高考数学一轮复习第8章解析几何第9讲第1课时直线与圆锥曲线的位置关系

第一课时直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理·双基自测知识梳理知识点一直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看,可分为三类：无公共点,仅有一个公共点及有两个相异的公共点．(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0,圆锥曲线方程f(x,y)＝0．Ax＋By＋C＝0，由消元,如消去y后得ax2＋bx＋c＝0,,直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时,直线l与fx，y＝0①若a＝0,当圆锥曲线是双曲线时抛物线的对称轴平行(或重合)．②若a≠0,设Δ＝b2－4ac．当Δ__＞__0时,直线当Δ__＝__0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点；和圆锥曲线相切于一点；当Δ__＜__0时,直线和圆锥曲线知识点二直线与圆锥曲线(1)斜率为k(k不为0)的直线与圆锥曲线交于两点P(x,y)、P(x,y),则所得弦长|PP|＝没有公共点．相交时的弦长问题1112221211＋k2·|x－x|或|PP|＝__1＋k·|y－y|__．1212212(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间距离公式)．知识点三圆锥曲线的中点弦问题xy22”或“点差法”求解．在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中,以P(x,y)ab2200遇到中点弦问题常用“根与系数的关系bxxy222为中点的弦所在直线的斜率k＝－；在双曲线－＝1(a＞0,b＞0)中,以P(x,y)为中点的弦所在直线0ay2ab22000bx2p的斜率k＝0；在抛物线y2＝2px(p＞0)中,以P(x,y)为中点的弦所在直线的斜率k＝y．ay20000重要结论1．判定直线与圆位置关系的关距离与半径的大小关系．2．判定过定点的直线与椭圆的位置关系3．判定过定点的直线与双曲线的位置关系应注意直线斜率与键是圆心到直线的应关注定点与椭圆的位置关系．斜率的关系,过定点与双曲线只有渐近线一个公共点的直线可能与双曲线相切,可能与渐近线平行．4．过定点与抛物线只有一个公共点的直线可能与抛物线相切,可能与对称轴平行．双基自测x16y22)若双曲线－＝1(p＞0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上,则p＝(D)1．(2021·天津模拟3p211A．4B．2C．2D．4x16y2p22[解析]因为双曲线－＝1(p＞0)的左焦点为－3＋，0,抛物线y2＝2px的准线方程为x3p216p＝－,所以－3＋＝－,得p＝4,故选D．pp221622．(2021·宁夏模拟)直线l过抛物线y2＝－2px(p＞0)的焦点,且与该抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是(B)A．y2＝－12xC．y2＝－6xB．y2＝－8xD．y2＝－4x[解析]设A(x,y),B(x,y),根据抛物线的定义可知2|AB|＝－(x＋x)＋p＝8．又AB的中点到y轴的12112x＋x距离为2,∴－＝2,∴x＋x＝－4,∴p＝4,∴所求抛物线的方程为y2＝－8x．故选B．12212xy22)已知双曲线C：－＝1(a＞0,b＞0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为45°3．(2021·安徽宣城调研ab22的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率的取值范围是(A)A．[2,＋∞)C．(2,＋∞)B．(2,＋∞)D．(1,＋∞)xy22[解析]双曲线C：－＝1(a＞0,b＞0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的ab22bb或等于渐近线的斜率,所以≥1,e2＝＝≥2,aaaaca＋b222右支有且只有一个交点．则该直线的斜率的绝对值小于22∴e≥2．故选A．yx220)的焦点F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦4．(2021·贵阳市质量监测)已知抛物线x2＝2py(p＞ab22点,且该抛物线的准线与椭圆相交于A,B两点,若△FAB是正三角形,则椭圆的离心率为(C)12B．2A．22b2]如图,由|AB|＝a,32b2,得×＝2c,2a△FAB是正三角形化简可得(2a2－3b2)(2a2＋b2)＝0,b22所以2a2－3b2＝0,所以＝,a32c所以椭圆的离心率e＝＝1－＝．故选C．b32aa3235．(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F,斜率为2的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P．|BF|＝4,求l的方程；→→(1)若|AF|＋(2)若AP＝3PB,求|AB|．3[解析]设直线l：y＝x＋t,A(x,y),B(x,y)．211223(1)由题设得F，0,43|BF|＝x＋x＋．212故|AF|＋5又|AF|＋|BF|＝4,所以x＋x＝．21232由y＝x＋t，可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0,y2＝3x4t－1则x＋x＝－2．314t－157从而－3＝2,得t＝－．837所以l的方程为y＝x－．28(2)由AP＝3PB可得y＝－3y．2可得y2－2y＋2t＝0,y2＝3x所以y＋y＝2,从而－3y＋y＝2,2122故y＝－1,y＝3．121代入C的方程得x＝3,x＝,3121即A(3,3),B，－1．31413故|AB|＝3－＋3＋1＝．2233考点突破·互动探究考点一直线与圆锥曲线的位置关系——自主练透例1(1)(2021·兰州检测)若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点,则过点(m,n)的直线xy22与椭圆＋＝1的交点个数为(B)94A．至多一个C．1B．2D．0(2)(2021·湖北武汉调研)已知不过原点O的直线交抛物线y2＝2px于A,B两点,若OA,AB的斜率分别为k＝2,k＝6,则OB的斜率为(D)OAABA．3B．2C．－2D．－3(3)(2021·辽宁沈阳二中月考)直线l：y＝k(x－2)与曲线x2－y2＝1(x＞0)相交于A,B两点,则直线l倾斜角α的取值范围是(B)πππ3πA．[0,π)B．，∪，4224π2πππ3πC．0，D．，∪，42244mnm222[解析](1)∵直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点,∴＞2,∴m2＋n2＜4．∴＋＜＋949m2＋n24－m25＝1－m2＜1,4362∴点(m,n)在椭圆＋＝1的内部,∴过点(m,n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个,故选B．9494p2x＝，得y＝2x，(2)由题意可知,直线OA的方程为y＝2x,与抛物线方程y2＝2px联立得y＝2px，即2y＝p，p2y＝6x－2p，A，p,则直线AB的方程为y－p＝6x－,即y＝6x－2p,与抛物线方程y2＝2px联立得p2y＝2px，22px＝9，p2x＝，或得2py＝－3y＝p，2p2p所以B，－,所以直线OB的斜率为932p－3k＝2p＝－3．故选D．OB9π3π(3)直线l过定点(2,0),曲线x2－y2＝1(x＞0)的渐近线的倾斜角分别为4,4,又直线的斜率存在,结合图形可知选B．名师点拨研究直线和圆锥曲线的位置关系,一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数．注意：(1)在没有给出直线方程时,要对直线斜率不存在的情况进行讨论,避免漏解；(2)对于选择题、填空题,常根据几何条件,利用数形结合的方法求解．注：(1)研究直线与圆的位置关系,只需抓住圆心到直线的距离与半径的关系；(2)当直线过定点时,注意定点与圆锥曲线的位置关系；(3)注意“直线与抛物线只有一个交点”与“直线与抛物线相切”的区别．点考二直线与圆锥曲线相交的弦的问题——多维探究角度1弦长问题例2(2021·河北质检)已知M(－2,0),N(2,0),动点P满足：直线PM与直线PN的斜率之212→→(2)直线l与曲线C交于A,B两点,线段AB的中垂线与y轴交于点0，,点O为坐标原点,OA·OB＝0,求|AB|．[解析](1)设动点P(x,y)(x≠±2),yy则k＝,k＝．PMx＋2PNx－21yykk＝－,所以·＝－,1因为PMPN22x＋2x－2y21x2即＝－,即＋y2＝1(x≠±2),x－2222x2所以曲线C的方程为＋y2＝1(x≠±2)．2(2)当直线l的斜率不存在时与题设矛盾,故直线l的斜率存在．设A(x,y),B(x,y),l：y＝2kx＋t．112x2＋2y2＝2，由得(2k2＋1)x2＋4ktx＋2t2－2＝0．y＝kx＋t，－4kt所以x＋x＝,xx＝．2t－221＋2k21＋2k21212Δ＝8(2k2－t2＋1)＞0⇒2k2－t2＋1＞0．设A,B的中点为D(m,n),x＋x－2kttkm＋t＝．则m＝＝,n＝21221＋2k1＋2k21故线段AB的中垂线方程为y－n＝－(x－m)．km1当x＝0时,y＝＋n＝,k2－2kt1＋2k2t1所以＋＝,化简得1＋2k2＝－2t．k1＋2k22因为→→OA·OB＝0,得xx＋yy＝0．1212又yy＝(kx＋t)(kx＋t)＝k2xx＋kt(x＋x)＋t2,121212122t2－1k2＋14k2t2所以xx＋yy＝(k2＋1)xx＋kt(x＋x)＋t2＝－＋t2＝0,1＋2k21＋2k212121212化简得2k2＋2＝3t2．又1＋2k2＝－2t,11所以|AB|＝1＋k2[x＋x－4xx]21212－4－4kt2t－2＝1＋k2221＋2k21＋2k281＋k22k2－t2＋1＝3．＝1＋2k2名师点拨处理弦长问题的两个注意点(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形,若k不存在时,可直接求交点坐标再求弦长．(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．〔变式训练1〕2左焦点为F(－1,0),且点1，－在椭2xy22(2021·四省八校质检)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的ab22圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设过点F的直线l与C相交于A,B两点,直线m：x＝－2,过F作垂直于l的直线与直线m交于点|TF|T,求的最小值和此时l的方程．|AB|c＝1a＝2a2＝b2＋c2[解析](1)由题意可得：⇒,b＝111＋＝1a2b22x所以椭圆的方程为：＋y2＝1．22(2)当直线l的斜率不存在时,l：x＝－1,T(－2,0),22|TF|2∴A－1，,B－1，－,此时＝,22|AB|2当直线l的斜率存在时,设l：y＝k(x＋1)(k≠0),且A(x,y),B(x,y),2112y＝kx＋1⇒(1＋2k)x＋4k2x＋2k2－2＝0,由22x＋2y2－2＝024k2k－222则x＋x＝－,x·x＝,Δ＝8(k2＋1)＞0,1＋2k1＋2k12212222k2＋1,所以|AB|＝21＋k|x－x|＝21＋2k211ky＝－x＋111＋k2⇒T由－2，,∴|TF|＝k,k2x＝－2|TF|1＋2k21＋k2＋k2＝22·k2k2＋122·k2k2＋1所以＝|AB|21＋k2·k22＞＝22·k2k2＋12(∵1＋k2≠k2,所以无法取等号)|TF|2所以的最小值为2,此时l的方程为：x＝－1．|AB|角度2中点弦问题xy22例3已知双曲线－＝1(a,b＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4,若抛物线ab221y＝ax2上的两点A(x,y),B(x,y)关于直线y＝x＋m对称,且xx＝－,则m的值为(A)2112212352A．2B．C．2D．3[解析]由双曲线的定义知2a＝4,得a＝2,所以抛物线的方程为y＝2x2．因为点A(x,y),B(x,y)在1122抛物线y＝2x2上,所以y＝2x,y＝2x,两式相减得y－y＝2(x－x)(x＋x),不妨设x＜x,又A,B关于直21221212121212y－y111线y＝x＋m对称,所以＝－1,故x＋x＝－,而xx＝－,解得x＝－1,x＝2,设A(x,y),B(x,y)的12x－x22121212112212x＋x1y＋y2x＋2x5251中点为M(x,y),则x＝＝－,y＝＝＝,因为中点M在直线y＝x＋m上,所以＝－＋2121212242424400003m,解得m＝2,选A．名师点拨处理中点弦问题常用的求解方法根与系即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，→化为一元二次方程后由根与数的关系系数的关系求解即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含y－y点差法→有x＋x，y＋y，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的12x－x121212斜率，借用中点式公即可求得斜率〔变式训练2〕x已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F,O为坐标原点．设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A,B两21G横坐标的取值范围是__－，0__．2点,点A和点B关于直线l对称,l与x轴交于点G,则点[解析]设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0),x2代入＋y2＝1,整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0．2因为直线AB过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴,所以方程有两个不等实根．设A(x,y),B(x,y),AB的中点N(x,y),2112004k则x＋x＝－,22k＋121212kkx＝(x＋x)＝－,y＝k(x＋1)＝,222k＋12k＋12012200因为点A和点B关于直线l对称,所以直线l为AB的垂直平分线,其方程为1y－y＝－k(x－x)．002kkk令y＝0,得x＝x＋ky＝－＋＝－＝－＋,112222k＋12k＋12k＋124k＋2G0022221因为k≠0,所以－＜x＜0,2G11即点G横坐标的取值范围为－，0．故填－，0．22角度3求直线的方程例4(2021·广东梅州质检)已知F为抛物线T：x2＝4y的焦点,直线l：y＝kx＋2与T相交于A,B两点．(1)若k＝1,求|FA|＋(2)点C(－3,－2),若∠CFA＝[解析](1)由题意,可得F(0,1),|FB|的值；∠CFB,求直线l的方程．x22x2设Ax，,Bx，,14412y＝kx＋2联立方程组,整理得x2－4kx－8＝0,x＝4y2则x＋x＝4k,xx＝－8,1212xx2x＋x－2xx212＋2．1221＋＋1＝14424显然当k＝1时,|FA|＋|FB|＝10．x→214(2)由题意可知,FA＝x，－1,1→x→224FB＝x，－1,FC＝(－3,－3),2由∠CFA＝∠CFB,可得cos〈FA,FC〉＝→→cos〈→→FB,FC〉,→→→→FA·FCFB·FC即＝,→→→→|FA||FC||FB||FC|x又|FA|＝＋x222141,|FB|＝＋1,|FC|＝32,4整理得4＋2(x＋x)－xx＝0,12123即4＋8k＋8＝0,解得k＝－,2所以直线l的方程为3x＋2y－4＝0．名师点拨设直线方程时一定要关注直线的斜率是否存在,若不能确定,应分类求解,当过点P(a,b)的直线不与x轴垂直时,可设其方程为y＝k(x－a)＋b；当过点P(a,b)的直线不与y轴垂直时,可设其方程为x＝m(y－b)＋a．〔变式训练3〕xy21(a＞b＞0)的离心率e＝,过点A(－a,0)和B(0,b)22(2021·广西桂林、崇左模拟)椭圆M：＋＝ab2226的直线与原点间的距离为3．(1)求椭圆M的方程；CE(2)过点E(1,0)的直线l与椭圆M交于C、D两点,且点D位于第一象限,当＝3时,求直线l的方程．DE[解析](1)据题知,直线AB的方程为bx－ay＋ab＝0．ab6＝3a＋b22依题意得．a－b222e＝＝a22解得a2＝2,b2＝1,x2所以椭圆M的方程为＋y2＝1．2(2)设C(x,y),D(x,y)(x＞0,y＞0),222设直线l的方程为x＝my＋1(m∈R)．代入椭圆方程整理得：(m2＋2)y2＋2my－1＝0．Δ＝8m2＋8＞0,2m1∴y＋y＝－,yy＝－．①②m＋212m＋22122CE由＝3,依题意可得：y＝－3y,2DE1my＝m＋22结合①②得2,13y＝22m＋22消去y解得m＝1,m＝－1(不合题意)．2所以直线l的方程为y＝x－1．名师讲坛·素养提升“设而不求,整体代换”解决圆锥曲线问题例5(2021·山西太原模拟)已知动点C到点F(1,0)的距离比到直线x＝－2的距离小1,动点C的轨迹为E．(1)求曲线E的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m(km＜0)与曲线E相交于A,B两个不→→同点,且OA·OB＝5,证明：直线l经过一个定点．[解析](1)由题意可得动点C到点F(1,0)的距离等于到直线x＝－1的距离,∴曲线E是以点(1,0)为焦点,直线x＝－1为准线的抛物线．设其方程为y2＝2px(p＞0),p∴＝1,∴p＝2,2∴曲线E的方程为y2＝4x．(2)证明：设A(x,y),B(x,y),1122y＝kx＋m，由得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0,y＝4x24－2kmm2∴x＋x＝,xkx＝,k212212Δ＝(2km－4)2－4m2k2＝16(1－km)＞0．→→∵OA·OB＝5,m＋4km2∴xx＋yy＝(1＋k2)xx＋km(x＋x)＋m2＝＝5,k121212122∴m2＋4km－5k2＝0,∴m＝k或m＝－5k．∵km＜0,则m＝k舍去,∴m＝－5k,满足Δ＝16(1－km)＞0,∴直线l的