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文档简介

6.3奇点

李雅普诺夫创立了处理稳定性问题的两种方法：

第一方法要利用微分方程的级数解，在他之后没有得到大的发展；

第二方法是在不求方程的情况下，借助一个所谓的李雅普诺夫函数V(x)和通过微分方程所计算出来的导数的符号性质，就能直接推断出解的稳定性，因此又称为直接法.本节主要介绍李雅普诺夫第二方法.

(5.11)函数的分类零解的稳定性态6.2.2二次型V函数的构造定理6

如果一阶线性微分方程1.2.1(8):相空间、奇点和轨线相空间：不含自变量、仅由未知函数组成的空间称为相空间。微分方程的解在相空间中的轨迹称为轨线,轨线也可定义积分曲线在相空间中的投影。对于方程组的解称为平衡解（驻定解、常数解），又称为奇点（平衡点）。下面转入介绍平面定性理论。本节考虑驻定微分方程组是线性的情形下其轨线在相平面上的性态。考虑二维(平面)一阶驻定微分方程组可将方程组(6.33)改写成或方程(6.34)或(6.35)满足存在唯一性定理的条件,它们在Oxy平面的积分曲线可看成是方程组(6.33)在Oxy相平面上的轨线。

因此,在相平面上,方程组(6.33)的轨线不能相交。在相平面上,方程组(6.33)的轨线不能相交。

下面考虑驻定微分方程组是线性的情形下其轨线在相平面上的性态，即考虑方程组对于驻定微分方程组可以通过坐标平移将奇点移到原点(0,0)，此时,X(0,0)=Y(0,0)=0.我们根据奇点领域内轨线分布的不同的性态来区分奇点的不同类型。考虑线性驻定微分方程组我们根据奇点领域内轨线分布的不同的性态来区分奇点的不同类型。则此奇点还是唯一的。微分方程组(6.36)可化成标准形式，其系数矩阵为下列四种形式之一：下面仅标准形式的线性方程组讨论奇点的类型。按特征根为相异实根、重根或共轭复根，分五种情形进行讨论。情形I

同号相异实根情形II

同号相异实根情形III

重根或情形IV

非零实部复根

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