高中物理2案：第六章 2-3 太阳与行星间的引力 万有引力定律 含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学案2太阳与行星间的引力学案3万有引力定律［学习目标定位]1。知道行星绕太阳运动的原因是太阳对行星有吸引力。2.能根据开普勒定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星之间的引力表达式，体会逻辑推理在物理学中的重要性。3.知道地球上的重物下落运动与天体运动的统一性。4.理解万有引力定律，会用万有引力定律分析简单问题．一、太阳与行星间的引力1．模型简化:行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力．2．太阳对行星的引力:F＝eq\f（mv2，r）＝meq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2πr,T)））2·eq\f（1，r)＝eq\f(4π2mr,T2），利用开普勒第三定律eq\f(r3,T2）＝k,消去周期T可得F∝eq\f（m，r2）.3．行星对太阳的引力:太阳与行星的地位相同,因此行星对太阳的引力和太阳对行星的引力规律相同，即F′∝eq\f（M,r2）.4．太阳与行星间的引力:根据牛顿第三定律F＝F′，又由于F∝eq\f(m，r2）、F′∝eq\f（m，r2),则有F∝eq\f（Mm,r2)，写成等式有F＝Geq\f（Mm，r2).式中G为比例系数．二、月—地检验1．月—地检验的基本思想是如果重力和星体间的引力是同一性质的力，都与距离的二次方成反比,那么，由于月心到地心的距离约为地球半径的60倍，所以月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度就应该大约是它在地面附近下落时的加速度的eq\f(1，602）.2．根据观察得到的月球绕地球运转周期T及半径r，月球的向心加速度可由a＝eq\f(4π2r,T2）算出．3．计算结果与猜想符合很好，即地面物体受地球引力与地球对月球的引力遵从相同的规律．三、万有引力定律1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比．2．表达式：F＝Geq\f（m1m2，r2)式中质量的单位用kg，距离的单位用m，力的单位用N，G是比例系数，叫做引力常量，适用于任何两个物体．3．引力常量在万有引力定律发现100多年后，由卡文迪许用扭秤实验测定出引力常量．G＝6.67×10－11N·m2/kg2.引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的最早证据.一、太阳与行星间的引力[问题设计］若行星的质量为m，行星到太阳的距离为r，行星运行周期为T。则行星需要的向心力的大小如何表示？答案行星需要的向心力F＝eq\f（4π2mr，T2)[要点提炼]1．两个理想化模型在公式F＝Geq\f(Mm，r2)的推导过程中，我们用到了两个理想化模型(1)将行星的椭圆运动看成匀速圆周运动．（2)将天体看成质点，且质量集中在球心上．2．推导过程：二、月—地检验［问题设计］月—地检验的验证原理是怎样的？答案假定维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”的规律，那么，由于月球轨道半径约为地球半径（苹果到地心的距离）的60倍，所以月球轨道上一个物体受到的引力，比它在地面附近时受到的引力要小，前者只有后者的eq\f(1,602).根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度（月球公转的向心加速度)也就应该大约是它在地面附近下落时的加速度（自由落体加速度)的eq\f（1，602）。［要点提炼]1．月—地检验的目的：检验维持月球绕地球运动的力与使物体下落的力是同一种性质力，都遵从“平方反比”的规律．2．推理:月心到地心的距离约为地球半径的60倍，所以月球绕地球做圆周运动的向心加速度应该大约是它在地面附近下落时加速度的eq\f（1,602）。3．验证：已知月地距离r，月球绕地球运动的周期T，根据a月＝eq\f（4π2,T2）r，计算月球绕地球的向心加速度a月，然后与地球表面的重力加速度g进行比较，a月近似等于eq\f（g,602）,则证明了地球表面的重力与地球吸引月球的力是相同性质的力．三、万有引力定律引力常量[问题设计］太阳与行星间有引力作用，地球对月球、地面上的物体也有引力作用，那么地面上的物体之间是否存在引力作用？若两个物体间有引力作用，为何两个物体没有在引力作用下紧靠在一起？答案存在．地面上的两个物体的质量相对天体来说小多了,所以两个物体间的引力非常小,不足以克服摩擦阻力或空气阻力而紧靠在一起．[要点提炼］1．万有引力的特性(1）普遍性：万有引力存在于宇宙中任何两个有质量的物体之间（天体间、地面物体间、微观粒子间）．(2）相互性：两个物体间相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律．（3)宏观性：天体间万有引力很大，它是支配天体运动的原因．地面物体间、微观粒子间的万有引力很小，不足以影响物体的运动，故常忽略不计．2．万有引力公式的适用条件（1）两个质点间．（2)两个质量分布均匀的球体间,其中r为两个球心间的距离．（3)一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间，r为球心到质点的距离．3．引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2（1）物理意义：引力常量在数值上等于两个质量都是1kg的质点相距1m时的相互吸引力．(2）引力常量测定的意义卡文迪许利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离,推出的G的数值及验证了万有引力定律的正确性．引力常量的确定使万有引力定律能够进行定量的计算,显示出真正的实用价值．四、万有引力和重力的关系1．万有引力和重力的关系：如图1所示,设地球的质量为M,半径为R,A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F,方向指向地心O,由万有引力公式得F＝Geq\f（Mm，r2).引力F可分解为F1、F2两个分力，其中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn，F2就是物体的重力mg。图12．近似关系：如果忽略地球自转，则万有引力和重力的关系：mg＝eq\f（GMm,R2)，g为地球表面的重力加速度．3．重力与高度的关系：若距离地面的高度为h，则mg′＝Geq\f(Mm,R＋h2）（R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)．所以距地面越高，物体的重力加速度越小,则物体所受的重力也越小．一、对万有引力定律的理解例1对于质量为m1和质量为m2的两个物体间的万有引力的表达式F＝Geq\f（m1m2,r2），下列说法正确的是（）A．公式中的G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的B．当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大C．m1和m2所受引力大小总是相等的，而与m1、m2是否相等无关D．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力解析引力常量G值是由英国物理学家卡文迪许运用构思巧妙的扭秤实验测定出来的，而不是像牛顿第二定律表达式中的k那样是人为规定出来的，所以选项A正确．当两物体间的距离r趋近于零时，物体就不能再视为质点，万有引力定律就不再适用，所以不能得出此时万有引力趋于无穷大的结论，选项B错误．两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等、方向相反，分别作用在两个物体上，所以选项C正确，D错误．答案AC二、万有引力定律的应用例2一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力大小的(）A．0。25倍B．0。5倍C．2倍D．4倍解析根据万有引力定律得:宇航员在地球上所受的万有引力F1＝eq\f（GM地m,R\o\al（2,地)），在星球上受的万有引力F2＝eq\f（GM星m，R\o\al(2,星)）,所以eq\f（F2，F1）＝eq\f（M星R\o\al（2,地）,M地R\o\al(2,星))＝eq\f(1，2）×22＝2，故C正确．答案C三、万有引力和重力的关系例3在离地面高度等于地球半径的高度处，重力加速度的大小是地球表面的重力加速度大小的(）A．2倍B．1倍C。eq\f（1,2）倍D.eq\f(1,4)倍解析由“平方反比"规律知，g∝eq\f(1，r2），故eq\f(g′,g地)＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(R,R＋h）))2＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（R,2R）))2＝eq\f(1，4）.答案D万有引力定律eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(万有引力定律的推导,月—地检验，万有引力定律\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（内容,表达式:F＝G\f(m1m2，r2）)),万有引力的特性\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(普遍性，相互性，宏观性）),引力常量\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（测定人：英国物理学家卡文迪许，大小：G＝6。67×10－11N·m2/kg2))））

1．（万有引力定律的发现）在牛顿发现太阳与行星间引力的过程中,得出太阳对行星的引力表达式后推出行星对太阳的引力表达式，这是一个很关键的论证步骤,这一步骤采用的论证方法是()A．研究对象的选取 B．理想化过程C．类比 D．等效答案C解析求太阳对行星的引力F时,行星是受力星体，有F∝eq\f（m,r2)(m是行星的质量）,求行星对太阳的作用力F′时，太阳是受力星体，类比可得F′∝eq\f(M,r2）(M是太阳的质量)，故C正确．2．（对万有引力定律的理解）关于万有引力定律F＝Geq\f(m1m2,r2),下列说法中正确的是（）A．牛顿是在开普勒揭示的行星运动规律的基础上，发现了万有引力定律，因此万有引力定律仅适用于天体之间B．卡文迪许首先用实验比较准确地测定了引力常量G的数值C．两物体各自受到对方的引力的大小不一定相等，质量大的物体受到的引力也大D．万有引力定律对质量大的物体适用，对质量小的物体不适用答案B解析万有引力定律适用于所有物体间，A、D错；根据物理学史可知卡文迪许首先用实验比较准确地测定了引力常量G的数值，B对；两物体各自受到对方的引力的大小遵循牛顿第三定律，C错．3．(万有引力定律的应用）某实心匀质球半径为R,质量为M，在球外离球面h高处有一质量为m的质点，则其受到的万有引力大小为（）A．Geq\f（Mm,R2） B．Geq\f(Mm，R＋h2）C．Geq\f（Mm,h2） D．Geq\f(Mm,R2＋h2）答案B解析万有引力定律中r表示两个质点间的距离，因为匀质球可看成质量集中于球心上，所以r＝R＋h.4．（万有引力与重力的关系)假如地球自转速度增大，关于物体的重力，下列说法中正确的是(）A．放在赤道地面上物体的万有引力不变B．放在两极地面上物体的重力不变C．放在赤道地面上物体的重力减小D．放在两极地面上物体的重力增大答案ABC解析地球自转角速度增大,物体受到的万有引力不变，选项A正确；在两极，物体受到的万有引力等于其重力,则其重力不变，选项B正确,D错误；而对放在赤道地面上的物体，F万＝G重＋mω2R,由于ω增大，则G重减小，选项C正确。题组一万有引力定律的发现1．牛顿发现万有引力定律的思维过程是下列的（）A．理想实验——理论推导-—实验检验B．假想-—理论推导-—实验检验C．假想——理论推导—-规律形成D．实验事实——假想——理论推导答案B解析牛顿发现万有引力定律的思维过程是先假想维持月球绕地球运动的力与使苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”定律，然后通过理论推导得到理论上的结果，最后通过实验测得的数据计算实际结果，并将两种结果加以对比，从而得出结论,故B正确．2．牛顿时代的科学家们围绕万有引力的研究,经历了大量曲折顽强而又闪烁智慧的科学实践．在万有引力定律的发现历程中，下列叙述符合史实的是（）A．开普勒研究了第谷的行星观测记录,提出了开普勒行星运动定律B．牛顿将行星与太阳、地球与月球、地球与地面物体之间的引力推广到宇宙中的一切物体,得出了万有引力定律C．卡文迪许在实验室中准确地得出了引力常量G的数值D．牛顿推导出了引力常量G的数值答案ABC解析开普勒总结出了行星运动的三大规律，故A正确；牛顿将行星与太阳、地球与月球、地球与地面物体之间的引力规律推广到宇宙中的一切物体,得出了万有引力定律，故B正确；牛顿发现了万有引力定律,卡文迪许在实验室中准确地得出了引力常量G的数值,故C正确，D错误．3．把行星运动近似看做匀速圆周运动以后,开普勒第三定律可写为T2＝r3/k,m为行星质量,则可推得（)A．行星受太阳的引力为F＝keq\f（m，r2）B．行星受太阳的引力都相同C．行星受太阳的引力为F＝keq\f（4π2m,r2）D．质量越大的行星受太阳的引力一定越大答案C解析行星受到的太阳的引力提供行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力,则有F＝meq\f(v2,r)，又因为v＝eq\f(2πr，T），代入上式得F＝eq\f(4π2mr，T2)。由开普勒第三定律eq\f（r3，T2）＝k，得T2＝eq\f（r3,k)，代入上式得F＝keq\f(4π2m,r2)。太阳与行星间的引力与太阳、行星的质量及太阳与行星间的距离有关．故选C.4．“月-地检验"的结果说明（)A．地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质的力B．地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力不是同一种性质的力C．地面物体所受地球的引力只与物体的质量有关,即G＝mgD．月球所受地球的引力只与月球质量有关答案A解析通过完全独立的途径得出相同的结果，证明地球表面上的物体所受地球的引力和月球所受地球的引力是同一种性质的力．题组二对万有引力定律的理解5．对于万有引力定律的表达式F＝Geq\f(m1m2，r2），下列说法中正确的是（）A．公式中的G为比例常数，无单位B．m1与m2之间的相互作用力，总是大小相等,方向相反，是一对作用力和反作用力C．当r趋近于0时，F趋向无穷大D．当r趋近于0时，公式不成立答案BD解析万有引力公式中的G为引力常量，不但有大小而且有单位,单位是N·m2/kg2，故A错;m1与m2之间万有引力是一对作用力和反作用力，B正确；当r趋于0时,无论是球体还是其他形状的两个物体,都不能看成质点，故公式不成立,C错误，D正确．6．关于引力常量G，下列说法中正确的是()A．G值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值B．引力常量G的大小与两物体质量的乘积成反比,与两物体间距离的平方成正比C．引力常量G在数值上等于两个质量都是1kg的可视为质点的物体相距1m时的相互吸引力D．引力常量G是不变的,其值大小与单位制的选择无关答案AC解析引力常量G是一个普遍适用的常量，其物理意义是两个质量都是1kg的质点相距1m时的万有引力为6.67×10－11N,它的大小与所选的单位制有关．7．关于万有引力，下列说法中正确的是（）A．万有引力只有在研究天体与天体之间的作用时才有价值B．由于一个苹果的质量很小，所以地球对它的万有引力几乎可以忽略C．地球对人造卫星的万有引力远大于卫星对地球的万有引力D．地球表面的大气层是因为万有引力的约束而存在于地球表面附近答案D解析由万有引力定律知D对．万有引力定律不但在天体之间有价值,在天体与物体间也有价值，如重力，故A、B错；由牛顿第三定律知C错．题组三万有引力定律的应用8．地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间,当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心之间的距离之比为（)A．1∶9B．9∶1C．1∶10D．10∶1答案C解析设月球质量为m，则地球质量为81m,地月间距离为r，飞行器质量为m0，当飞行器距月球为r′时，地球对它的引力等于月球对它的引力，则Geq\f（mm0,r′2）＝Geq\f（81mm0，r－r′2）,所以eq\f（r－r′,r′）＝9，r＝10r′，r′∶r＝1∶10，故选项C正确．9．要使两个物体之间的万有引力减小到原来的eq\f(1,4),可采用的方法是(）A．使两物体之间的距离增至原来的2倍，质量不变B．使两物体的质量各减少一半，距离保持不变C．使其中一个物体的质量减为原来的eq\f(1,4),距离保持不变D．使两物体的质量及它们之间的距离都减为原来的eq\f(1,4)答案ABC解析根据F＝Geq\f（m1m2，r2）可知，当两物体质量不变，距离增至原来的2倍时，两物体间的万有引力F′＝eq\f(Gm1m2，2r2)＝eq\f(1,4）·eq\f（Gm1m2，r2）＝eq\f（1,4)F，A正确；当两物体的距离保持不变，质量各减少一半时，万有引力F′＝eq\f（G·\f（1，2)m1×\f(1,2)m2,r2)＝eq\f(1，4)·eq\f（Gm1m2,r2）＝eq\f(1，4)F，B正确；当只有一个物体的质量减为原来的eq\f(1，4)时,万有引力F′＝eq\f(G·\f（1，4）m1m2，r2）＝eq\f（1,4）·eq\f（Gm1m2,r2)＝eq\f(1，4)F,C正确；当两物体的质量及它们之间的距离都减为原来的eq\f(1,4）时，万有引力F′＝eq\f(G·\f(1,4）m1×\f（1，4）m2，\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，4）r))2)＝eq\f（Gm1m2,r2)＝F，D错误．10．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d（矿井宽度很小)．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（)A．1－eq\f（d，R） B．1＋eq\f（d,R)C。eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（R－d,R）))2 D。eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(R,R－d）)）2答案A解析设地球的密度为ρ，地球的质量为M,根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度g＝eq\f(GM，R2）.地球质量可表示为M＝eq\f(4,3）πR3ρ。因质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零，所以矿井下以(R－d)为半径的地球的质量为M′＝eq\f(4,3）π(R－d）3ρ,解得M′＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（R－d,R）））3M，则矿井底部处的重力加速度g′＝eq\f(GM′,R－d2），则矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为eq\f（g′，g）＝1－eq\f（d,R),选项A正确，选项B、C、D错误．11．有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点．现从M中挖去半径为eq\f（1，2）R的球体,如图1所示,则剩余部分对m的万有引力F为（)图1A.eq\f（7GMm，36R2) B.eq\f（7GMm，8R2)C.eq\f（GMm，18R2) D.eq\f(7GMm,32R2）答案A解析质量为M的球体对质点m的万有引力F1＝Geq\f(Mm,2R2)＝Geq\f（Mm，4R2）挖去的球体的质量M′＝eq\f（\f(4,3)π\f(R，2)3,\f(4，3)πR3)M＝eq\f（M，8）质量为M′的球体对质点m的万有引力F2＝Geq\f(M′m,R＋\f（R,2)2)＝Geq\f(Mm，18R2)则剩余部分对质点m的万有引力F＝F1－F2＝Geq\f（Mm,4R2)－Geq\f(Mm，18R2）＝eq\f(7GMm，36R2）.故选项A正确．题组四万有引力和重力的关系12．设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径）处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则eq\f(g，g0）为（)A．1B.eq\f(1，9）C.eq\f（1,4)D。eq\f（1,16)答案D解析地球表面上的重力加速度和在离地心4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生,忽略自转所以有在地面上，Geq\f（mM，R2)＝mg0,①离地心4R处,Geq\f（mM，4R2)＝mg，②由①②两式得eq\f（g,g0）＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(R，4R）)）2＝eq\f（1，16).13．一物体在地球表面重16N，地面上重力加速度为10m/s2.它在以5m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重为9N，则此火箭离地球表面的距离为地球半径的(忽略地球自转)（)A．2倍B．3倍C．4倍D．一半答案B解析设此时火箭上升到离地球表面高度为h处，火箭上