微积分第二部分一元函数微分

[选择题]

一元函数微分容易题 ，中等题 ，难题 。设函数 y

f(x)在点 x处可导，y0

f(x0

h)

f(x0

)，则当 h0时，必有( )dy是 h的同价无穷小量.y-dy是 h的同阶无穷小量。dy是比h高阶的无穷小量.ydy是比h高阶的无穷小量.答D

f(x定义

(,)上的一个偶函数，且当

x0时，

f(x)

f(x)0，则在 (0,)内有（ ）（A）（C）

f(x)f(x)

f(x)0。 （B）f(x)0。

f(x)0,f(x)

f(x0。f(x0。

f(x

[a,b]上可导，则

f(x0是

f(x

[a,b]上单减的（ ）（A）必。 (B)充分条件。（C）。 既非必要，又非充分条件。答B设 n是线y

x2 arctanx的渐近线的条数，则 n（ ）x22) ． ) 2 ) 3 ) 4答D5．设函数

f(x

(1,1)内有定义，且满足

f(x)

x2,

，则 x0必是f(x)的（ ）（A）间断点（C）的点，且f(0)0。（）的点。（）的点f(0)0。答C数a断（ ）（A）（）（）（）f（x）（）（C）（）（）（）f（）（）A数在a，，x a,b点的的（ ）0（A）（）（C）（答C

x 点的切向量0x 点的法向量0x 点的切线的斜率0x 点的法线的斜率0数在a，，x a,b点的的（ ）0（（）（C）

x 点的自向量的增量0x 点的函数值的增量0x 点上割线值与函数值的差的极限0（D）没意义答Cx9． f(x)x

，其定义域是

0，其导数的定义域是（ ）（（）（C）（

x0x0x0x0答 C设函数

f(x)在点 x0

不可导，则（ ）（（）（C）

f(x)在点 x0f(x)在点 x0f(x)在点 x0

没有切线有铅直切线有水平切线（）有无切线不定答 D1．设,则( )是的极大值点是的极大值点是的极小值点是的拐点[D]（题I）:函数 f在.（题I）:函数 f在可. 则题II是命I的（ ）（）件 （）（）件 （）（答 ）初等函数在其定义域内（ ）（A）可积但不一定可微 （）可微但导函数不一定连续（C）任意阶可微 （）A,B,C均不正确（答 ）命题 ）:函数 f在上可积（命题 I）:函数 ||在上可积. 则命题 I是命 II的 （ ）（）充分但非必要条件 （）必要但非充分条件（）充分必要条件 （）既非充分又非必要条件（答 A）设

yeu(（A）

。则eu(x)

y''

等于（ ）

（）

eu(

u''(x)（C）

eu(x)[u'(x)u''(x)]

（）

eu(x)[(u'(x))2

u''(x)]（答 ）若函数 f 在

x 点取得极小值，则必有（ ）0（

f'(x0

)0

f''(x)0

（

f'(x0

)0

f''(x0

)0（

f'(x0

)0

f''(x0

)0

（

f'(x0

)0或不存在

（答 ）f'(a) （ ）()lim

f(x)

f(a)；

(B).

lim

f(a)

f(ax)；xa

xa

x0 x(C.limt0

f(ta)t

f(a)；

(D).mS0

f(a

s)2s

f(as)2答C）y 在某点可微的含义是：（ ）（A）（B）（C）

yaxa是一常数;y与x成比例ya)x,a与x无关，

0(x0).（D）

yax,a是常数，

x的高阶无穷小量(x0).答（ C）于ydy是的（ ）A）当y是 x的时ydy. （）当x0时，ydyC） 是可的. （）是答（ A）（ ）（） 0

（） 0

（） 0

（） 0答（ D） 函数不导点的个数为(A)0(B)1(C)2(D)3[C]若

f(x

x可导，则lim

f(x0

h)

f(x0

（ ）0 h0 h答案：A

（

f(x0

)（）

f(x0

)；（）

f(x0

)；（

f(x).0

f(x

(abx0

(ab，则

x处（ ）0（A）

f()在可； （

f(x)极限存在，且左右导数存在；（C）

f()在可； （

f(x)极限存在，不可导.答案：C若

f(x

x处可导，则|f(x0

x处( )0（A）必可导；（）连续，但不可导；（C）不可导； （D）不连续.答案：B

f(x)(xx0

)()，已知()

x连续，但不可导，则0

f(x

x处（ ）0（A）不可导；（）可导；（C）连续，但不可导； （）可导答案：B

f(x)

g(ag(a，g(x在

(,)有定义，且在

xa可导，则 f(0)（）（A）2a；（）2g(a)；（C）2ag(a)；（）2bg(a).答案：D设y

f(cos)cos(f())，且f可导，则 （ ）（A）

f(cos

xsin(f(x))f(x)；（）

f(coscos(f(x))

f(cos)[sin(f())]；（C）

f(cos

xcos(f(x))

f(cossin(f(x))

f(x)；（）

f(coscos(f(x))

f(cossin(f(x))

f(x).答案：C不（ ） 0（A）0答（ D）

（）

（C） 0

（） 0

f(x)

x(x1)(x2)(x99)(x100)，则 f'(0)( ).（ A） 100 （B） ！ （C） 0 （） ！答案：B设

f(x)的 n阶导数存在，且 xa

f(n1)(x)xa

f(n)(a)，则

f(n1)(a)( )（A） 0 （ ） a （C） 1 （） 以上都不对答案： A下列函数中，可导的是（ ）。（ A）

f(xx

（）

f(x)

sinx（C）

x2,x0f(x)

（D）

xsinff()

1,x0x答案：A

,

x0

0,

x0初等函数在其定义域区间内是（ ）（ A） 的 （B） 的 （） 的 （） 可导的答案：C

f(x为可导的偶函数，则y

f(x在其上任意一点(xy和点(y处的切（ ）（A） 等 （B） （） 数 （ ）以上都不对答案：B设函数 y

f(x在x可导，xx

时，记y

f(x)的增量，0 0 0dy

ydyf(x)的微分，则 x (

（当x0）。（A） 0 （ ） 1 （C） 1 （D） 答案：A设

f(x)loglogx，则 logx

'(x)( )（A（C）

xloglogx(logx)2xloglogx(logx)2

（B）（

1loglogx(logx)21loglogx(logx)2答案：B若

f(x)

x2,

x

在处可导，则的值为（ )。ax

x1.(A). (B).; (C).; (D).。答案：B若抛物线与相切，则（)。(A).1; (B). 1/2; 答案：C

1e2; (D).2e.若为内的可导奇函数，则（ )。为的（为的(C).必为内的非奇非偶函数；(D).可能为奇函数，也可能为偶函数。答案：B设,则（ )。(A).0; (B).1; (C).-1; (D).不存在。答案：A

f(x

(,)上可导，则（ ）

f(x)为f(x)为

f(x一定为单调函数.f(x一定为周期函数.

f(x为奇函数时，f(x为偶函数时，

f(x一定为偶函数.f(x一定为奇函数.答 C设

f(x

(,)内可导，则（ ）（A）当lim f(（A）当lim f(x)时，必有 limxx（B）当lim f(x)时，必有 limxx（C）当lim f(x)时，必有 limxx（D）当lim f(x)时，必有 limxxfx。fx。fx。答 A周期函数线

f(x

(,)内可导，为 3，又limx0

fx)2x

f

1，则曲在点(4,

f(4))处的切线斜率为（ ）（A）． （）.

1。 （

2。答 A设

f(x有二阶连续导数，

f),m

f(x

1，则（ ）x1

x1（

f

f(x)的一个极大值。（

f

f(x)的一个极小值。（

x1是函数

f(x)的一个拐点。（）答 A设

f(x)(x2

2)x(x2

2)，则

f(x)不可导点的个数是（ ）（A）． （）1。 （C）2。 （）。答 B设

f(

xx，则其导数为（ ）（

fx)xx（）（

ffx)

xxlnxxx(lnx（

fx)

xx1答 C设 ysin

xcos4

x，则( )n1（

y(n

4n14x n2（）（

y(n)y(n

4n1cos(4x),nn n 4n1sin(4x2n),

n11（）答 A

y(n

44x n2设

f(x) ，则（ ）1e1ex2（）

f(0)1f(0)1（C）（）答 A

f(0)0f(0)不存在设

f(x)(xarcsin

，则（ ）xx1（xx1（）

f(1)0f(1)1（

f(1)4（

f(1)不存在答 C（ ）（（）

(cscx)(secx)

x

cotxx（

(tanx)2x（

(cotx)c2x答 A设, 其中有二阶连续导数,且,则在连续,但不,(B)存在但在处不连续(C)存在且在处连续,(D)处不连续[C]设可导, 且满足条件,则曲线处的切线斜率为(A)2, (B)-1, (C), (D)-2[D]若的奇数,在内,且,则内有(A)(C)(D)[C]设可导, 且满足条件,则曲线在处的切线斜率为 ( )(A)2, (B)-1, (C), (D)[D]设, 其中有二阶连续导数,且,则在连续可导(B)存在但在处不连续存在且在处连续(D不连续[C]设可导,,若使处可导,则必有(B)[A]设,其中是有界函数,则在处( )极限不存在极限存在,但不连续连续,但不可导可导[D]设

yxlnx， 则

y(10)

等于（ ）（）

x9

（）

x9（） !x9

（） －8!x9答 C) 1若

f(

xpsinx

x

，在点 x

0处连续，但不可导，则

（ ） 0

x0（）0 （）1 （C）2 （）3答（ B）判断

f(x)

x2

x1在

x1处是否可导的最简单的办法是（ ）2x2 x1（ A）由

f3

f')'0，故可导（导数为 ）（ B）因

f0)

f0，故

fx在该点不连续，因而就不可导（ C）因

lim

f(x)

f

lim

f(x)

f(1)，故不可导x10

x

x1（ D）因在 x1

(x2)'(2x2)'，故不可导答（ B）若 ynx，则 y（ ）dx（ A）不存在 （ B）

1 （ C）x

1 （ D） xxx答（ B）若

f(x)是可导的，以 C为周期的周期函数，则

f'()（ ）（ A）不是周期函数（ B）不一定是周期函数（ C）是周期函数，但不一定是 C为周期（ D）是周期函数，但仍以 C为周期答（ D）设 x

f'(t)，

ytf'(t)

f(t记

x'

dx,x''

d2x

,y'

dy,y''

d2y，则d2y

（ ）

dt dt2 dt

dt2dx2（ A

(y')x'

t2

（ B

y''x''

t

f''(t)f'''(t)（ C

x'y''x''y'1x'2

（ D

x'y''x''y'x'3

1f''(t)答（ D）在计算 dx3dx2

时，有缺陷的方法是：（ ）（）原式

dx3 3d(x3)23

1d(x )323dx1d(x )323dx31(231

3x) 2原式

d(x2dx

3 3 x)2(22)2(2

1 3x)22)2原式

3x2 3xdx3dxdx2dx3dxdx2dxD)

dx

3x2

,dx

2xdx

dx3 3x2dx3xdx2 2xdx 2答（ B）以下是求解问题ab取何值时，

f(x) x2

x3

处处可微”axb

x3的四个步骤指出哪一步骤是不严密的：（ ）（A）

x3处

f(x)可微

f(x)连续 x3

f(x)存在（B）

limx3

f(x)存在

f(30)

f(30)3ab9（C）

x3处

f(x)可微

f'(30)

f'(30)（D）

f'(30)

lim(axx30

f'(30)

lim(x2x30

6b9答（ D）

f(x

g(x)，在

x处都不可导，则0

(x)

f(x)g(x)、

(x)

f(x)g(x)在 x处（ ）0（）都不可导（）都可导（）可导（）可导.案：D若

e2xbf(x)

x0

，在 x

0可导，则 a,b取值为（ ） ax x0 0（A）

a2,

1； （

a1,b1；（C）

a,b1； （

a2,b1.答案：C设函数y

y(x)由方程xy2

y2x40确定，则 dx

（ ）（A）

2(xy

y

yxln

； （

y ；2xlnx（C）

y ； （

y .2xlnx

2xlnx(xy2答案：C若

f(x)x{x,x2}，则0x2

f(x)（ ）（）

f(x)

0x

12； （

f(x)

0x12；zx,

1x22

zx,

1x22答案：C

（C）

f(x)zxzx,

0x1； （）1x2

f(x)zxzx,

0x1；1x2设

f(x)5x

2x3

|x，则使

f(n)(0)存在的最大 n值是（ ）（A）； （）； （）2； （）3.答案：D7．设 y

f(x)有反函数， x

g(y)，且 y 0

f(x)，已知0

f(x)1，0

f(x)2，0则答案：B

g(y)（ ）0（A）； （）2； （

1； （2

1.27．设函数

f(x)(xa)(x),其中(x)在 a点连续，则必有 （ ）。(A)

f(x)(x);

f(a)(a);(C)

f(a)(a);

f(x)(x)(xa)(x).答 ( B )函数 y

f(x)在点 x处可导是0

f(x)在点 x处连续的（ ）。0必要条件，但不是充分条件。充分条件, 但不是必要条件.充分必要条件.sinxx既非充分条件, 也非必要条件答（sinxx函数

f(x)

x的 （ ）。导数

f();

导数

f)1;左导数

f

0);

右导数

f

0)1;答（D ）．设函数( )。

xf(x)ax

b,

xx

其中 a,b为常数。现已知

f(2)

存在，则必有(C)

a2,b1.a4,b5.

(D)

ab5.ab3.答（ C7．设线y

1和yx

x2在它们交点处两切线的夹角为

( )。(A) -1. (B) 1.(C) 2. (D) 3.答（D ）设函数

f(x)

xx，x

(,)则 （）

0， (B)在

0时，

0， (D)x为任何实数时

f(x)存在。答（ ）设函数

f(xxa处可导，则x0

f(ax)x

f(ax) ( )(A)

2f(a).

(B)

f(a).

(C)

f(2a).0.答（ A ）设函数

f(x)是奇函数且在x

0处可导F(x

f(x)则（ ）F(x)在x 0x时极限必存在，且有limF(x)

f(x)x0(A)

F(x

0处必连续。x0是函数 F(x)的无穷型间断点。

F(x

0F(0)

f(0)。（ A）设a是实数，函数

f(x)(x

1

cos 1 ,x10,

xx则f(x

1处可导时，必有 ( )(A)a

1.

(B)1a0.

(C)0a1.

(D)a1.（A ） 1设函数

f(x)x

,x0

x0,则x0,

f(x

0处 ( )不连续。 (B)连续，但不可导。(C)可导，但不连续。 (D)可导，且导数也连续答（ B）

f(x是可导函数

是x的x0

f2(x

x)x

f2(x)( )(A)0. (B)2f(x).

(C)2f(x).

(D)2f(x)f(x).答（D ）f(xxa

f(a)k,

k是不为零的常数，则limt0

f(a3t)t

f(a5t)

( ).k.

2k.

2k.

8k.答（ B）设

1 xf(f() x2

则 f(0)( ) 0 x,(A) 1. (B)–1. (C)0. (D)不存在。（ C）设

f(x

(ab可导，则

f(x

(a,

( ).连续可导高阶可导(D)不存在第二类间断点（D ）设yx2x

1的交点为P，则曲线ye1x2在点P处的切线方程是( )(A)

2xy10.

(B)2xy10.

(C)

2xy30.

2xy30.答（D ）

f(x)x

且f(0)0

f(x)

02Sin2x2x处f(x)（ ）(A不可导；（B； 取得极大值； （D）取得极小值答（D）设

3x

则（ ）(A)=2 (B)>2 (C)<2 与a无答( C )设

f(x)定义于 (,),x0

0是 的极大值点则（ ）x必是 的驻点. x必是的极小值点.0 0(C)-x必是极小值点. (D)对一切x有f(x).0答( B )陆小yx2+axb在点（）a0b=2. )a1b=3(C)a=3,b(D)a=1,b=1.答（ D）

0处相切其中a,b是常数则（ ）

f(x)g(x)xa

,

F(x)

f(x)g(x)xa处( )（）必定极大值.（）必定极小值.（）极值.（）定．答（ D）必则（ ）nnelimnne

1e lime （A）

limn

nn

n 1（B）

lim

x

lim

1cosx0

x1

01sx1 1（C）

lim

x2sinx

lim

2xsin

cosx

不存在0

cosx（D）

limx0ex

lim1 10ex答（ B）9． f'()g'()是 f(x)gx的（）（A）必要条件（）充分条件（C）充要条件（）无关条件答（ D）设函数

f(x二阶可导，则

f''(x)的表达式是( )A h0

f(xh)

f(xh)2f(x)h2

B h0

f(xh)

f(xh)2f(x)h2C h0

f(xh)

f(xh)2f(x)h2

D以上都不对答 C设 f为可导函数，

ysin{f

f()]}，则 y( )dxf'()

'

f()]{f

f(x)]}f'()cos

f(){f

f(x)]}cos

'()

'

f()]{f

f(x)]}Df'()cosf()f

'

f()]{f

f(x)]}答 D一直线与两条曲线 yx33和

yx31都相切，其切点分别为（ ）A

B

(1,2)C

(1,2)

D

和 答 B当参数 a(

)时，抛物线 yax2与曲线 ylogx相切。A 2e 答 B

1 C D 22e e设

b0

lim(ax0

bx 1)x （ ）abab2abab(A) ab

(C)

lnab

(D) 设

logx

a(a0

( )dxA 1log x a

B 1xlogaC 1 2 1

1 2 1 log xa

xloga

D log x xa答 C99． 设 函

xf(y)

的 反 函 数

yf

1(x及

f'[f

1(x)],f"[

1(x)]都 存 在 ， 且f'[f

1(x0，则

d2f

1(x)( )(A).

dx2f"[f1(x)]

(B).

f"[f1(x)]{f'[f(x

{f'[f1(x)]}2(C).

f"[f1(x)]

(D).

f"[f1(x)]{f'[f(x

{f'[f(x答 C设

f(x)

xlog2x

x 处可导，且0

f(x 2，则0

f(x )( )0A 1 答 B

e C 2 D e2 e设，，又均存在，则是在点可导的（ 。(A).充分非必要条件；(C).必要但非充分条件；(B).充分必要条件；(D).既不充分也不必要条件。答B设，在连续，则在可导是在可导的 （ )条件。(A).充分非必要条件； (B).充分必要条件；(C).必要但非充分条件； (D).既不充分也不必要条件答A设在的某邻域内有定义，在可导的充分必要条件是（ (A).存在； (B).；(C).存在； (D).存在答C设为奇函数，且在内，则在内有（ (A).,; (B).(C).; (D).。答C不可导点的个数是（ 。(A).3; (B).2; (C).1; (D).0;答B若函数在点有导数，而在处连续但导数不存在，则在点处（ )一定有导数;(B).一定没有导数;(C).导数可能存在；(D).一定连续但导数不存在。答C107．已知

f(x)在a,b

f(x)

2f(x)

f(x)0,

xa,b]若f(a)

f(b0

f(x)在a,b（ ）（（A）有正的最大值。C）有正的极小值。（）有负的最小值。（）既无正的极小值，也无负的极大值。答D设

f(x

内 n阶可导，则 x0

，有（ ）（

f(x)1

f(x)0

f(x0

)(xx)10

f(x0

)(xx)20 f(n)(x

xx0

)n。(B)

f(x)1

f(x)0

f(x0

)(xx)10 1

f(x0

)(xx)20 f(n)(x

)(xx)n0

(n

(n1)()(xx0

)n1, 在 x

x之间。0（1

f(x)

f(x)0

f(x0

)(xx)10

f(x0

)(xx)20 f(n)(x

xx)n0xx0

)n]。（1

f(x)

f(x)0

f(x0

)(xx)10

f(x0

)(xx)20 f(n)(x

xx)0xx0

n1] 。答 C设

f(x

x点可导，则（ ）0（

f(x

x附近连续。0（）当

f(x0

0时，

f(x

x附近单增。0（C）当

f(x

x附近可导时，有0

f(x)0

limxx0

f(x)。（）当

f(x

x附近可导，且

f(x存在时，有

f(x

)

f(x)。答 ．设

f(x

g(x在

xx 00x附近可导，且 g(x)，则（ ）0

xx0

mxx0

f(x)g(x)

A时， limxx0

f(x)A。g(x)

limxx0

f(x)g(x)

A时， xx0

f(x)g(x)

A。

limxx0

f(x)g(x)

A不存在时， xx0

f(x)g(x)

A不存在。以上都不对。答D

3x3x

x)(e

cosx),

x0 ，

f(x)在x0处（ ）f(x)

x 01 x2cos x2

x0不连续。连续，但不可导。可导，但导函数不连续。导函数连续。答C

f(

x2cosx,x0，则（ ）（A）

,fx

x0（B）f(x)处处不可导（C）

f(x)在零点的导数不存在f(0)0答D113

f(0,

xQx

R\

，则（）（A）

f(x)处处可导（） f(x)处处（C） f(x)（

f(k)kZ答D

f(x)

x

1,xx

在x

0点连续但不可导，则 （ ）（

0

,

x0（

10（C）（

00答C

f(x)

x

1,xx

在x

0点可导，则 （ ）（

0

,

x0（

10（C）（

10答Carcsinx2 1

f(x)

x,

sin ,xx

0，（ ）0（A）在（）在x

00（C）在 x（）在

0点不连续0点不清楚答 A设在上二阶可导,且,,则在内, (B)至少存在一点,使,(C)至少存在一点,使, [D]设在内可导,且则对任意对任意单调增加单调增加[D]设,且,,则是的极大值是的极小值(C) (0

f(0))

是的拐点(D)不是的极值点, (0

f(0))

也不是的拐点[B]设在区间内有定义,若当时,恒有,则必是的间断点, (B)连续而不可导的点(C)可导的点,且, (D)可导的点,且[C]设为可导函数