北京市平谷区2022-2023学年中考数学专项提升仿真模拟卷（一模二模）含解析

北京市平谷区2022-2023学年中考数学专项提升仿真模拟卷

（一模）

一、选一选（请选出各题中一个符合题意的正确选项，本大题有10小题,每小题4分，共40分）

1.1的相反数是（）

3

11

A.3B.~3C.-D.—

33

2.在搜索引擎中输入"2017中考"，搜索到与之相关的结果个数约为8860000,这个数用科学记

数法表示为（）

A.8.86x104B.886x104C.8.86xl06D.88.6xl06

3.有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互没有相同，取得分前10位的同学进入决赛，某同

学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学分数的（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

4,下列运算正确的是

A.a、a"=a"B.（-3a"）'=9aC.5a+3b=8abD.（a+b）

2=a2+b2

5.如图是小强用八块相同的小正方体搭建的一个积木，它的左视图是（）

6.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所用的时间与原计划

生产450台机器所用的时间相同.若设原计划平均每天生产x台机器，则可列方程为（）

600450600450600450600

A---=------B---=------C-----=----D-----

xx+50xx-50x+50xx-50

450

x

7.一个正多边形，它的每一个外角都等于40。，则该正多边形是（）

A.正六边形B.正七边形C.正八边形D.正九边形

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8.如图，二次函数片ax2+bx+c的图象与x轴的交点4,8的横坐标分别为-1,3.与y轴负半

轴交于点C,在下面四个结论中：①ac<0；②2a-b=0；③a+b+c>0；④c=-3a.其中正确的

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.如图a是某公司的商标图，由外至里，层阴影部分是由边长为1的正MBC和其外接圆形成

的（如图6）,第二层阴影部分是由正MBC的内切圆和这个内切圆的内接正三角形形成的（如

图c）,依次类推，则第8层阴影部分的面积为（）

AA

0姮

图b图C

B冗一V3c兀

・216・3x^14216

10.如图，己知直线y=；x+4与X轴、y轴分别交于48两点，将△AO8沿直线AB翻折，使点

O落在点C处，点P,Q分别在AB,AC上，当PC+PQ取最小值时，直线OP的解析式为（）

A.y=--xB.y=--xC.y=--xD.y=­x

4233

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11.分解因式：2〃/_2=_________________________.

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2x+1>0

12.求没有等式组《、=的正整数解.

13.如图，小方格都是边长为1的正方形.则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶

状”阴影图案的面积为一一.

14.已知点A,B,C在。。上(点C没有与4,8重合)，乙4。8=80。，则乙4C8=：.

15.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC=3：2,点A(-3,0),B(0,6)分别

k

在x釉，y轴上，反比例函数y=—(x<0)的图象点D,且与边BC交于点E,则点E的坐标为

x

16.如图，正方形4BCD和正方形CEFG的面积分别为4cm2,36cm2,点G,C,8在一条直线上，M

是8F的中点，则点M到GD的距离为cm.

三、解答题(本题有8小题，第17〜20题每题8分，第21题10分，第22题,

23题每题12分，第24题14分，共80分.)

17.(1)计算：(y)2+"-28560°；(2)化简：(2a+l)(2a-1)-4(a-1)2

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18.小明解方程i工-x工-^2=1的过程如图.请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程.

xx

解：方程两边同乘X得

1-（x-2）=1....①

去括号得，l-x-2=l……②

合并同类项得-x-l=l……③

移项得-x=2....④

解得x=-2……⑤

.•.原方程的解为：x=-2……⑧

19.如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为4,某人在岸边的8处测得4在B的北

偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得X在C的北偏西45°的方向

上（其中4B,C在同一平面上）.如果某人要从BC路上的某点。去/点，要求是距离

最短的路线.（到0.1公里，V3«1,732.V2»1,414）.

（1）在图中作出点。，并求最短距离；

（2）求3。的长.

20.“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗.我市某食品厂为了解市民对去

年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用4、8、C、。表示）这四

种没有同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样，并将情况绘制成如下两幅

统计图（尚没有完整）.

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请根据以上信息回答：

(1)本次参加抽样的居民有多少人？

(2)将两幅没有完整的图补充完整；

(3)若居民区有8000人，请估计爱吃。粽的人数；

(4)若有外型完全相同的月、8、C、。粽各一个，煮熟后，小王吃了两个.用列表或画树状图

的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率.

21.如图，ZVIBC内接于0。，A8是直径，。。的切线PC交8A的延长线于点P,OF//BC^AC

于点E,交PC于点F,连结AF.

(1)判断力尸与。。的位置关系并说明理由；

⑵若1C=24,4c'=15,求si.

22.某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后

直接，包装成本为1万元/吨，它的平均价格y(单位：万元/吨)与数量x(x“，单位：吨)

之间的函数关系如图所示；B类杨梅深加工后再，深加工总费用s(单位：万元)与加工数量t

(单位：吨)之间的函数关系是s=12+3f,平均价格为9万元/吨.

第5页/总51页

(1)A类杨梅的量为5吨时，它的平均价格是每吨多少万元？

(2)若该公司收购10吨杨梅，其中A类杨梅有4吨，则经营这批杨梅所获得的毛利润(w)

为多少万元？(毛利润=总收入一经营总成本)

(3)若该公司收购20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元.

①求w关于x的函数关系式；

②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？

23.阅读：圆是最完美的图形，它具有一些的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所

对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进

行转化，往往能化隐为显、化难为易.

解决问题：如图，点A与点B的坐标分别是(1,0),(5,0),点P是该直角坐标系内的一个动

点.

(1)使NAPB=30°的点P有一个；

(2)若点P在y轴正半轴上，且NAPB=30°,求满足条件的点P的坐标；

(3)设sin/APB二m,若点P在y轴上移动时，满足条件的点P有4个，求m的取值范围.

必

5-

4-

3-

2-

JX「！卢

-43-2-1O12345^

-2-

・3-

-4-

4

24.如图，在平面直角坐标系中，直线y=§x+8分别交x轴，y轴于点/,C,点、D(w,4)

在直线ZC上，点B在x轴正半轴上，且。8=2OC.点E是夕轴上任意一点，连结。E,将线段

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。£■按顺时针旋转90。得线段。G,作正方形。EFG,记点E为(0,〃).

(1)求点D的坐标；

(2)记正方形。EFG的面积为S,

①求S关于"的函数关系式；

②当。F〃x轴时，求S的值；

(3)是否存在〃的值，使正方形的顶点F或G落在A/BC的边上？若存在，求出所有满足条件

的〃的值；若没有存在，说明理由.

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北京市平谷区2022-2023学年中考数学专项提升仿真模拟卷

（一模）

一、选一选（请选出各题中一个符合题意的正确选项，本大题有10小题,每小题4分，共40分）

1.」的相反数是（）

3

11

A.3B.-3C.-D.——

33

【正确答案】D

【分析】在一个数前面放上就是该数的相反数.

【详解】解：』的相反数为

33

故选：D.

本题考查了相反数的概念，求一个数的相反数只要改变这个数的符号即可.

2.在搜索引擎中输入"2017中考"，搜索到与之相关的结果个数约为8860000,这个数用科学记

数法表示为（）

A.8.86x104B.886xl04C.8.86xl06D.88.6xl06

【正确答案】C

【详解】解：8860000=8.86X106.故选C.

3.有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互没有相同，取得分前10位的同学进入决赛，某同

学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学分数的（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

【正确答案】B

【分析】因为第1（）名同学的成绩排在中间位置，即是中位数.所以需知道这19位同学成绩的

中位数.

【详解】解：19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互没有相同，取得前10位同学进入决赛，

中位数就是第10位，因而要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的中位数就可以.

故选B.

本题考查中位数的意义.理解题意，掌握中位数的意义是解题关键.

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4.下列运算正确的是

A.aJ»a3=a9B.(-3a)2=9/C.5a+3b=8abD.(a+b)

W+b2

【正确答案】B

【详解】分析：根据同底数累的乘法，幕的乘方与积的乘方，合并同类项运算法则和完全平方

公式逐一计算作出判断：

A、a3»a3=a6,本选项错误；

Bs(-3a3)2=9a6,本选项正确；

C、5a和3b没有是同类项，没有可合并，本选项错误；

D、(a+b)2=a2+2ab+b2,本选项错误.

故选B.

5.如图是小强用八块相同的小正方体搭建的一个积木，它的左视图是()

D-+

【分析】左视图从左往右，2列正方形的个数依次为2,1,依此得出图形D正确.故选D.

【详解】请在此输入详解！

6.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所用的时间与原计划

生产450台机器所用的时间相同.若设原计划平均每天生产x台机器，则可列方程为()

600_450600450600450600

B.——=---------C.--------=------

xx+50xx-50x+50xx-50

450

x

【正确答案】C

【分析】根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所以可得等量

关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间.

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【详解】解：设原计划每天生产x台机器，则现在可生产(x+50)台.

600450

依题意得:

x+50x

故选：C.

此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”这一

个隐含条件，进而得出等式方程是解题关键.

7.一个正多边形，它的每一个外角都等于40。，则该正多边形是()

A.正六边形B.正七边形C.正八边形D.正九边形

【正确答案】D

【分析】根据多边形的外角和是360°,正多边形的每一个外角都等于40°,直接用36040即

得.

【详解】解:360:40=9.

故答案为D.

此题考查多边形外角和定理，解题关键在于掌握运算法则

8.如图，二次函数片ax2+bx+c的图象与x轴的交点A,8的横坐标分别为-1,3.与y轴负半

轴交于点C,在下面四个结论中：①ac<0；②2o-b=0：③a+b+c>0；®c=-3a.其中正确的

A.1个B.2个C.3个D.4个

【正确答案】B

【详解】解：；抛物线开口向上，二。〉。.：抛物线与y轴交点在y轴负半轴，•••，<(),；.ac

<0,故①正确；

,图象与x轴的交点4、8的横坐标分别为-1,3,...对称轴为"--=———=1..,.b=-2a,

2a2

；.2a+b=0,结论②没有正确.

*.'x=l时，，y<0,.,.a+b+c<0,.,♦结论③没有正确.

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,点Z的坐标为（-1,0）,.,.a-b+c=0.又,：b=-2a,.,.a-（-2a）+c=0».*.c=-3a,.,.结

论④正确.

综上，可得正确的结论有两个：①④.

故选B.

点睛：本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确:

①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛

物线向下开口；②项系数6和二次项系数"共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即

0）,对称轴在夕轴左；当a与6异号时（即必<0）,对称轴在y轴右.（简称：左同右异）③常

数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与夕轴交于（0,c）.

9.如图。是某公司的商标图，由外至里，层阴影部分是由边长为1的正MBC和其外接圆形成

的（如图b）,第二层阴影部分是由正A4BC的内切圆和这个内切圆的内接正三角形形成的（如

图c）,依次类推，则第8层阴影部分的面积为（）

隼oe

A.3B.兀一也C.————D.

292163x214216

71A/3

3x216~2^

【正确答案】C

【详解】解：•••△4SG和△48C都是正三角形，.•.它们的内心与外心重合.如图，设圆的半

径为八RtZXO/l。中，2040=30。，OD=r,AD=OD・—————=百八即13=20r；

tan/OAD

同理可求得48尸八・，...旭=二生=」.

设第"内的正三角形的边长为斯.•.18=〃产1,

AB2技2

•••a2=；%=g,同理可得：%=；出=*，

**•^8=9%，阴影面积

262=/百、2百2=12百2j,1、273.1._

a2

$8=万/__—«8一万（74）一_~»一_~af.一§万（于）一彳（尹）一

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Tt

.故选C.

3x2,*342^

10.如图，已知直线y=；x+4与x轴、y轴分别交于4B两点，将△AOB沿直线AB翻折，使点

0落在点C处，点P,Q分别在AB,AC上，当PC+PQ取最小值时，直线OP的解析式为()

42

C.y=--xD.y=­x

33

【正确答案】A

【详解】解：连接CO.・・3C=/O,BC=OB,・・・45是线段OC的垂直平分线.•・•直线45的解

析式为＞=；x+4,，直线OC的解析式为尸一2%,・,•设C(a,—2a).*.*CB=OB=4,

7«2+(-2«-4)2=4，解得：。=0(舍去)或a=——,.设直线BC为歹=h+4,

555

把。-----二代入得：—=---左+4,解得：k=—,；・直线8c为歹=—x+4.过O作

555544

。01_4。于0交/5于点?，连接尸C,则尸C+P0=O0最短.•・•直线00〃直线5C,・・・直线

3

。。的解析式为：y=一一x.故选A.

4

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点睛：本题考查了翻折变换的性质，函数图象上点的坐标特征.准确找出厂的位置是解答本题

的关键.

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

11.分解因式：2m°-2=_______________________.

【正确答案】2(W+1)(/M-1)

【详解】解：2〃?2—2=2(加2—1)=2(加+1)(〃?-1).

故答案为2(加+1)(〃?-1).

[2x+l>0

12.求没有等式组、，的正整数解.

【正确答案】1,2,3,4.

【详解】试题分析：先求出没有等式组的解集，再从没有等式组的解集中找出适合条件的正整

数即可.

试题解析：解没有等式2x+l>0,得：x>-y>

解没有等式x>2x-5,得：x<5.

没有等式组的解集为<x<5,

：x是正整数，

x=1>2、3、4.

考点：一元没有等式组的整数解.

13.如图，小方格都是边长为1的正方形.则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶

状''阴影图案的面积为.

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【正确答案】2%—4

【详解】如图，连接AB,则根据轴对称和旋转对称的性质，从图中可知:

阴影部分面积=2(S扇形AOB

(90^-X221cclc，

=2-----------------x2x2=27r-4.

36027

故答案是：2〃—4.

14.已知点48,C在。。上(点C没有与重合)，乙408=80。，则4C8=

【正确答案】40或140

【详解】解：当点G所示时.•・,/力。山与N4O4是同弧所对的圆周角与圆心角，

11

，ZAC\B=-ZAOB=-X80°=40°；

22

当点C2所示时.VZJCi5=40°,・・・/4。赤=180。-40。=140。.

故答案为40。或140°.

15.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC=3：2,点A(-3,0),B(0,6)分另I」

在x轴，y轴上，反比例函数y="(x<0)的图象点D,且与边BC交于点E,则点E的坐标为

第14页/总51页

【正确答案】(-2,7).

【详解】解：过点。作OF_Lx轴于点R则必=90°,

：.ZOAB^-ZABO=90Q,

・・•四边形ZBCZ)是矩形，

，NBAD=90°,AD=BC,

：・NOAB+NDAF=90°,

JNABO=NDAF,

：,入4OBsADE4,

：.OA：DF=OB：AF=AB：AD.

*：ABtBC=3：2,点力(-3,0),B(0,6),

•*AB*AD=3：2,OA~3,OB=6,

:.DF=2,AF=4r

：.OF=OA^AF=1,

・,•点。的坐标为：(-7,2),

14

，反比例函数的解析式为：y=----①，点。的坐标为：(-4,8).

x

设直线6c的解析式为：y=kx+b,

b=6

则解得:

・4k+b=8

b=6

直线BC的解析式为：尸-1+6②,

X—2fx=14

联立①②得:或＜(舍去),

y=7-y="l

・••点£的坐标为：(-2,7).

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16.如图，正方形488和正方形CEFG的面积分别为4cm2,36crr)2,点G,C,8在一条直线上，M

是BF的中点，则点M到GD的距离为cm.

【正确答案】上叵

10

【详解】解：如图，作MK_LQG于K,CN1DG干N,FHLDG于H,BTLDG于T.

,/正方形ABCD和正方形CEFG的面积分别为4平方厘米和36平方厘米，.•.尸G=CG=6cm,

CD=CB=2cm,NFGC=ZGCD=2H=ZCNG=90。，：.ZFGH+NHFG=90。,NFGH+NCGN=90°,

NH=NCNG

：.ZHFG=ZCGN.在△尸G4和46。%中，、NHFG=NCGN,:./\FGH与4GCN,

FG=GC

第16页/总51页

：.FH=GN.在RtzsGCZ)中，£»G=722+62=2cm,CN=CG'DCcm,

DG5

FH=GN=y/cG2-CN2=$2_(|加)2=9^0CNGC

cm'：CN//BT,：.——=——

BTGB

・加-,：.BT=-yf\Ocm.,:FM=MB,MK//FH//BT,:.KH=KT,

85

BT

FH+BT13V10

・・MK=------------=--------cm.

210

故答案为巨叵.

10

点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、梯形的中位线定理、勾股定理、

平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问

题，构造梯形利用梯形中位线定理解决三角形的高，属于中考填空题中的压轴题.

三、解答题(本题有8小题，第17〜20题每题8分，第21题10分，第22题,

23题每题12分，第24题14分，共80分.)

17.(1)计算：(y)2+74-28560°：(2)化简：(2a+l)(2a-1)-4(a-1)2

【正确答案】(1)5；(2)8a-5.

【详解】试题分析：(1)依据负指数幕的性质、二次根式的性质、锐角三角函数值求解即可；

(2)先依据平方差公式和完全平方公式计算，然后再合并同类项即可.

试题解析:解：(1)原式=4+2-2x?=6-1=5；

(2)原式=4/-1-4(/一2。+1)=4a2-1-4Q2+8Q・4=8〃-5.

18.小明解方程工1-工V—的2过程如图.请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程.

xx

解：方程两边同乘X得

1-(x-2)=1.①

去括号得，14-2=1……②

合并同类项得-x-l=l……③

移项得-x=2....④

解得x=-2•…⑤

•••原方程的解为：x=-2……⑥

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【正确答案】小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥少检验;

【详解】试题分析：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥

少检验，写出正确的解题过程即可.

试题解析：解：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥少检

验；

正确解法为：方程两边乘以x,得：1-（X-2）=x,

去括号得：1-x+2=x,

移项得：-x-x=-I-2,

合并同类项得：-2x=-3,

解得：X="|,

经检验x=|是分式方程的解，

则方程的解为x/.

考点：1.解分式方程；.2.专题：图表型.

19.如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为4某人在岸边的B处测得“在8的北

偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达。处，再次测得/在C的北偏西45。的方向

上（其中4,B,C在同一平面上）.如果某人要从8c路上的某点。去4点，要求4Q是距离

最短的路线.（到0/公里，下）al.732,VI»1.414）.

（1）在图中作出点。，并求最短距离；

（2）求3。的长.

【正确答案】（1）见解析；（2）BD=1.5（公里）

【详解】试题分析：（1）过/作于。，先由△/CO是等腰直角三角形，设4D=x,得

第18页/总51页

出C£>=4D=x,再解得出80=―--=—%,再由AD+CZ>4,得出方程乂2x+x=4,

tan60033

解方程求出x的值，即为4到岸边8c的最短距离；

（2）在中，由即可得出结论.

试题解析：解：（1）过4作ZO_L5c于。，则的长度就是“到岸边8c的最短距离.

在RtZ\/CZ）中，ZACD=45°,设/。=x,则CD=4>x.在RtA/3。中，乙480=60。，由

/XX

tan乙48。=——，即tan60°=—,所以50=------=—x,又8c=4,即8O+CZ>4,所以

BDBDtan6003

^-x+x=4,解得x=6-2J5.

3

答：这个标志性建筑物底部/到岸边BC的最短距离为（6-273）公里.

zr_nM_

(2)在中，"：ZBAD=30°,:.ADfBD,A=2^-2-1.46-1.5(^

43

里）.

点睛：本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形

是解题的关键.

20.“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗.我市某食品厂为了解市民对去

年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用/、8、C、。表示）这四

种没有同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样，并将情况绘制成如下两幅

统计图（尚没有完整）.

第19页/总51页

请根据以上信息回答：

(1)本次参加抽样的居民有多少人？

(2)将两幅没有完整的图补充完整；

(3)若居民区有8000人，请估计爱吃。粽的人数；

(4)若有外型完全相同的小B、C、。粽各一个，煮熟后，小王吃了两个.用列表或画树状图

的方法，求他第二个吃到的恰好是。粽的概率.

【正确答案】(1)600：(2)见解析；(3)3200；(4)-

4

【详解】(1)60-10%=600(人).

答：本次参加抽样的居民有600人.

(2)如图,

第20页/总51页

（3）8000x40%=3200（人）.

答：该居民区有8000人，估计爱吃。粽的人有3200人.

（4）如图；

开始

ABCD

BACDAACDAABDAABC

共有12种等可能的情况，其中他第二个吃到的恰好是C粽的有3种，

.，小31

・・P（C粽）=—=一.

124

答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是

4

21.如图，ZXA8C内接于0。，AB是直径，0。的切线PC交8A的延长线于点P,OF//BC^AC

于点E,交PC于点F,连结AF.

（1）判断/尸与。。的位置关系并说明理由；

⑵若力。=24,力尸=15,求si.

3

【正确答案】（1）4尸与。。相切理由见解析；（2）-

5

【详解】试题分析：（1）连接。C,先证NOCF=90。，再证明△ON尸丝△OCF,得出

ZOAF=ZOC尸=90。即可；

C）dAE

（2）先求出4£、EF,再证明△OZEsZUFE,得出比例式——=——，可求出半径，进而求

AFEF

出直径，由三角函数的定义即可得出结论.

试题解析：解：（1）/尸与。。相切.理由如下：

连接OC.如图所示PC是00的切线，...OCJ_PC,二/OC尸=90。.：。尸〃8C,二/8=//OF,

NOCB=NCOF「：OB=OC,：.ZB=NOCB,：.N4OF=NCOF.在△。月F和△OCF中，：OZ=OC,

ZAOF=ZCOF,OF=OF,，△。/广丝△OCF（SAS）,AZOAF=ZOCF=90°,尸与相

第21页/总51页

切;

(2)"：△OAF9XOCF,：.ZOAE=ZCOEf：.OE±ACfAE=-AC=\2,

2

_______04

.,.£F=J152-122=9.・・・/。4/=90。，:•△OAEs&FE,：.——

AF祭咤哈

点睛：本题考查了切线的性质与判定和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质;

熟练掌握切线的证法和三角形相似是解题的关键.

22.某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后

直接，包装成本为1万元/吨，它的平均价格y（单位：万元/吨）与数量x（x22,单位：吨）

之间的函数关系如图所示；B类杨梅深加工后再，深加工总费用5（单位：万元）与加工数量t

（单位：吨）之间的函数关系是s=12+3/,平均价格为9万元/吨.

（1）A类杨梅的量为5吨时，它的平均价格是每吨多少万元？

（2）若该公司收购10吨杨梅，其中A类杨梅有4吨，则经营这批杨梅所获得的毛利润（w）

为多少万元？（毛利润=总收入一经营总成本）

（3）若该公司收购20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元.

①求w关于x的函数关系式；

②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？

【正确答案】（1）A类杨梅的量为5吨时，它的平均价格是每吨9万元；（2）此时经营这批杨

第22页/总51页

梅所获得的毛利润化为30万元；(3)当毛利润达到30万元时，用于直销的A类杨梅为18吨.

【详解】试题分析：(1)用待定系数法求得y与x的函数解析式，把尸5代入即可；

(2)根据“毛利润=总收入-经营总成本”计算即可求得结论；

(3)①当2Wx<8时及当x28时，分别求出w关于x的表达式.注意w=总收入-经营总成本

=WA+WB-3X20；

②若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入①中求得的表达式，求出力类杨梅的数量.

r2k+b=\2

试题解析：解：(1)设x,y的解析式为产次x+b,把x=2时，y=12,x=8时，y=6得：

8K+0=6

•k=-1

解得：<，'.y=-x+14(2WxW8),；.x=5时，y=9.

b=14

答：X类杨梅的量为5吨时，它的平均价格是每吨9万元；

(2)若该公司收购10吨杨梅，其中/类杨梅有4吨，则8类杨梅有6吨，易得：WA=(10-3

-1)X4=24(万元)，WA=6X(9-3)-(12+3X6)=6(万元)，.•.眸24+6=30(万元).

答：此时经营这批杨梅所获得的毛利润w为30万元；

(3)设/类杨梅x吨，则8类杨梅(20-x)吨，①当2WxV8时，w=x(-x+14)-x=-/+13x,

WB=9(20-x)-[12+3(20-x)]=108-6x»w=WAJrwn-3X20

=(-f+13x)+(108-6x)-60

=-x2+7x+48；

当x28时，WA=6X-x=5x,WB=9(20-X)-[12+3(20-x)]=108-6x

W=WA+WB-3X20

=(5x)+(108-6x)-60

=-x+48,...w关于x的函数关系式为：

~x^+7x+48(24x<8)

w=<；

-x+48(x>8)

②当2Wx<8时，-X2+7X+48=30,解得XI=9,x2=-2,均没有合题意.

当xN8时，-x+48=30,解得产18,当毛利润达到30万元时，直接的4类杨梅有18吨.

点睛：本题是二次函数、函数的综合应用题，难度较大.解题的关键是理清售价、成本、利润

三者之间的关系.涉及到分段函数时，注意要分类讨论.

23.阅读：圆是最完美的图形，它具有一些的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所

对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进

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行转化，往往能化隐为显、化难为易.

解决问题：如图，点A与点B的坐标分别是(1,0),(5,0),点P是该直角坐标系内的一个动

点.

(1)使NAPB=30°的点P有_______个；

(2)若点P在y轴正半轴上，且NAPB=30°,求满足条件的点P的坐标；

(3)设sinNAPB二m,若点P在y轴上移动时，满足条件的点P有4个，求m的取值范围.

%

5-

4-

3-

2-

J飞,,,B

-4-3-21O12345^

【正确答案】(1)无数：(2)(0,273-77)或(0，273+");(3)0<m<

【详解】试题分析：(1)已知点/、点8是定点，要使N/P8=30。，只需点P在过点4、点8

的圆上，且弧48所对的圆心角为60。即可，显然符合条件的点尸有无数个.

(2)(1)中的分析可知：当点尸在y轴的正半轴上时，点尸是(1)中的圆与y轴的交点，借

助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点尸的坐标.

(3)由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外

角.要N4PB,只需构造过点力、点8且与y轴相切的圆，切点就是使得N/PB的点P,由此

即可求出"，的范围.

试题解析：解：(1)以为边，在象限内作等边三角形/3C,以点。为圆心，4c为半径作

OC,交y轴于点外、Pi.

在优弧4a8上任取一点P,如图1,则*60。=30。，...使/4尸3=30。的点P

22

有无数个.

故答案为无数.

(2)点P在y轴的正半轴上，过点。作CGL48,垂足为G,如图1.

:点/(1,0),点B(5,0),：.()A=l,OB=5,.\AB=4.

第24页/总51页

:点C为圆心，CGLAB,：.AG=BG=-AB=2,：.0G^0A+AG=3.

2

「△/BC是等边三角形，：.AC=BC=AB=4,-'-CG=^AC2-AG2

=>/42-22

=26,...点C的坐标为(3,2百).

过点C作CD_Ly轴，垂足为。，连接CA，如图1.：点C的坐标为(3,2),，CQ=3,

OD=2y/3.

三是。C与夕轴的交点，AZAPiB=ZAP2B=30°.

22

'：CP2=CA=4,CD=3,：.DP2=yl4-3=V7.

+

:点C为圆心，CD_LPIP2，：.P\D=PiD=-/i,：.Pi(0,2V3V7).尸2(0,2币-币).

(3)当过点A8的。£与y轴相切于点尸时，NAPB.

2

理由：可证：NAPB=NAEH,当NZPB时，ZAEH.由sin/4E/f=—得：当/E最小即PE

AE

最小时，ZAEH.所以当圆与y轴相切时，N/P8.为锐角，...sinN/PB随NNP8增

大而增大,.

连接£4,作E"_Lx轴，垂足为"，如图2.与y轴相切于点P,.•.PE_LQP.

"EHA.AB,OPLOH,：.ZEPO=ZPOH=ZEHO=90°,二四边形。庄，是矩形，：.OP=EH,