北京市2020年数学中考真题(含答案解析)

2020年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.（2020北京中考，1,2分，如图是某儿何体的三视图，该几何体是（）

□□

A,圆柱B.圆锥C.三棱锥D.长方体

2.（2020北京中考，2,2分，★☆☆）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中

心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道.将36000用科学记数法表示应

为（）

A.0.36X105B.3.6X105C.3.6x104D.36x104

3.（2020北京中考，3,2分，★☆☆）如图，AB和CD相交于点O,则下列结论正确的是（)

A.Z1=Z2

C.Z1>Z4+Z5D.Z2<Z5

4.（2020北京中考，4,2分，★☆☆）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（)

A.180°B.360°C.540°D.720°

6.（2020北京中考，6,2分，★☆☆）实数a在数轴上对应点的位置如图所示.若实数b满足一aVb

<a,则b的值可以是（）

-3-2023

A.2B.-1C.-2D.-3

7.（2020北京中考，7,2分，★☆☆）不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2"，除数字外

两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，

记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

4323

8.（2020北京中考，8,2分，★★☆）有一个装有水容器，如图所示.容器内的水面高度是10cm,现

向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满

水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（）

水面

高度

A.正比例函数关系B.一次函数关系C.二次函数关系D.反比例函数关系

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.（2020北京中考，9,2分，★☆☆）若代数式一工有意义，则实数x的取值范围是

10.（2020北京中考，10,2分，已知关于x的方程N+2x+Z=0有两个相等的实数根，则%的值

是.

11.（2020北京中考，11,2分，★☆☆）写出一个比加大且比岳小的整数.

（2020北京中考,2分，方程组

13.（2020北京中考，13,2分，★☆☆）在平面直角坐标系xOy中，直线旷=》与双曲线y=%交于A,B

两点.若点A,8的纵坐标分别为％,”，则X+%的值为.

14.（2020北京中考，14,2分，★☆☆）在^ABC中，A8=AC,点。在BC上（不与点8,C重合）.只

需添加一个条件即可证明△ABOgAACZ）,这个条件可以是（写出一个即可）

BC

15.（2020北京中考，15,2分，如图所示的网格是正方形网格，4,B,C,。是网格交点，则aABC

的面积与"8。的面积的大小关系为：SAABCSAABO（填"="或"<"）

16.（2020北京中考，16,2分，★★★）如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所

购票数分别为2,3,4,5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之

和最小.如果按“甲、乙、丙、丁''的先后顺序购票，那么甲购买1,2号座位的票，乙购买3,5,7号座

位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票.若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一

排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序.

1-----■自•>

三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每小题6分，第25

题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.（2020北京中考，17,5分，★☆☆）计算：（1）-'+A/i8+|-2|-6sin45°

5x-3>2x

18.（2020北京中考，18,5分，★☆☆）解不等式组：2x-lx

-----<—

I32

19.(2020北京中考，19,5分，★☆☆)已知5f—x-l=0,求代数式(3x+2)(3x-2)+x(x-2)的值.

20.（2020北京中考，20,5分，★☆☆）已知：如图，4ABC为锐角三角形，AB=AC,CD//AB.

求作：线段BP,使得点P在直线CZ）上，且

作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CZ）于C,P两点;②连接BP.线段就是所求作线

段.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：'JCD//AB,

：.NABP=.

"：AB=AC,

...点8在。A上.

又•.,N8PC='N8AC（）（填推理依据）

2

ZABP=-ZBAC

2

_______________CD

B

21.(2020北京中考，21,6分，★☆☆)如图，菱形ABCO的对角线AC,8。相交于点。，E是AD的中

点，点F,G在AB上，EFLAB,OG//EF.

(1)求证：四边形OEFG是矩形；

(2)若4。=10,EF=4,求OE和BG长.

22.(2020北京中考，22,5分，★☆☆)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=丘+。(％X0)图象由

函数)，=x的图象平移得到，且经过点(1,2).

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)当x>l时，对于x的每一个值，函数丫=皿(加工0)的值大于一次函数丫=履+6的值，直接写出机的

取值范围.

23.(2020北京中考，23,6分，如图，A8为。。的直径，C为2A延长线上一点，CD是。。的

切线，。为切点，。尸，AO于点E,交.CD于点、F.

(1)求证：ZADC^ZAOF；

(2)若si[C=‘，BD=8,求EF的长.

3

24.(2020北京中考，24,6分，小云在学习过程中遇到一个函数y=，|x|(d-x+l)(xN-2)；.下

6

面是小云对其探究的过程，请补充完整：

(1)当一2力<0时，对于函数yi=|x|,即)1=-x,当-24x<0时，yi随x的增大而,且yi>0；

对于函数)2=N—X+1,-24x<0当时，”随x的增大而,且”>0；结合上述分析，进一步探究

发现，对于函数当-24x<0时，y随x的增大而.

(2)当后0时，对于函数.当后0时，y与x几组对应值如下表：

35

0123・..

X22

1J_1957

01•.•

y16-616482

综合上表，进一步探究发现，当后0时，y随x的增大而增大.在平面直角坐标系xO)，中，画出当史0时的

函数y的图象.

（3）过点（0,相）（山＞0）作平行于x轴的直线/,结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线/与函数

y='|x|（f-x+1）（%2-2）的图象有两个交点，则机的最大值是—.

6

25.（2020北京中考，25,5分，★☆☆）小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单

位：千克），相关信息如下：

4.小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：

用余垃At分出量/千克

I23456789101112131415161718192021222324252627282930H期

区小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下:

时段1日至10日11日至20日21日至30日

平均数100170250

(1)该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为(结果取整数)

(2)已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60,则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平

均数约为4月的倍(结果保留小数点后一位);

(3)记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为呈,5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差

为s；,5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为s；.直接写出的大小关系.

26.(2020北京中考，26,6分，★★☆)在平面直角坐标系xOy中，MCn,》)，N(及，丫2)为抛物线

y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点，其中x,<X2.

(1)若抛物线的对称轴为X=1,当X”X2为何值时，yi=)2=c；

(2)设抛物线的对称轴为x=，.若对于占+々>3,都有乂<M，求f的取值范围.

27.（2020北京中考，27,7分，★★★）在AABC中，ZC=90°,AOBC,。是AB的中点.E为直线上

一动点，连接OE,过点。作。交直线8c于点F,连接EF.

（1）如图1,当E是线段AC的中点时，设AE=a,BF=b,求EF的长（用含a,〃的式子表示）；

（2）当点E在线段C4的延长线上时，依题意补全图2,用等式表示线段AE,EF,BF之间的数量关系，

并证明.

图2

28.（2020北京中考，27,8分，★★★）在平面直角坐标系xO），中，。。的半径为1,A,B为。。外两

点，AB=1.给出如下定义：平移线段A8,得到。。的弦A3'（A',8'分别为点A,B的对应点），线段

AA'长度的最小值称为线段AB到。。的“平移距离”.

(1)如图，平移线段AB到。。的长度为1的弦片鸟和居巴，则这两条弦的位置关系是；在点

片,£出,匕中，连接点4与点的线段的长度等于线段AB到。。的“平移距离”；

(2)若点A,B都在直线y=J§x+2G上，记线段4B到。。的“平移距离”为由，求&的最小值;

(3)若点A的坐标为0,3),记线段48到。。的“平移距离”为刈，直接写出力的取值范围.

2020年北京市高级中等学校招生考试数学试卷

答案全解全析

1.答案：D

解析：根据三视图都是长方形即可判断该几何体为长方体.

考查内容：几何体的三视图.

命题意图：本题主要考查学生根据三视图判断几何体，难度很小.

归纳总结：常见物体的三视图

常见的儿何体主视图左视图俯视图

球圆圆圆

正方体正方形正方形正方形

圆柱长方形长方形圆

圆锥三角形三角形带圆心的圆

三棱柱长方形长方形三角形

核心素养：本题是依据主视图、左视图和俯视图之间联系，准确判断几何体的形状特征为切入点，体现了

对直观想象能力素养的考察.

2.答案：C

解析：36000是一个整数数位有5位的数，在用科学记数法表示时，a=3.6,n=5-1=4,B|J36000=3.6x104,

故选择C.

考查内容：科学记数法.

命题意图：本题主要考查学生用科学记数法表示较大的数，难度很小.

知识拓展：科学记数法的表示方法：a值的确定：1W同<10；n值的确定：（1）当原数大于或等于10时，n

等于原数的整数位数减I;（2）当原数小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前

所有零的个数（含小数点前的零）；（3）有数字单位的科学记数法，先把数字单位转化为数字表示，再用科

学记数法表示.

3.答案：A

解析：由图知，N1与N2为对顶角，所以N1=N2,故选项A正确；N2与N3分别为AAOD的外角和内角，

且不相邻，所以N2>N3,同理可得N2>N5,故选项B,D错误；N1为AOBC的外角，N4与/5为AOBC的

内角，且/I不与N4和N5相邻，所以Nl=/4+/5,故选项C错误，故选A.

考查内容：对顶角性质和三角形外角的性质.

命题意图：本题主要考查学生对顶角的定义和外角的性质运用，难度很小.

归纳总结：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，三角形的一个外角等于不相邻的两个内角

之和.

4.答案：D

解析：选项A是轴对称图形，不是中心对称图形；选项B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；选项C

不是轴对称图形，是中心对称图形；选项D既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选D.

考查内容：中心对称图形与轴对称图形

命题意图：本题主要考查学生识别中心对称图形与轴对称图形，难度较小.

5.答案：B

解析：任意多边形的外角和都是360。，故正五边形的外角和的度数为360。.故选B.

考查内容：多边形的外角和定理.

命题意图：本题主要考查学生对多边形的外角和定理运用，难度较小.

知识拓展：(1)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)xl80°；(2)多边形的外角和定理：任

意多边形的外角和都为360。.

6.答案：B

解析：根据互为相反数的两数关于原点对称可知又因为-a<b<a,所以结合各选项知，b的值可以

是-1,故选B.

考查内容：数轴上表示数及实效的大小比较.

命题意图：本题主要考查学生会利用数轴进行实数的大小比较，难度较小.

归纳总结：有理数大小比较的一般方法：①正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数，两个负数绝

对值大的反而小；②在数轴上表示的数，右边的总比左边的大.

一题多解：本题还可以采用特殊值法，a表示的数是1.7,则-a表示的数是-1.7,所以一1.7<〃<1.7,b的值

可以是-1,故选B.

7.答案：C

21

所以共4种情况：其中满足题意的有两种，所以两次记录的数字之和为3的概率是一=一.

42

故选C.

考查内容：用列表法或画树状图法求概率

命题意图：本题主要考查学生用列表法或画树状图法求概率，难度较小.

8.答案：B

解析：设容器内的水面高度为九注水时间为r,根据题意得：〃=0.2r+10,所以容器内的水面高度与对应的

注水时间满足的函数关系是一次函数关系，故选B.

考查内容：一次函数的应用

命题意图：本题主要考查学生列函数关系式，判断两个变量之间的函数关系，难度较小.

9.答案："1

解析：分式有意义的条件是分母不能为0,可得即XH7.

考查内容：分式有意义的条件

命题意图：本题主要考查分式分母不为0,难度较小.

10.答案：1

解析：•••关于x的方程f+2x+Z=0有两个相等的实数根，.•.△=22-4xlxk=0,解得k=l.

考查内容：一元二次方程根的判别式

命题意图：本题主要考查根据根的判别式判断一元二次方程根的情况，难度较小.

归纳总结：对于一元二次方程依2+区+。=（）（。。（））：

根的判别式△一元二次方程ax2+bx+c^0（。h0）根的情况

△>0有两个不相等的实数根

△=0有两个相等的实数根

△<0无实数根

11.答案：2（或3）

解析：＜收＜2,3＜厉＜4,.,.比0大且比厉小的整数是2或3.故答案为：2（或3）

考查内容：无理数的估算

命题意图：本题主要考查有理数和无理数进行大小比较，难度中等.

易错警示：此类问题易错的地方在于不能正确求出百与后在哪两个相邻的整数之间是.

…»[x=2,

12.答案：《

b=1-

解析：两个方程相加可得4x=8,；.x=2,将x=2代入x-y=l,可得y=l,

x=2

所以方程组的解为1一

y=i

考查内容：二元一次方程组的解法

命题意图：本题主要考查用加减消元法或代入消元法解二元一次方程组，难度较小.

13.答案：0

解析：•.•正比例函数和反比例函数均关于坐标原点对称，.•.正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原

点中心对称，・,•X+必=。•

考查内容：正比例函数和反比例函数的图象性质

命题意图:本题主要考查正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，难度中等.

iy=x

一题多解:直线y=x与双曲线y=—交于A,8两点，，联立方程组得;m,

x

解得卜二7,卜=*,

+y2=0.

{yt=yjm\y2=-yjm

14.答案：/BAD=NCAD（或BO=CD）

解析：：AB=AC,AD=AD,若利用边角边判定△ABDgAAC。，则可以添加NBAZ)=NC4£),若利用边

边边判定△ABOg△4CZ),则可以添加BO=CD

考查内容：全等三角形的判定；等腰三角形的性质

命题意图：本题主要考查全等三角形的判定和等腰三角形三线合一的性质，难度较小.

15.答案：=

解析：VS^ABC——x2x4=4,SAABD=2X5-—x5xl--xlx3-—x2x2=4,SAABC=SAABD,故答案为=.

2222

考查内容：三角形的面积

命题意图：本题主要考查在网格中计算三角形的面积，难度较小.

16.答案：丙，丁，甲，乙(答案不唯一)

解析：根据题意，丙第一个购票，只能购买3,1,2,4号票，此时，3号左边有6个座位，4号右边有5

个座位，即甲、乙购买的票只要在丙的同侧，四个人购买的票全在第一排，①第二个丁可以购买3号左边

的5个座位，另一侧的座位甲和乙购买，即丙(3,1,2,4)、T(5,7,9,11,13)、甲(6,8)、乙(10,

12,14),或丙(3,1,2,4)、T(5,7,9,11,13)、乙(6,8,10)、甲(12,14)；②第二个由甲或

乙购买，此时，只能购买5,7号票，第三个购买的只能是丁，且只能购买6,8,10,12,14号票，此时，

四个人购买的票全在第一排，即丙(3,1,2,4)、甲(5,7)、T(6,8,10,12,14)、乙(9,11,13),

或丙(3,1,2,4)、乙(5,7,9)、T(6,8,10,12,14)、甲(11,13),因此，第一个是丙购买票，

丁只要不是最后一个购买票的人，都能使四个人购买的票全在第一排，故答案为：丙、丁、甲、乙.

考查内容：推理与论证

命题意图：本题主要考查推理与论证，有理数的加法，认真审题，理解题意是解题的关键.难度中等偏上.

17.解析：解：原式=3+30+2-6x变=3+30+2-3虚=5.

2

考查内容：实数运算

命题意图：本题主要考查负整数指数累，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，以及合并同类二次根式，

难度较小.

18.关键点解读：一元一次不等式组的解法是：对组成不等式组的不等式分别求解，取各个不等式解集的

公共部分，即为不等式组的解集；确定一元一次不等式组解集应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，

小大大小中间找，大大小小无处找.

5x-3>2XD

解析：\lx-\解不等式①，得x>l，解不等式②，得x<2，.•.此不等式组的解集为l<x<2.

-----〈一②

I32

考查内容：解一元一次不等式组

命题意图：本题主要考查解一元一次不等式组，难度中等.

19.解析：解：原式=9%2-4+-2x=10/—2x—4.5/-x-1=0,，5/一1=1,，1Ox?-2%=2，

原式=2—4=—2.

考查内容：整式的混合运算一化简求值.

命题意图：本题主要考查利用平方差公式进行简便运算，把整式化简整体代入求值，难度中等.

核心素养：本题以整数的混合运算为考查方式，考查学生的数学运算能力.

20.解析：解：（1）依据作图提示作图如下：

（2）NBPC；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.

考查内容：等腰三角形的性质；圆周角定理；作图一复杂作图.

命题意图：本题主要考查作图中复杂作图，同时考查了平行线的性质，圆的基本性质：在同圆或等圆中同

弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，难度中等偏上.

21.解析：（1）.四边形是菱形，J.BDLAC,ZDAO=ZBAO,OB=OD,是AO的中点，二

AE=OE=—AD,：.ZEAO=ZAOE,,:AE=DE,，0E是三角形A3。的中位线，：.OE//FG,VOG//

2

EF,，四边形OEFG是平行四边形，二/芯/（二州。，.•.四边形OEFG是矩形；（2）•..四边形

ABC。是菱形，J.BDVAC,AB=AD=10,：.ZAOD=90°,是AO的中点，：.OE=AE=—AD=5；

2

由（1）知，四边形OEFG是矩形，...FG=OE=5,；4E=5,EF=4,；.AF=〃£2_石产=1『一不=3,

：.BG=AB-AF-BG=10-3-5=2.

考查内容：直角三角形斜边上的中线；菱形的性质；矩形的判定与性质.

命题意图：本题主要考查矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，特殊四边形的性质和判定，

难度中等偏上.

22.解析:（1）•.•一次函数y=fcr+b（原0）的图象由直线y=x平移得到，；.4=1,

将点（1,2）代入y=x+b,得1+6=2,解得b=l,一次函数的解析式为y=x+l；（2）把点（1,2）代

入y=mx,求得,〃=2,\,当x>l时，对于x的每一个值，函数y=〃tv（/存0）的值大于一次函数y=x+l

的值，,〃仑2.

考查内容：一次函数图象与系数的关系；一次函数图象与几何变换.

命题意图：本题主要考查求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，难度中等偏上.

23.解析：解：（1）连接。£>,为。。的直径，.,./AOB=90。，；。凡LAO,二。尸〃80,

AZAOF=ZB,是。。的切线，。为切点，：.ZCDO=90°,：.ZCDA+ZAD0=ZADO+ZBDO=

90°,：,ZCDA=ZBDO,'：OD=OB,.'.ZODB=ZB,ZAOF=ZADC；（2）VOF//BD,AO=OB,

：.AE=DE,：.0E=2Z?D=lx8=4,"：sinC=2R,BC=L,.,.设0Q=x,OC=3x,：.OB=x,：.

2OC3

CB=4x,'：OF//BD,:.△COFsMCBD,.•.军=尘，；.红=空，；.0F=6,：.EF=OF-0E=6

BCBD4x8

-4=2.

D

考查内容：勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形.

命题意图：本题主要考查切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和

性质，难度中等偏上.

24.解析：（1）减小，减小，减小.

解答提示：当-2勺<0时，对于函数％=即yi=-x,当-2+<0时，》随尤的增大而减小，且%>0；

对于函数”=『-"1,当-2q<0时，”随x的增大而减小，且竺>0;结合上述分析，进一步探究发现,

对于函数y,当-2SvV0时，y随x的增大而减小.

（2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图:

（3）由（2）可知，当了20时，丁随％的增大而增大，无最大值；由（1）可知），=工@|（/一工+1）在-2Wx<0

6

中，丁随x的增大而减小；.♦•在-2Wx<0中，有

777

当％=时，y--・・・根的最大值为；；故答案为；.

333

考查内容:二次函数与不等式（组）.

命题意图:本题主要考查二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，难度中等偏上.

25.解析:(1)173；

100X10+170X10+250X10…,十土、

解答提示:平均数：------------------------«173(千克);

30

(2)2.9；

173

解答提示:匕。2.9倍;

60

（3）由小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图知，第1个10天的分出量最分散、第3个

10天分出量最为集中，所以从图中可知S：>s；>s；；

考查内容：用样本估计总体；加权平均数；方差.

命题意图：本题主要考查方差的意义，平均数，以及数据的分析处理，难度中等偏上.

26.解析：解：（1）当尸0时，产c,即抛物线必过（0,c）,；X=%=。，抛物线的对称轴为x=l,

点例，N关于x=l对称，又•.•王.•.%=（）,

y入）一L

（2）由题意知，a>0,...抛物线开口向上：抛物线的对称轴为％=，，x,<x2

情况1：当x）,x2都位于对称轴右侧时，即当当N/时-，％<力恒成立

情况2：当x„x,都位于对称轴左侧时，即xt<t,x2<t时，必<以恒不成立

情况3：当为,々位于对称轴两侧时，即当当<>，时，要使X<%，必有一4〈四一/|，即

,,33

（苞一/）-<（%2-，）-，解得玉+工2>2/,；.322/,.」〈/综上所述，t<^.

考查内容：二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征.

命题意图：本题主要考查用分类讨论的思想及数形结合思想讨论二次函数图象的性质，难度中等偏上.

27.解析：（1）•.•。是AB的中点，E是线段AC的中点，...DE为AABC的中位线，且C£=AE=a,.'.OE

J_

//BC,DE=2BCVZACB=90