2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)

2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)第1页（共1页）2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷（理科）（二）（二模）一.选择部分：共计12小题，每小题5分，共60分1．（5分）若复数z满足2z+＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．（5分）已知全集为U，集合A，B为U的子集，若（∁UA）∩B＝∅，则A∩B＝（）A．∁UB B．∁UA C．B D．A3．（5分）“0＜m＜2”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充要条件 B．.充分不必要条件 C．.必要不充分条件 D．.既不充分也不必要条件4．（5分）平面内有2n个点（n≥2）等分圆周，从2n个点中任取3个，可构成直角三角形的概率为，连接这2n个点可构成正多边形，则此正多边形的边数为（）A．6 B．8 C．12 D．165．（5分）在等差数列{an}中，a1＝﹣9，a5＝﹣1．记Tn＝a1a2…an（n＝1，2，…），则数列{Tn}（）A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项6．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若m∥n，n∥α，则m∥α；③若m∥n，n⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∩n＝A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第1页。7．（5分）已知随机变量X，Y满足Y＝2X+3，Y的期望EY＝，X分布列为：2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第1页。X﹣101Pab则a，b的值分别为（）A．， B． C． D．8．（5分）已知直线y＝x+a与曲线的两个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2） B．（0，2） C． D．9．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则的最小值是（）A．4 B．2 C．2 D．210．（5分）在△ABC中，若，则△ABC是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形11．（5分）椭圆中以点M（2，1）为中点的弦所在的直线方程为（）A．4x+9y﹣17＝0 B．4x﹣9y﹣17＝0 C．x+3y﹣2﹣3＝0 D．x+3y﹣2+3＝012．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣x3与g（x）＝x3﹣ax的图象上存在关于x轴的对称点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e） B．（﹣∞，e] C． D．二.填空部分：每小题5分，共计4小题，总计20分13．（5分）已知平面向量，满足＝（1，），||＝3，⊥（﹣），则与夹角的余弦值为．14．（5分）已知数列{an}中，a1＝1，an＞0，前n项和为Sn．若，n≥2），则数列的前15项和为．15．（5分）对于m，n∈N+，关于下列结论正确的是．（1）；2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第2页。（2）；2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第2页。（3）；（4）．16．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，•＝0，则C的离心率为．三.解答部分：共计6小题，共计70分，除二选一10分外，其余每小题12分17．（12分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|＜）的图像过点，且相邻对称轴间的距离为．（1）求ω，φ的值；（2）已知△ABC的内角A，B，C所对边为a，b，c，若，且a＝2，求△ABC的面积最大值；18．（12分）近年来，随之物质生活水平的提高以及中国社会人口老龄化加速，家政服务市场规模逐年增长，下表为2017年﹣2021年中国家政服务市场规模及2022年家政服务规模预测数据（单位：百亿元）年份201720182019202020212022市场规模3544587088100（1）若2017﹣2021年对应的代码依次为1﹣5，根据2017年﹣2021年的数据，用户规模y关于年度代码的线性回归方程；（2）把2022年的年代代码6代入（1）中求得回归方程，若求出的用户规模与预测的用户规模误差上下不超过5%，则认为预测数据符合模型，试问预测数据是否符合回归模型？参考数据：＝59，xiyi＝1017，参考公式：＝，＝﹣．2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第3页。19．（12分）如图所示，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为8的正方形，∠APB＝90°，点E，F分别是DC，AP的中点．2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第3页。（1）证明：DF∥平面PBE；（2）若AB＝2PA，求直线BE与平面BDF所成角的正弦值．20．（12分）已知曲线C上任意一点到F（3，0）距离比它到直线x＝﹣5的距离小2，经过点F（3，0）的直线l的曲线C交于A，B两点．（1）求曲线C的方程；（2）若曲线C在点A，B处的切线交于点P，求△PAB面积最小值．21．（12分）已知函数f（x）＝ex+aln（﹣x）+1，f′（x）是其导数，其中a∈R．（1）若f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，求a的取值范围．（2）若不等式f（x）≤f′（x）对∀x∈（﹣∞，0）恒成立，求a的取值范围．22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为θ＝β（，ρ∈R）．（1）求曲线C的普通方程；（2）若曲线C与直线l交于A，B两点，且|OA|+|OB|＝3，求直线l的斜率．23．已知函数f（x）＝lg（|x﹣m|+|x﹣2|﹣3）（m∈R）．（1）当m＝1，求函数f（x）的定义域；（2）若不等式f（x）≥0对于R恒成立，求实数m的取值范围．2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第4页。

2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第4页。2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷（理科）（二）（二模）参考答案与试题解析一.选择部分：共计12小题，每小题5分，共60分1．（5分）若复数z满足2z+＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【分析】设出复数z，通过复数方程求解即可．【解答】解：复数z满足2z+＝3﹣2i，设z＝a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi＝3﹣2i．解得a＝1，b＝﹣2．z＝1﹣2i．故选：B．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．2．（5分）已知全集为U，集合A，B为U的子集，若（∁UA）∩B＝∅，则A∩B＝（）A．∁UB B．∁UA C．B D．A【分析】利用交集、子集的定义直接求解．【解答】解：因为（∁UA）∩B＝∅，所以B⊆A，所以A∩B＝B．故选：C．【点评】本题考查集合的运算，考查交集、子集的定义等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．3．（5分）“0＜m＜2”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充要条件 B．.充分不必要条件 C．.必要不充分条件 D．.既不充分也不必要条件2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第5页。【分析】首先求出方程表示焦点在x轴上的椭圆时m的取值范围，进而可根据充分必要条件的定义进行判断可得结论．2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第5页。【解答】解：若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得1＜m＜2，所以“0＜m＜2”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆“的必要不充分条件．故选：C．【点评】本题考查了椭圆的方程以及充分必要条件的判定，属于基础题．4．（5分）平面内有2n个点（n≥2）等分圆周，从2n个点中任取3个，可构成直角三角形的概率为，连接这2n个点可构成正多边形，则此正多边形的边数为（）A．6 B．8 C．12 D．16【分析】先求出从2n个点中任选3个点的种数，再根据三个点要构成直角三角形，则有2个点是直径的端点，求出从2n个点中任取3个，可构成直角三角形的种数，利用古典概型的概率公式即可求出n的值，进而确定正多边形的边数．【解答】解：从2n个点中任选3个点，共有种，三个点要构成直角三角形，则有2个点是直径的端点，共有＝n条直径，当取走2个点后，还剩（2n﹣2）个点，从（2n﹣2）个点中取1个点即可，共有种，所以P＝＝，解得n＝6，所以共有2n＝12个点，可形成12条边，所以正多边形边数为12，故选：C．【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了圆的几何性质，属于中档题．5．（5分）在等差数列{an}中，a1＝﹣9，a5＝﹣1．记Tn＝a1a2…an（n＝1，2，…），则数列{Tn}（）A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第6页。C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第6页。【分析】由已知求出等差数列的通项公式，分析可知数列{an}是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值，进一步分析得答案．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，由a1＝﹣9，a5＝﹣1，得d＝，∴an＝﹣9+2（n﹣1）＝2n﹣11．由an＝2n﹣11＝0，得n＝，而n∈N*，可知数列{an}是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．可知T1＝﹣9＜0，T2＝63＞0，T3＝﹣315＜0，T4＝945＞0为最大项，自T5起均小于0，且逐渐减小．∴数列{Tn}有最大项，无最小项．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的函数特性，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．6．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若m∥n，n∥α，则m∥α；③若m∥n，n⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∩n＝A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由线面平行的性质定理和线线垂直的性质，即可判断①；由线面的位置关系和线面平行的判定定理，即可判断②；由线面垂直的性质定理及面面垂直的性质定理，即可判断③；由面面平行的判定定理，即可判断④．【解答】解：对于①，假设n⊂β，α∩β＝l，因为n∥α，所以n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，而n∥l，所以m⊥n，正确；对于②，若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α，故错误；2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第7页。对于③，若m∥n，n⊥β，则m⊥β，又m∥α，所以在平面α内一定存在一条直线l，使m∥l，2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第7页。而m⊥β，所以l⊥β，l⊂α，则α⊥β，正确；对于④，由面面平行的判定定理，可以判断出是正确的．故真命题有3个．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断，主要是空间线线、线面和面面的位置关系的判断，注意运用线面和面面平行、垂直的判定定理和性质定理，考查推理能力和空间想象能力，属于中档题7．（5分）已知随机变量X，Y满足Y＝2X+3，Y的期望EY＝，X分布列为：X﹣101Pab则a，b的值分别为（）A．， B． C． D．【分析】根据已知条件，结合离散型随机变量分布列的性质，以及期望公式，即可求解．【解答】解：由分布列的性质可得，a+b＝①，E（X）＝＝b﹣，∵随机变量X，Y满足Y＝2X+3，Y的期望EY＝，∴E（Y）＝2E（X）+3＝②，联立①②解得，，b＝．故选：C．【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列的性质，以及期望公式，属于基础题．8．（5分）已知直线y＝x+a与曲线的两个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2） B．（0，2） C． D．【分析】根据直线和圆的位置关系即可得到结论．利用特殊位置进行研究即可．【解答】解：曲线线是以（0，0）为圆心，为半径位于x轴上方的半圆．2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第8页。当直线l过点A（﹣，0）时，直线l与曲线有两个不同的交点，2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第8页。此时0＝﹣+a，解得a＝．当直线l与曲线相切时，直线和圆有一个交点，圆心（0，0）到直线x﹣y+a＝0的距离d＝＝解得a＝2或﹣2（舍去），若曲线C和直线l有且仅有两个不同的交点，则直线l夹在两条直线之间，因此≤a＜2，故选：D．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，考查点到直线的距离公式的运用，考查学生的计算能力．9．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则的最小值是（）A．4 B．2 C．2 D．2【分析】由对数的运算性质，lg2x+lg8y＝lg2x+lg23y＝（x+3y）lg2，结合题意可得，x+3y＝1；【解答】解：lg2x+lg8y＝lg2x+lg23y＝（x+3y）lg2，又由lg2x+lg8y＝lg2，则x+3y＝1，进而由基本不等式的性质可得，＝（x+3y）（）＝2+≥4，故选：A．【点评】本题考查基本不等式的性质与对数的运算，注意基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1的代换．10．（5分）在△ABC中，若，则△ABC是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【分析】利用倍角公式降幂，再把B用A和C表示，然后利用两角和与差的余弦变形求解．2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第9页。【解答】解：由，得sinAsinC＝，2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第9页。则2sinAsinC＝1+cosB＝1﹣cos（A+C）＝1﹣cosAcosC+sinAsinC，∴cosAcosC+sinAsinC＝1，即cos（A﹣C）＝1．∵﹣π＜A﹣C＜π，∴A﹣C＝0，得A＝C．∴△ABC是等腰三角形．故选：C．【点评】本题考查三角形的形状判断，考查三角函数的恒等变换应用，是基础题．11．（5分）椭圆中以点M（2，1）为中点的弦所在的直线方程为（）A．4x+9y﹣17＝0 B．4x﹣9y﹣17＝0 C．x+3y﹣2﹣3＝0 D．x+3y﹣2+3＝0【分析】根据题意，先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率，然后求解直线方程．【解答】解：根据题意，设以点M（2，1）为中点弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减得可得：，又由点M（2，1）为AB的中点，则有x1+x2＝4，y1+y2＝2，则有＝﹣＝﹣，即以点M（2，1）为中点的弦所在直线斜率为﹣；直线方程为：y﹣1＝（x﹣2），即4x+9y﹣17＝0．故选：A．【点评】本题考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的关系．注意用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来．2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第10页。12．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣x3与g（x）＝x3﹣ax的图象上存在关于x轴的对称点，则实数a的取值范围为（）2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第10页。A．（﹣∞，e） B．（﹣∞，e] C． D．【分析】由题意可知f（x）＝﹣g（x）有解，即y＝lnx与y＝ax有交点，根据导数的几何意义，求出切点，结合图象，可知a的范围．【解答】解：函数f（x）＝lnx﹣x3与g（x）＝x3﹣ax的图象上存在关于x轴的对称点，∴f（x）＝﹣g（x）有解，∴lnx﹣x3＝﹣x3+ax，∴lnx＝ax，在（0，+∞）有解，分别设y＝lnx，y＝ax，若y＝ax为y＝lnx的切线，∴y′＝，设切点为（x0，y0），∴a＝，ax0＝lnx0，∴x0＝e，∴a＝，结合图象可知，a≤故选：D．【点评】本题导数的几何意义，以及函数与方程的综合应用问题，关键是转化为y＝lnx与y＝ax有交点，属于中档题．二.填空部分：每小题5分，共计4小题，总计20分2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第11页。13．（5分）已知平面向量，满足＝（1，），||＝3，⊥（﹣），则与夹角的余弦值为．2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第11页。【分析】可求出，从而根据得出，然后进行数量积的运算即可．【解答】解：；∵；∴；∴．故答案为：．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，根据向量的坐标可求向量的长度．14．（5分）已知数列{an}中，a1＝1，an＞0，前n项和为Sn．若，n≥2），则数列的前15项和为．【分析】首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【解答】解：数列{an}中，a1＝1，an＞0，前n项和为Sn．若，n≥2），则，整理得，所以数列{}是以1为首项，1位公差的等差数列，则，所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1．所以＝．所以＝．故答案为：．【点评】本题考查的知识点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第12页。15．（5分）对于m，n∈N+，关于下列结论正确的是（1）（2）（3）．2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第12页。（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】根据题意，由排列数、组合数公式依次判断选项，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次判断选项：对于（1），根据组合数公式，左式＝，而右式＝C＝，故C＝C，故（1）正确，对于（2），左式＝C＝，而右式＝C+C＝+＝，（2）正确，对于（3），左式＝A＝，右式＝CA＝×m!＝，（3）正确，对于（4），左式＝A＝，右式＝（m+1）A＝（m+1），（4）错误，故答案为：（1）（2）（3）．【点评】本题考查排列组合公式的应用，注意组合数公式的变形，属于基础题．16．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，•＝0，则C的离心率为2．【分析】由题意画出图形，结合已知可得OB＝F1O＝c，设B（x1，y1），A（x2，y2），由点B在渐近线y＝上，求得B点坐标，再由A为F1B的中点，得到A点坐标，把A代入渐近线y＝，即可求得C的离心率．2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第13页。【解答】解：如图，2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第13页。∵＝，∴A为F1B的中点，且O为F1F2的中点，∴AO为△F1F2B的中位线，又∵，∴F1B⊥F2B，则OB＝F1O＝c．设B（x1，y1），A（x2，y2），∵点B在渐近线y＝上，∴，得．又∵A为F1B的中点，∴，∵A在渐近线y＝上，∴，得c＝2a，则双曲线的离心率e＝．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．三.解答部分：共计6小题，共计70分，除二选一10分外，其余每小题12分17．（12分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|＜）的图像过点，且相邻对称轴间的距离为．（1）求ω，φ的值；2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第14页。（2）已知△ABC的内角A，B，C所对边为a，b，c，若，且a＝2，求△ABC的面积最大值；2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第14页。【分析】（1）相邻对称轴间的距离为，可求ω，利用图像过点，求φ；（2）由（1）知f（x）＝2sin（2x+）+1，可求A＝，从而可求bc≤8+4，从而可求△ABC的面积最大值．【解答】解：（1）∵相邻对称轴间的距离为．∴＝π，∴ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x+φ）+1，∵f（x）的图像过点，∴2sin（2×+φ）+1＝1，∴sin（2×+φ）＝0，∴φ＝﹣+kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ＝；（2）由（1）知f（x）＝2sin（2x+）+1，又，∴2sin（A+）+1＝3，∴sin（A+）＝1，又＜A+＜，∴A+＝，∴A＝，在△ABC中，由余弦定理有a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴4≥2bc﹣bc，∴bc≤＝8+4，当且仅当b＝c时取等号，∴△ABC的面积最大值为S＝×（8+4）sin＝2+．【点评】本题考查求正弦型函数的解析式，以及求三角形面积的最大值，属中档题．18．（12分）近年来，随之物质生活水平的提高以及中国社会人口老龄化加速，家政服务市场规模逐年增长，下表为2017年﹣2021年中国家政服务市场规模及2022年家政服务规模预测数据（单位：百亿元）年份201720182019202020212022市场规模3544587088100（1）若2017﹣2021年对应的代码依次为1﹣5，根据2017年﹣2021年的数据，用户规模y关于年度代码的线性回归方程；2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第15页。（2）把2022年的年代代码6代入（1）中求得回归方程，若求出的用户规模与预测的用户规模误差上下不超过5%，则认为预测数据符合模型，试问预测数据是否符合回归模型？2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第15页。参考数据：＝59，xiyi＝1017，参考公式：＝，＝﹣．【分析】（1）根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．（2）将x＝6代入上式的线性回归方程中，再结合求出的用户规模与预测的用户规模误差上下不超过5%，即可求解．【解答】解：（1）由表中的数据可得，，＝59，，xiyi＝1017，故＝＝，＝59﹣13.2×3＝19.4，故．（2）当x＝6时，，∵|98.6﹣100|＜100×5%，∴认为预测数据符合模型．【点评】本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于基础题．19．（12分）如图所示，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为8的正方形，∠APB＝90°，点E，F分别是DC，AP的中点．（1）证明：DF∥平面PBE；（2）若AB＝2PA，求直线BE与平面BDF所成角的正弦值．2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第16页。2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第16页。【分析】（1）利用平行四边形法则判定定理证明DF∥ME，然后结合直线与平面平行判定即可；（2）建立空间直角坐标系，分别平面BDF的法向量与直线BE的方向向量，利用向量法求直线BE与平面BDF所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取PB的中点M，F是AP的中点，∴MF∥AB且MF＝AB，又E是DC的中点，∴DE∥AB且DE＝AB，∴MF∥DE且MF＝DE，∴四边形DEMF是平行四边形，∴ME∥DF，又ME⊂平面PBE，DF⊄平面PBE，∴DF∥平面PBE；（2）过P作PO⊥AB于O，∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，∴PO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，过O作AD的平行线为x轴，OB，OP为y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵AB＝2PA，∠APB＝90°，可得∠PAB＝60°，AP＝4，AO＝2，PO＝2，则B（0，6，0），D（8，﹣2，0），F（0，﹣1，），E（8，2，0），∴＝（8，﹣8，0），＝（0，﹣7，），＝（8，﹣4，0），设平面BDF的一个法向量为＝（x，y，z），则，即，令y＝1，则x＝1，z＝，∴平面BDF的一个法向量为＝（1，1，），2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第17页。设直线BE与平面BDF所成角为θ，2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第17页。∴sinθ＝|cos＜，＞|＝＝＝．∴直线BE与平面BDF所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，以及线面角的正弦值的求法，属中档题．20．（12分）已知曲线C上任意一点到F（3，0）距离比它到直线x＝﹣5的距离小2，经过点F（3，0）的直线l的曲线C交于A，B两点．（1）求曲线C的方程；（2）若曲线C在点A，B处的切线交于点P，求△PAB面积最小值．【分析】（1）利用抛物线的定义即可求解曲线C的方程；（2）设直线l的方程为my＝x﹣3，与抛物线方程联立，消去x得y2﹣12my﹣36＝0，利用韦达定理，结合弦长公式求出|AB|，求出P的坐标，可求点P到直线l的距离，即可求△PAB面积的最小值．【解答】解：（1）由题意知曲线C上任意一点到F（3，0）距离与它到直线x＝﹣3的距离相等，由抛物线的定义可知，曲线C的方程为y2＝12x．（2）设点P（x0，y0），A（，y1），B（，y2），由题设直线l的方程为my＝x﹣3，联立方程，消去x得y2﹣12my﹣36＝0，则y1+y2＝12m，y1y2＝﹣36，由y2＝12x得2yy′＝12，即y′＝，则切线AP的方程为y﹣y1＝（x﹣），即为y＝x+，同理切线BP的方程为y＝x+，2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第18页。把点P（x0，y0），代入切线AP，BP方程得，2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第18页。解得，则P（，），即P（﹣3，6m），点P（﹣3，6m）到直线l：x﹣my﹣3＝0的距离d＝＝5，线段|AB|＝＝＝12（m2+1），S△PAB＝|AB|d＝36（m2+1）＝36（m2+1），故当m＝0时，△PAB面积有最小值36．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的综合，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝ex+aln（﹣x）+1，f′（x）是其导数，其中a∈R．（1）若f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，求a的取值范围．（2）若不等式f（x）≤f′（x）对∀x∈（﹣∞，0）恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）对f（x）求导，由导数与单调性的关系可得f′（x）＝ex+≤0在（﹣∞，0）上恒成立，分离参数可得a≥﹣xex在（﹣∞，0）上恒成立，令g（x）＝﹣xex，利用导数求出g（x）的最大值即可求解a的取值范围；（2）将已知不等式转化为aln（﹣x）﹣+1≤0对∀x∈（﹣∞，0）恒成立，令h（x）＝aln（﹣x）﹣+1，对h（x）求导，再对a分类讨论，求出h（x）的最大值小于等于0，即可求解a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝ex+aln（﹣x）+1，f′（x）＝ex+，因为f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以f′（x）＝ex+≤0在（﹣∞，0）上恒成立，即a≥﹣xex在（﹣∞，0）上恒成立，令g（x）＝﹣xex，x∈（﹣∞，0），2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第19页。g′（x）＝﹣ex﹣xex＝﹣ex（x+1），2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(二)(二模)全文共22页，当前为第19页。令g′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0，令g′（x）＞0，可得x＜﹣1，所以g（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减，所以g（x）max＝g（﹣1）＝，所以a≥，即a的取值范围是[，+∞）．（2）若不等式f（x）≤f′（x）对∀x∈（﹣∞，0）恒成立，则ex+aln（﹣x）+1≤ex+，即aln（﹣x）﹣+1≤0对∀x∈（﹣∞，0）恒成立，令h（x）＝aln（﹣x）﹣+1，h′（x）＝，①当a＝0时，1≤0不成立，不符合题意；②当a＞0时，令h′（x）＜0，可得x＜﹣1，令h′（x）＞0，可得﹣1＜x＜0，所以h（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，所以h（x）min＝h（﹣1）＝a+1＞1＞0，不符合题意；③当a＜0时，令h′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0，令h′（x）＞0，可得x