，创作于2023年2月练习：1．若a=0，则对任一向量b

，有a·b=0．2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a·b=0，则b=04．若a·b=0，则a·b中至少有一个为0．5．若a≠0，a·b=b·c，则a=c6．若a·b=a·c,则b≠c,当且仅当a=0时成立．7．对任意向量a有√×××××√第10页，课件共18页，创作于2023年2月二、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：其中，是任意三个向量，注：第11页，课件共18页，创作于2023年2月例2：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.第12页，课件共18页，创作于2023年2月例3、的夹角为解:第13页，课件共18页，创作于2023年2月第14页，课件共18页，创作于2023年2月练习：第15页，课件共18页，创作于2023年2月小结：1、已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b

a·b=|a||b|cosθ第16页，课件共18页，创作