北京各区中考数学07-11综合压轴题解析汇总经典

北京中考数学一几何、二次函数综合题压轴题解析汇总

25、（2007•北京）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义:

至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；

（2）如图，在AABC中，点D,E分别在AB,AC上，设CD,BE相交于点0,

若NA=60。，NDCB=NEBC=*NA.请你写出图中一个与NA相等的角，并猜想图中哪个四边形

是等对边四边形；

（3）在4ABC中，如果NA是不等于60。的锐角，点D,E分别在AB,AC上，且

NDCB=NEBC=/NA.探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.

点评：解决本题的关键是理解等对边四边形的定义，把证明BD=CE的问题转化为证明三角形

全等的问题

25>（2008•北京）请阅读下列材料:

问题：如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A,B,E在同一条直线上，P是线段DE的中

点，连接PG,PC.若NABC=NBEF=60°,探究PG与PC的位置关系及等的值.

小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H,构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.请

你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及提的值；

（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD

的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）.僚（1）中得到的两个结论

是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；

（3）若图1中NABC=/BEF=2a（0°VaV90°）,樱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原

问题中的其他条件不变，请你直接写出院的值（用含a的式子表示）.

点评：本题是一道探究性的几何综合题，主要考查菱形的性质，全等三角形的判定及三角函

数的综合运用.

24、（2009•北京）在平行四边形ABCD中，过点C作CELCD交AD于点E,将线段EC绕点E

逆时针旋转90。得到线段EF（如图1）

（1）在图1中画图探究：

①当P为射线CD上任意一点（Pi不与C重合）时，连接EPi；绕点E逆时针旋转90。得到线

段EG1.判断直线FGi与直线CD的位置关系，并加以证明；

②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连接EP2,将线段EP2绕点E逆时针旋转90。得到

线段EC2.判断直线JC2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.

（2）若AD=6,tanB寺AE=1,在①的条件下，设CP】=x,求y与x之间的函数关

系式，并写出自变量x的取值范围.

G

点评：本题着重考查了二次函数解、图形旋转变换、三角形全等、探究垂直的构成情况等重

要知识点，综合性强，能力要求较高.考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法.

25、（2010•北京）问题：已知aABC中,NBAC=2NACB,点D是4ABC内的一点，且AD=CD,

BD=BA.探究NDBC与NABC度数的比值.

请你完成卜列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.

（1）当NBAC=90°时,依问题中的条件补全右图；

观察图形，AB与AC的数量关系为；当推出NDAC=15°时，可进一步推出NDBC的度

数为；可得到NDBC与NABC度数的比值为:

（2）当NBACV90。时，请你画出图形，研究NDBC与NABC度数的比值是否与（1）中的结

论相同，写出你的猜想并加以证明.

腰三角形的性质知NBAD=NBDA=75°,再根据三角形内角和是180。，找出图中角的等量关系,

解答即可；

（2）根据旋转的性质，作NKCA=NBAC,过B点作BK〃AC交CK于点K,连接DK,构建四

边形ABKC是是等腰梯形，根据已知条件证明aKCD丝4BAD（SAS）,再证明△DKB是正三角

形，最后根据是等腰梯形与正三角形的性质，求得/ABC与NDBC的度数并求出比值.

解答：解：（1）①当NBAC=90°时，

VZBAC=2ZACB,

:.ZACB=45°,

SAABC中，ZABC=180°-ZACB-ZBAC=45°,

二NACB=NABC,

.,.AB=AC（等角对等边）;

②当NDAC=15°时，

ZDAB=90°-15°=75°,

/.ZBAD=ZBDA=75°,

:.ZDBA=180°-75°-75°=30°,

/.ZDBC=45°-30°=15°,即NDBC=15°,

AZDBC的度数为15°；

③：NDBC=15°,ZABC=45°,

AZDBC=15°：ZABC=45°=1：3,

ZDBC与NABC度数的比值为1：3.

(2)猜想：NDBC与NABC度数的比值与(1)中结论相同.

证明：如图2,作NKCA=/BAC,过B点作BK〃AC交CK于点K,连接DK.

，四边形ABKC是等腰梯形，

/.CK=AB,

VDC=DA,

，ZDCA=ZDAC,

■:ZKCA=ZBAC,

，ZKCD=Z3,

，AKCD^ABAD,

，N2=N4,KD=BD,

.*.KD=BD=BA=KC.

•；BK〃AC,

，NACB=N6,

ZKCA=2ZACB,

,Z5=ZACB,

，Z5=Z6,

，KC=KB,

/.KD=BD=KB,

，ZKBD=60°,

NACB=N6=60°-Zl,

ZBAC=2ZACB=120°-2Z1,

VZ1+(60°-Zl)+(120°-2Z1)+Z2=180°,

.♦.N2=2N1,

二ZDBC与NABC度数的比值为1：3.

点评：本题综合考查了是等腰梯形的判定与性质、正三角形的性质、全等三角形的判定以及

三角形的内角和.

24、（2011•北京）在小BCD中，NBAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.

（1）在图1中证明CE=CF；

（2）若NABC=90°,G是EF的中点（如图2）,直接写出NBDG的度数；

（3）若NABC=120°,FG〃CE,FG=CE,分别连接DB、DG（如图3）,求NBDG的度数.

（2008海淀一模）23、已知：如图，AC是。0的直径，AB是弦，MN是过点A的直线，AB

等于半径长.

（1）若NBAC=2NBAN,求证：MN是。0的切线.

（2）在（1）成立的条件下，当点E是通的中点时，在AN上截取AD=AB,连接BD、BE、

DE,求证：ABED是等边三角形.

（2008海淀一模）25、已知：如图，一块三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的AB边上,

并且使一条直角边经过点C,三角板的另一条直角边与AD交于点Q.

（1）请你写出此时图形中成立的一个结论（任选一个）.

（2）当点P满足什么条件时，有AQ+BC=CQ?请证明你的结论.

（3）当点Q在AD的什么位置时，可证得PC=3PQ?并写出论证的过程.

种情况讨论即可求解.

形的判定与性质；正方形的性质。

(2008海淀二模)23、已知：4ABC.

(1)如果AB=AC,D、E是AB、AC上的点，若AD=AE,请你写出此图中的另一组相等的线段;

(2)如果AB>AC,D、E是AB、AC上的点，若BD=CE,请你确定DE与BC的数量关系，并

证明你的结论.

点评：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、三角形的三边

关系.能够巧妙构造全等三角形是解决此题的关键.

(2008海淀二模)25、根据所给的图形解答下列问题：

(1)如图1,ZiABC中，AB=AC,ZBAC=90°,ADLBC于D,把4ABD绕点A旋转，并拼接

成一个与4ABC面积相等的正方形，请你在图中完成这个作图；

(2)如图2,AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,请你设计一种与(1)不同的方法，将这个三

角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形，画出利用这个三角形得到的正方形；

(3)设计一种方法把图3中的矩形ABCD拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形，请你依

据此矩形画出正方形，并根据你所画的图形，证明正方形面积等于矩形ABCD的面积的结

(2009海淀一模)24、在课外小组活动时，小慧拿来一道题(原问题)和小东、小明交流.

原问题：如图1,已知aABC,NACB=90°,NABC=45°,分别以AB、BC为边向外作AABD与

△BCE,且DA=DB,EB=EC,NADB=NBEC=90°,连接DE交AB于点F.探究线段DF与EF的

数量关系.

小慧同学的思路是：过点D作DGLAB于G,构造全等三角形，通过推理使问题得解.

小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是NABC=30°,NADB=NBEC=60度.

小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.

请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：

(1)写出原问题中DF与EF的数量关系；

(2)如图2,若NABC=30°,ZADB=ZBEC=60°,原问题中的其他条件不变，你在(1)中得

到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；

(3)如图3,若NADB=NBEC=2NABC,原问题中的其他条件不变，你在(1)中得到的结论

是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.

VDA=DB,EB=EC,

/.AH=BH,Z1=ZHDB,

CK=BK,Z2=ZBEK.

.•.HK〃AC.

...点H、K、E在同一条直线上.

下同证法一.

点评：此题考查了全等三角形的判定和性质；等边三角形的性质的性质及直角三角形的性质

等知识点，在做题时要注意隐含条件的运用.

（2009海淀二模）25、已知：在四边形ABCD中，AD〃BC,NBAC=ND,点E、F分别在BC、

CD上，且NAEF=NACD,试探究AE与EF之间的数量关系.

（1）如图1,若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数量关系是什么；

（2）如图2,若AB=BC,你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明；

（3）如图3,若AB=kBC,你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想不用证明.

（2010海淀一模）25、已知：ZXA0B中，AB=OB=2,AC0D中，CD=OC=3,ZAB0=ZDC0.连

接AD、BC,点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.

（1）如图1,若A、0、C三点在同一直线上，且NABO=60。，则4PMN的形状是,

此时器=.

（2）如图2,若A、0、C三点在同一直线上，且NAB0=2a,证明△PMNs/\BA0,并计算豁

的值（用含a的式子表示）；

（3）在图2中，固定aAOB,将aCOD绕点0旋转，直接写出PM的最大值.

CD

图1图2

BA

(2008西城一模)

25.如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，NFMH=120°,MH与六边形外角的平分线BQ

交于点H.

(1)当点M不与点A、B重合时，求证：ZAFM=ZBMH.

(2)当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动(点M不与点B重合)时，猜想FM与MH的数

量关系，并对猜想的结果加以证明.

考点:正多边形和圆;全等三角形的判定与性质.

专题:探究型.

分析:(1)先有正多边形的内角和定理得出六边形ABCDEF内角的度数，再根据NFMH=120°,

A、M、B在一条直线上，再根据三角形内角和定理即可得出结论；

(2)①当点M与点A重合时，ZFMB=120°,MB与BQ的交点H与点B重合，故可直接得出

结论；

②当点M与点A不重合时，连接FB并延长到G,使BG=BH,连接MG,由全等三角形的判定定

理可得出△MBHgaMBG,再根据全等三角形的性质即可得出结论.

解答:(1)证明：六边形ABCDEF为正六边形，

,每个内角均为120°.

VZFMH=120°,A、M、B在一条直线上，

ZAFM+ZFMA=ZFMA+ZBMH=60°,

；.NAFM=NBMH.

(2)解：猜想：FM=MH.

证明：①当点M与点A重合时，ZFMB=120°,MB与BQ的交点H与点B重合，有FM=MH.

②当点M与点A不重合时，

ED

证法一：如图1,连接FB并延长到G,使BG=BH,连接MG.

VZBAF=120°,AF=AB,

/.ZAFB=ZFBA=30°.

V{BU=BGZMBH=ZMBGMB=MB,

...NMHB=NMGB,MH=MG,

VZAFM=ZBMH,ZHMB+ZMHB=30°,

NAFM+NMGB=30°,

VZAFM+ZMFB=30°,

/.ZMFB=ZMGB.

.*.FM=MG=MH.

证法二：如图2,在AF上截取FP=MB,连接PM.图2

VAF=AB,FP=MB,

；.PA=AM

,/ZA=120°,

.\ZAPM=12X(180°-120°)=30°,

有NFPM=150°,

〈BQ平分NCBN,

.•.ZMBQ=120°+30°=150°,

:.ZFPM=ZMBH,

由⑴知NPFM=NHMB,

.,.△FPM^AMBIL

/.FM=MH.

点严：本题考查的是正多边形和圆，涉及到正多边形的内角和定理、全等三角形的判定与性

质、三角形内角和定理，涉及面较广，难度较大.

（2008西城二模）

25.设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P,

(1)证明：PC=2AQ.

(2)当点F为BC的中点时，试比较APFC和梯形APCQ面积的大小关系，并对你的结论加以

证明.

考占.相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;平行四边形的性质;梯形.

专题:几何综合题.

分析:(1)延长DE,CB,相交于点R,作BM〃PC,交DR于点M.根据题意得NAQE=NEMB,

可证得AAEQ丝aBEM,AAED^ABER.则AD=BR=BC,再根据BM〃PC,证出△RBMs^RCP,即

可得出PC=2AQ.

(2)作BN〃AF,交RD于点N，则4RBNsaRFP.则BN/PF=RB/RF=2/3.还可证明aBNEg△APE.根

(1)证明:

VAQ/7PC,BM〃PC,

/.MB//AQ.

，ZAQE=ZEMB

是AB的中点，D、E、R三点共线，/.AE=EB,ZAEQ=ZBEM.

/.△AEQ^ABEM.

/.AQ=BM.

同理AAED丝ABER.

/.AD=BR=BC.

：BM〃PC,

/.RBM^ARCP,相似比是1：2.

PC=2MB=2AQ.

证法二：连接AC,交PQ于点K,易证△AKEsaCKD,

/.AE/DC=AK/KC=l/2.

•；AQ〃PC.

••,△AKQ^ACKP.

VAK/KC=l/2,

AAQ/PC=l/2,

即PC=2AQ.

(2)解：SAPFC=S梯形APCQ.

作BN〃AF,交RD于点N.

AARBN^ARFP.

•••F是BC的中点，RB=BC,

，RB=2/3RF.

，BN/PF=RB/RF=2/3.

易证aBNE会AAPE.

，AP=BN.

，AP=2/3PF.

因PFC(视PC为底)与梯形APCQ的高的比等于APFC与△PQC中PC边上的高的比，

易知等于PF与AP的比，于是可设△PFC中PC边上的高hi=3k,梯形APCQ的高hz=2k.再设

AQ=a,则PC=2a.

/.SAPFC=l/2X2ahl=3ka,S梯形APCQ=l/2(AQ+PC)h2=l/2(a+2a)・2k=3ka.

因此SAPFC=S梯形APCQ.

点淬：本题是一道综合性很强的题目，考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定

和性质以及平行四边形和梯形的性质，难度较大.

(2009西城一模)

25.已知：PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.

(1)如图，当NAPB=45°时，求AB及PD的长;

(2)当NAPB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应NAPB的大小.

考点:解直角三角形;正方形的性质.

专题:计算题.

分析:(1)作辅助线，过点A作AEJ_PB于点E,在RtZXPAE中，已知NAPE,AP的值，根据

三角函数可将AE,PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在RtZXABE中，根据勾股定理可

将AB的值求出；

求PD的值有两种解法，解法一：可将4PAD绕点A顺时针旋转90°得到APYB,可得

△PADgZ\P'AB,求PD长即为求P'B的长，在Rtz^AP'P中可将PP'的值求出，在Rt^PP'B

中，根据勾股定理可将P'B的值求出；

解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F,交PB于G,在Rt^AEG中，可求出

AG,EG的长，进而可知PG的值，在Rt^PFG中,可求出PF,在RtaPDF中,根据勾股定理

可将PD的值求出；

(2)将4PAD绕点A顺时针旋转90°,得到△P'AB,PD的最大值即为P'B的最大值，故当

P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值，根据P'B=PP'+PB可求P'B的最大值，此时

ZAPB=180°-ZAPP)=135°.

D

/

解答:解：(1)①如图，作AE±PB于点E,EB

「△APE中，ZAPE=45°,PA=2,

，AE=PE=2X22=1,

VPB=4,/.BE=PB-PE=3,

在Rt^ABE中，ZAEB=90°,

.\AB=AE2+BE2=10.

②解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将

△PAD绕点A顺时针旋转90°得到APYB,

可得△PADgAP'AB,PD=P'B,PA=P'A.

/.ZPAP,=90°,NAPP'=45°,NP'PB=90°

Z.PP/=2PA=2,

/.PD=P/B=PP'2+PB2=22+42=25；

解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F,设DA的

延长线交PB于G.

在Rt^AEG中，

可得AG=AEcosNEAG=AEcosNABE=103,EG=13,PG=PE-EG=23.

在RtZ\PFG中，

可得PF=PG・cosNFPG=PG・cosNABE=105,FG=1015.

在RtZ\PDF中，可得，

PD=PF2+(AD+AG+FG)2=(105)2+(10+1015+103)2=25.

(2)如图所示，将4PAD绕点A顺时针旋转90。

得到AP'AB,PD的最大值即为P'B的最大值，

•.,△P'PB中，P'B<PP'+PB,PP'=2PA=2,PB=4,

且P、D两点落在直线AB的两侧，

.,.当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值(如图)

D

C

此时P'B=PP'+PB=6,即P'B的最大值为6.

此时NAPB=180°-NAPP'=135度.

点评：考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力，在解

题过称中要求学生充分发挥想象空间，确定P'B取得最大值时点P'的位置.

(2009年西城区抽样测试)

25.4ABC是等边三角形，P为平面内一个动点，BP=BA,若0°VNPBCV180°,且NPBC的

平分线上一点D满足DB=DA,

(1)当BP和BA重合时(如图1),ZBPD=；

(2)当BP在NABC内部时(如图2),求NBPD；

(3)当BP在NABC外部时，请直接写出NBPD,并画出相应的图形.

图1图2

考点:等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质.

专题:动点型.

分析:(1)由于P,A重合，DP=DB,ZDBP=ZDPB,因为DB是NPBC的平分线，因此，

ZDBP=ZDPB=30°；

(2)本题可通过构建全等三角形来求解.连接CD,BP=BC,BD又是NPBC的平分线，三角

形PBD和CBD中又有一公共边，因此两三角形全等，NBPD=NBCD,那么关键是求NBCD的

值，那么我们就要看NBCD和NACB的关系了，可通过证明三角形ACD和BCD全等来得出，这

两个三角形中，BD=AD,BC=AC,有一条公共边CD因此NBCD=NACD=30°,那么就求出NBPD

的度数了；

(3)同(2)的证法完全一样，步骤有2个，一是得出NBCD的度数，二是证明三角形BPD

和BCD全等，同(2)完全一样.

(当NBPD是钝角时，NBPD=NBCD=(360-60)4-2=150°,还是用的(2)中的三角形BPD,

BCD全等,BCD,ACD全等)

解答:解：(1)NBPD=30°；

p

(2)如图，连接CD,图2

•.•点D在NPBC的平分线上

/.ZPBD=ZCBD

♦.•△ABC是等边三角形

/.BA=BC=AC,ZACB=60°

BP=BA

.\BP=BC

BD=BD

.,.△PBD^ACBD

ZBPD=ZBCD

VDB=DA,BC=AC,CD=CD

/.△BCD^AACD

ZBCD=ZACD=12ZACB=30°

...NBPD=30°；

故填30°.

点淬：本题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质；通过全等三角形得出角相

等是解题的关键.

2010西城一模

24.如图1,在平行四边形ABCD中，AELBC于点E,E恰为BC的中点，tanB=2.

(1)求证：AD=AE；

(2)如图2,点P在线段BE上，作EFJ_DP于点F,连接AF,求证：DF-EFSAF；

(3)请你在图3中画图探究：当P为线段EC上任意一点(P不与点E重合)时，作EF垂直

直线DP,垂足为点F,连接AF,线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结

论.

考点:平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质.

专题:证明题;探究型.

分析:(1)首先根据NB的正切值知：AE=2BE,而E是BC的中点，结合平行四边形的对边

相等即可得证.

(2)此题要通过构造全等三角形来求解；作GA_LAF,交BD于G,通过证△AFEgAAGD,来

得到4AFG是等腰直角三角形且EF=GD,由此得证.

(3)辅助线作法和解法同(2),只不过结论有所不同而已.

解答:(1)证明：VtanB=2,

，AE=2BE；

•；E是BC中点，

/.BC=2BE,

即AE=BC；

又四边形ABCD是平行四边形，则AD=BC=AE；

(2)证明：作AGLAF,交DP于G；(如图2)

VAD/7BC,

/.ZD=ZDPC；

VZAEP=ZEFP=90°,

：.ZPEF+ZEPF=ZPEF+ZAEF=90°,

即ND=NAEF=NFPE；

又：AE=AD,ZFAE=ZGAD=900-ZEAG,

.,.△AFE^AAGD,

；.AF=AG,即4AFG是等腰直角三角形,且EF=DG；

Z.FG=V2AF,且DF=DG+GF=EF+FG,

故DF-EF=V2AF；

(3)解：如图3,①当EPW2BC时，DF+EF=&AF,解法同(2).

②当EP>2BC时，EF-DF=V2AF.

点评.•此题主要考查的是平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，难度适中，正确

地构造出全等三角形是解答此题的关键.

2010西城二模

24.在4ABC中，点P为BC的中点.

图1图2

(1)如图1,求证：AP<\(AB+AC)；

(2)延长AB到D,使得BD=AC,延长AC到E,使得CE=AB,连接DE.

①如图2,连接BE,若NBAC=60°,请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系.写出你的

结论，并加以证明；

1

②请在图3中证明：BCdDE.

考点:平行四边形的判定与性质;三角形三边关系;全等三角形的判定与性质;等边三角形

的性质;三角形中位线定理.

专题:分类讨论.

分析:(1)可通过构建平行四边形求解；延长AP至H,使PH=AP；则AH、BC互相平分，R

边形ABHC是平行四边形；在△ACH中，由三角形三边关系定理知:AH<AC+CH,而HC=AB,AH=2AP,

等量代换后即可证得所求的结论；

(2)①可按照(1)题的思路求解；过B作AE的平行线，交DE于H,连接AH、CH；易知

AD=AE,若NBAC=60°,则AADE是等边三角形，易证得△DBH也是等边三角形，此时DB=BH=AC,

则四边形ABHC的一组对边平行且相等，则四边形ABHC是平行四边形；由此可证得P是平行

四边形ABHC对角线的交点，且AH=2AP；下面可通过证4DBE丝ADHA得出AH=DE,从而得出

DE=2AP的结论；

②分两种情况：

一、AB=AC时，由题意易知AB=AC=BD=CE,则BC是三角形ADE的中位线，此时DE=2BC；

二、ABWAC时，仿照①的思路，可以BC、BD为边作平行四边形DBCG,连接GE；易证得

△ABC^ACEG,则AB=GE；而根据平行四边形的性质易知BC=DG,那么在等腰4DGE中，DG=GE,

根据三角形三边关系定理知：DG+GE>DE,即2BODE；

综合上述两种情况即可证得所求的结论.

BP=PC；

四边形ABHC是平行四边形;

/.AB=HC；

在△ACH中，AHVHC+AC；

.♦.2APVAB+AC；

即AP<*(AB+AC)

(2)①答：BE=2AP.

证明：过B作BH〃AE交DE于H,连接CH、AH；

•,.Zl=ZBAC=60°；

VDB=AC,AB=CE,

/.AD=AE,

AAAED是等边三角形，

/.ZD=Zl=Z2=ZAED=60o；

/.△BDH是等边三角形；

，BD=DH=BH=AC；

，四边形ABHC是平行四边形；

••,点P是BC的中点，

，AH、BC互相平分于点P,即AH=2AP；

在aADH和4EDB中，｛AD=EDZD=ZDDH=DB；

/.△ADH^AEDB；

.*.AH=BE=2AP；

②证明：分两种情况：

i)当AB=AC时,

/.AB=AC=DB=CE；

，BCmDE；

ii)当ABWAC时,

以BD、BC为一组邻边作平行四边形BDGC(如图)

ADB=GC=AC,ZBAC=Z1,BC=DG,

VAB=CE；

AAABC^ACEG；

/.BC=EG=DG；

在ADGE中，DG+GE>DE；

.\2BODE,BPBOjDE；

综上所述，BC》/DE.

，点淬：此题考查了三角形三边关系定理、等腰三角形的性质、平行四边形的性质、全等三角

形的判定和性质，综合性强，难度较大.

2008东城一模

25.已知aABC中，AB=AC=3,ZBAC=90°,点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的

直角顶点放在D处.

（1）如图①，若BD=CD,将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点

F,求出重叠部分AEDF的面积（直接写出结果）.

（2）如图②，若BD=CD,将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直

角边交AB的延长线于点F,设AE=x,重叠部分的面积为y,求出y与x的函数关系式，并写

出自变量x的取值范围.

（3）若BD=2CD,将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F,另一条直角边交

射线AB于点E.设CF=x（x>l）,重叠部分的面积为y,求出y与x的函数关系式，并写出

自变量x的取值范围.

考点:相似三角形的判定与性质;根据实际问题列次函数关系式;全等三角形的判定与性

匝；等腰直角三角形;旋转的性质.

分析:（1）由旋转的性质可得出重叠部分AEDF的面积等于三角形ABC面积的一半.

(2)过点D作DM_LAB,则y)BE・DM§(3-x)•.|=|(3-x)(0WxW3且x#.).

（3）分两种情况：①如图①，连接AD,过点D分别作AB、AC的垂线，垂足为M,N.则y

(1VXW2)；

②如图②，过点D作AC的垂线，垂足为N,则y=9/2-4x（2Vx<3）.

解筝解：⑴S四边形AEDF*.

(2)过点D作DM_LAB,垂足为点M,y=/BE・DM=4(3-x)•.|=|(3-x)(0WxW3且xW。).

(3)①如图①，连接AD,过点D分别作AB、AC的垂线，垂足为M,N.

VAB=AC=3,ZBAC=90°,

/.BC=3V2.

VBD=2CD,_

，BD=2我，CEh/2.

易得DN=1,DM=2,

易证N1=N2,

VZDME=ZDNF=90°,

/.△DME^ADNF.

/.ME/FN=DM/DN.

.,.ME=2(x-1).

/.AE=2(x-1)+l=2x-l.

Ay=SAADE+SAADF4(2x-l)・2弓(3-x)・l=^|x耳(1VXW2).

②如图②，过点D作AC的垂线，垂足为N,

VAB=AC=3,ZBAC=90°,

/.BC=3V2.__

VBD=2CD,，BD=2a,CD

易得DN=1,/.y=SAABC-SACDF=9/2-1=9/2-1x(2<x<3).

.,.y=(lVx<2)

19/2-；x(2VxW3)

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质以及根

据实际问题列一次函数的关系式.

2009东城一模

25.请阅读下列材料：

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.即如图1,若弦AB、CD交于点P,

则PA・PB=PC・PD.请你根据以上材料，解决下列问题.

的切线m和n,作PQ，m于点Q,PR，n于点R.(如图2)

(1)若AC恰经过圆心0,请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：1/PQ+1/PR的值；

(2)若0P_LAC,请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：1/PQ+1/PR的值；

(3)若AC是过点P的任一弦(图2),请你结合(1)(2)的结论，猜想：1/PQ+1/PR的值,

并给出证明.

考点:相交弦定理;相似三角形的判定与性质.

专题:阅读型.

分析:(1)由于AC过圆心，那么Q,A重合，R,C重合，可根据0P和半径的长求出PA,PC

的长，即PQ,PR的长.由此可得出所求的结论；

(2)连接0A,不难得出0A〃PQ,那么可得出N0AP=NAPQ,可先在直角三角形0AP中，求出

N0AP的度数和AP的长，进而可在直角三角形APQ中求出PQ的长，同理可求出PR的长，即

可求出所求的结论；(本题还可通过证4ADP和4PAQ相似，得出1/PQ的值，同理可连接CD

得出1/PR的值)

(3)本题要通过相似三角形来求解.过点A作直径交。0于点E,连接EC,通过相似三角形

△AEC^APAQ,得出关于AC,PQ,AE,AP的比例关系式，同理可求出AC,PR,AE,PC的比

例关系式，两式联立可得出1/PQ+1/PR的表达式，然后根据相交弦定理即可证得所求的结论.

(第二种证法和(2)的第二种求法完全相同.)

.,.AC_Lm于点A,AC_Ln于点C.

.♦.Q与A重合，R与C重合.

V0P=l,AC=4,

/.l/PQ+l/PR=l+l/3=4/3.

(2)连接0A,

m

o

R

,.,OP_LAC于点P,且OP=1,0A=2,

/.Z0AP=30°.

.*.AP=73.

•.•OA_L直线m,PQJ_直线m,

AOAZ/PQ,ZPQA=90°.

AZAPQ=Z0AP=30°.

.*.AP=V3.

♦.•OA,直线m,PQLF直线m,

/.OA//PQ,ZPQA=90°.

，NAPQ=N0AP=30°.

在RtZXAQP中，PQ=3/2,同理，PR=3/2,

/.l/PQ+l/PR=2/3+2/3=4/3.

(3)猜想l/PQ+l/PR=4/3.

证明：过点A作直径交。0于点E,连接EC,

.,.ZECA=90°.

•••AE_L直线m,PQ,直线，

，AE〃PQ且NPQA=90°.

AZEAC=ZAPQ.

,••△AEC^APAQ.

...AC/PQ=AE/AP①

同理可得：AC/PR=AE/PC②

①+②，得：

AC/PQ+AC/PR=AE/AP+AE/PC

/.1/PQ+1/PR=AE/AC(1/AP+l/PC)

=(AE/AC)•(PC+AP)/(AP・PC)=AE/(AP«PC).

过P作直径交。0于M,N,

根据阅读材料可知：AP・PC=PM・PN=3,

，l/PQ+l/PR=4/3.

点淬：本题主要考查了相似三角形和相交弦定理的应用，根据相似三角形得出与所求相关的

线段成比例是解题的关键.

2009东城二模

25.如图,在直角梯形ABCD中,AD〃BC,DC±BC,AB=10,AD=6,DC=8,BC=12,点E在下底

边BC上，点F在AB上.

(1)若EF平分直角梯形ABCD的周长，设BE的长为x,试用含x的代数式表示4BEF的面积;

(2)是否存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长;

若不存在，请说明理由；

(3)若线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1：2两部分，将aBEF的面积记为S,,五边形

AFECD的面积记为S2,且S1：S2=K求出k的最大值.

考点:二次函数综合题;直角梯形;相似三角形的判定与性质.

专题:综合题;开放型.

分析:(1)由已知，得梯形周长=36,高=8,面积=72.用含x的代数式表示4BEF的面积，

只需求FG即可；

(2)根据函数关系式无解，知不存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分.

(3)由已知易知，线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1：2两部分，只能是FB+BE与

FA+AD+DC+CE的比是1：2,则有k=Si：S2=S1/(72-S1),要使k取最大值，只需＞取最大值,

根据S△眠=l/2BE・FG=-2/5x2+36/5x(8WxW12),求出S1取最大值72/5.得出k的最大值是

1/4.

解答:

解：(1)由已知，得梯形周长=36,高=8,面积=72.

过点F作FG±BC于点G,过点A作AK±BC于点K,

则△BFGSABAK

可得FG=4/5(18-x)

S△砥=1/2BE・FG=-2/5x2+36/5x(8WxW12)(3分)

(2)不存在.(4分)

由⑴-2/5X2+36/5x=36,

整理得：(x-9)2=-9,此方程无解.(5分)

不存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分.

(3)由已知易知，线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1：2两部分，只能是FB+BE与

FA+AD+DC+CE的比是1：2.(6分)

k=S1；Sz=Sl/(72-Sl)要使k取最大值,只需S1取最大值.

与(1)同理，FG=4/5(12-x)Si=l/2BE*FG=-2/5x2+24/5x(2WxV12),

当x=6时,，取最大值7/25.此时k=l/4

，k的最大值是1/4.(8分)

点浮：本题结合直角梯形的性质考查二次函数的综合应用，注意此题三角形边与面积，梯形

周长，高，面积相互间的关系.

2010东城一模

25.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点M,正方形MNPQ与正方形ABCD全等，射

线MN与MQ不过A、B、C、D四点且分别交

ABCD的边于E、F两点,

(1)求证：ME=MF；

(2)若将原题中的正方形改为矩形，且BC=2AB=4,其他条件不变，探索线段ME与线段MF

的数量关系.

考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.

专题:几何综九题.

分析.•(1)求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等；故M分别作MGLBC于G,MH±CD

于H,易得MG=MH,而NEMG、NFMH都是NGMF的余角，由此可证得NEMG=NFMH,即可证得

△MGE^AMHF,由此得证.

(2)此题要分四种情况讨论：

①当MN交BC于点E,MQ交CD于点F时-；此种情况与(1)类似，不同的是(1)题用到的

是全等，而此题运用的是相似，过点M作MG1BC于点G,MH±CD于点H,通过证△MGEs^MHF,

得到关于ME、MF、MG、MH的比例关系式，联立矩形的性质及BC、AB的比例关系，即可求得

ME、MF的比例关系；

②当MN的延长线交AB于点E,MQ交BC于点F时一.解法同①；

③当MN、MQ两边都交边BC于E、F时，过M作MH_LBC于H,由于M是AC的中点，且已知AB

的长，即可求得MH=1,在Rt^EMF中，MH1EF,易证得△MEHsaFEM,AFMH^AFEM.可得

ME/FE=MH/FM,FM/FE=MH/EM.将MH=1代入上述两式，然后联立勾股定理即可得到ME、MF的

关系式；

④当MN交BC边于E点，MQ交AD于点F时.可延长EM交BC于G,易证得△MEDgZ\MGB,即

可得ME=MG,那么这种情况下与③完全相同，即可得解.

(1)证明：过点M作MGLBC于点G,MHLCD于点H.

AZMGE=ZMHF=90°.

•••M为正方形对角线AC、BD的交点，，MG=MH.

XVZ1+ZGMQ=Z2+ZGMQ=9O°,

AZ1=Z2.

在4MGE和△MHF中

Z1=Z2,

MG=MH,

ZMGE=ZMHF.

，ME=MF.（3分）

A

B

(2)解：①当MN交BC于点E,MQ交CD于点F时.

过点M作MGLBC于点G,MHLCD于点H.

AZMGE=ZMHF=90°.

VM为矩形对角线AC、BD的交点，

AZl+ZGMQ=Z2+ZGMQ=90°.

.*.Z1=Z2,

在aMGE和△MHF中，

Z1=Z2

ZMGE=ZMHF

.,.ME/MF=MG/MH.

••'M为矩形对角线AB、AC的交点，，MB=MD=MC

XVMG±BC,MH±CD,.•.点G、H分别是BC、DC的中点.

VBC=2AB=4,

，MG=1/2AB,MH=1/2BC.

，ME/MF=l/2.（4分）

②当MN的延长线交AB于点E,MQ交BC于点F时一.

过点M作MG_LAB于点G,MH_LBC于点H.

/.ZMGE=ZMHF=90°.

:M为矩形对角线AC、BD的交点，

AZl+ZGMQ=Z2+ZGMQ=90°.

AZ1=Z2.

在4MGE和△MHF中，

Z1=Z2,

ZMGE=ZMHF.

.,.△MGE^AMUF.

/.ME/MF=MG/MH.

VM为矩形对角线AC、BD的交点，

，MB=MA=MC.

XVMG1AB,MH_LBC,.*.点G、H分别是AB、BC的中点.

VBC=2AB=4,.*.MG=1/2BC.MI1=1/2AB.

，ME/MF=2.(5分)

过点M作MH±BC于点H.

AZMHE=ZMHF=ZNMQ=90°.

.*.Z1=Z3,Z2=Z4.

AFMH^AFEM.

.\ME/FE=MH/FM,FM/FE=MH/EM.

:M为矩形对角线AC、BD的交点，

.•.点M为AC的中点.

XVMH±BC,

.•.点M、H分别是AC、BC的中点.

,/BC=2AB=4,

.\AB=2.

，1/ME=FM/(MH・EF)=FM/EF,1/MF=EM/(MH・EF)=EM/EF.

/.I/ME2+I/MF2=(FM2+EM2)/EF2=1.(6分)

④当MN交BC边于E点，MQ交AD于点F时.

延长FM交BC于点G.

易证AMED丝ZXMGB./.MF=MG.

同理由③得1/MG2+1/M£2=I.

/.1/ME2+1/MF2=1.(7分)

综上所述：ME与MF的数量关系是ME/MF=l/2或ME/MF=2或1/ME2+1/MF2=1.

点淬：此题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形、相似三角形的判定和性质以及勾股定

理等知识的综合应用；由于(2)题的情况较多，做到不漏解是此题的难点.

2010东城二模

25.已知，正方形ABCD的边长为1,直线L〃直线L,L与L之间的距离为1,L、h与正方

形ABCD的边总有交点.

(1)如图1,当LJ_AC于点A,LLAC交边DC、BC分别于E、F时，求aEFC的周长；

(2)把图1中的L与k同时向右平移x,得到图2,问4EFC与AAMN的周长的和是否随x

的变化而变化，若不变，求出aEFC与4AMN的周长的和；若变化，请说明理由；

(3)把图2中的正方形饶点A逆时针旋转a,得到图3,问AEFC与4AMN的周长的和是否

专题:证明题.

分析:(1)分别计算EF、EC、CF的长度，计算aEFC的周长即EF+EC+CF即可；

(2)WAAHM^AERP,AAHN丝4rGQ得AM=EP,HM=PR,AN=FQ,HN=GQ,可得AEFC与AAMN

的周长的和不随x的变化而变化.

(3)AAHM^AFSQ,△AHNgZ\ERP可得AM=FQ,HM=SQ,AN=EP,HN=RP.可以求得△EFC与

△AMN的周长的和为△CPQ的周长.

解答：鞭：(1)如图1,•••正方形ABCD的边长为1,

/•AC=V2.

又;直线L〃直线k,L与L之间的距离为1.

.\CG=V2-1._

，EF=2我-2,EC=CF=2-V2.

.,.△EFC的周长为EF+EC+CF=2；

(2)AEFC与aAMN的周长的和不随x的变化而变化.

如图2,把L、k向左平移相同的距离，

使得L过A点，即L平移到L,b平移到

过E、F分别做L的垂线，垂足为R,G.

可证△AHMgZiERP,AAHN^AFGQ.

，AM=EP,HM=PR,AN=FQ,HN=GQ.

...△EFC与4AMN的周长的和为aCPQ的周长，由已知可计算4CPQ的周长为2,

•••△EFC与4AMN的周长的和为2；

(3)AEFC与AAMN的周长的和不随a的变化而变化.

可证△AHMgAFSQ,AAHN^AERP,

，AM=FQ,HM=SQ,AN=EP,HN=RP.

.,.△EFC与aAMN的周长的和为△口＞£）的周长.

如图4,过A作％的垂线，垂足为T.连接AP、AQ.

可证AAPT丝AAPD,AAQT^AAQB,

，DP=PT,BQ=TQ.

/.△CPQ的周长为DP+PC+CQ+QB=DC+CB=2.

.,.△EFC与4AMN的周长的和为2.

点评：本题考查了正方形各边长相等的性质，正方形各内角为直角的性质，勾股定理在直角

三角形中的运用，几何变换类型题目的解决方法.

2011东城二模

24.如图1,在aABC中，AB=BC=5,AC=6.4ECD是aABC沿CB方向平移得到的，连接AE,

AC和BE相交于点0.

（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，并证明你的结论；

（2）如图2,P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接P0并延长交线段AE于点Q,

QR±BD,垂足为点R.

①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四

边形PQED的面积；

②当线段BP的长为何值时，以点P、Q、R为顶点的三角形与△B0C相似？

考占.相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;菱形的判定与性质;平移的性

质.

专题:证明题.

分析:（1）四边形ABCE是菱形.证明：’.•△ECD是aABC沿BC方向平移得到的，.,.EC〃AB,

EC=AB....四边形ABCE是平行四边形.又•.•AB=BC,.•.四边形ABCE是菱形.

（2）①由菱形的对称性知，△PBOgAQEO,可得由4ECD是由AABC平移得到的,

可得ED〃AC,ED=AC=6.又,.,BE_LAC,BE_LED,可得S四边畛I>（O=SAQEO+S四边彩POH）=SZ\PBO+Spq边彩

p哪=$,=1/2XBEXED=l/2X8X6=24.

②如图,是△OBP的外角,.\Z2>Z3.不与N3对应..，.N2与N1对应.即

Z2=Z1,.-.0P=0C=3.过0作OGLBC于G,则G为PC的中点.可证△OGCsaBOC.可得CG：

CO=CO：BC.从而可求解.

（1）四边形ABCE是菱形.

证明：•.•△ECD是4ABC