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第十五章虚位移原理§15-1约束、虚位移、虚功§15-2

虚位移原理§15.虚位移原理引言升降台在图示位置平衡，试求油压举升缸筒的拉力FJH。已知力：FP未知力：15个用矢量力学方法求解，需要列一系列方程，较复杂！利用标量形式的广义坐标，通过对系统能量和功的分析，以普遍原理为基础，利用纯数学分析的方法导出基本的静力学方程及动力学普遍方程。§15.虚位移原理引言具有高度的统一性和普遍性。本章重点介绍虚位移原理的工程应用，即应用虚位移原理求解系统的平衡问题。4

工程中大多数物体的运动都受到周围物体的限制，不能任意运动，这种质点系称为非自由质点系。约束：

对物体（质点或质点系）自由运动预定的限制条件（即可以限制位置，也可以限制速度、加速度）。

约束方程：用数学方程描述约束条件的方程。为了研究方便，将常见约束进行分类：§15.虚位移原理---基本概念♣约束5、约束的分类（1）几何约束-----限制质点或质点系在空间几何位置的约束

；运动约束-----能限制质点系中质点速度的约束；（微分约束）例:曲柄连杆机构的约束方程为

x12+y12=r2(x1-x2)2+y12=l2y2=0

yOA(x1,y1)B(x2,0)rxl♣约束例如：球面摆中质点M

的约束方程：

x2

＋y2

＋z2＝L2§15.虚位移原理---基本概念CyvcxOx例:沿直线轨道只滚不滑的车轮。约束方程为：

yc

=r

xc´

-r=0

运动约束（2）完整约束-----微分约束通过积分，全部化为几何约束；非完整约束-----不可积分的运动约束；例:沿直线轨道只滚不滑的车轮。约束方程为：

yc

=r

xc´

-r=0

CyvcxOx经过积分后变为：

yc

=r

xc

-r=C

非完整约束一般形式为

因为完整约束方程中仅含坐标,它表现为对质点系的几何位置起限制作用,所以这种约束又称为几何约束。

因为非完整约束方程中包含有速度投影量,它仅表现为对质点速度所加的限制,所以这种约束又称为运动约束。ƒ(x1,y1,z1,…,xn,yn,zn;t)=0(=1,2,…,s)（3）定常约束-----约束中不含时间t；非定常约束-----约束条件随时间变化；图示摆悬挂点O´沿铅垂方向的运动规律：

OO´lM（x，y）xx´yO´y（y´）yO´

=asin（t）质点M的约束方程为：例如：如图所示，摆长随时间而变化的单摆，约束方程:

属于非定常约束。如果摆长Lo

不变，约束方程:

x2

＋y2

＝Lo2

则为定常约束。（4）双面约束与单面约束右图中摆锤M的约束方程为

x2+y2=l2在约束方程中用严格的等号表示的约束为双面约束。这种约束如能限制物体向某一方向运动,则必能限制向相反方向运动。

在约束方程中用不等号表示的约束为单面约束。这种约束只能限制物体某个方向的运动,而不能限制相反方向的运动。左图中摆锤M的约束方程为x2+y2

l2OlM（x，y）xy(刚杆)OlM（x，y）xy（线绳）本单元内容只涉及定常的,双面的完整约束。即-----约束中不含时间t、在约束方程中用严格的等号表示、微分约束通过积分，全部化为几何约束。

定义：

质点或质点系（包括刚体），在给定的瞬时和位形上，为约束所容许的任何无限小的位移，称为虚位移。

♣虚位移

如图，系统中质点在平衡时本来是不动的，但我们设想在约束允许条件下，在图示瞬时和位形上，给某个质点一个任意的、极其微小的位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号表示。通常，用δr

表示虚位移矢量，用δx、δy、δz

表示虚位移在

x、y、z

轴上的投影，或者表示x、y、z

的变分。说明：1、虚位移首先必须满足约束方程；

2、虚位移可以有多个（只要是约束允许的）；

3、虚位移和实位移是不同的。

设有一个以x为基本变量的连续可微函数

y(x)，新函数y1(x)是一条无限靠近于原曲线的新曲线。令，称为函数y的变分。

数学基础§15.虚位移原理引言变分§15.虚位移原理引言变分在本书所涉及的范围内，变分的运算与微分的运算规则一致。§15.虚位移原理♣虚位移---基本概念

实位移：是需要时间的真正位移,它除了与约束条件有关外,还与主动力及运动初始条件有关,是系统真实发生的位移，实位移只有一个。虚位移：是一个纯粹的几何概念,它仅涉及约束,不涉及主动力和运动初始条件,也不需要经历时间，是假想的位移，或者称可能的位移。例题14-4铰接于光滑水平面上的直杆OA受力

如图所示。画出点A的实位移和虚位移。xyAMOdrdxyAMOr112r2

在定常的几何约束的情形下,约束的性质与时间无关,微小的实位移是虚位移之一。BABAdrrr例题14-5物块B搁置于三棱体A上,摩擦不计。画出系统由静止开始运动后物块B的实位移和虚位移。

对于非定常约束,由于它的位置或形状随时间而改变,而虚位移与时间无关,把时间t

看作常量；实位移却与时间有关,所以微小的实位移不再是虚位移之一。§15.虚位移原理♣广义坐标---基本概念

定义：

用来确定质点系位置的一些“独立的参变量”称为该质点系的广义坐标。（广义坐标是标量）

曲柄滑块机构（一个广义坐标）双摆杆机构（两个广义坐标）当广义坐标确定后，质点系中每个质点的位置矢径及坐标都是广义坐标的函数。§15.虚位移原理♣广义坐标---基本概念质点的虚位移与广义坐标变分的关系：定义：

对具有定常、双面、几何约束的质点系，确定其位置的独立坐标数目称为该质点系的自由度。

严格的说，应把质点系独立的虚位移数目（或独立的坐标变分数目）称为质点系的自由度。结合前面的例子说明系统的自由度数。在完整约束下：

独立的坐标数目=独立的坐标变分数目§15.虚位移原理♣自由度---基本概念§15.虚位移原理♣自由度---基本概念例2.一带孔的小球M可沿直杆自由滑动。已知直杆在平面内绕P

点以匀角速度ω转动，同时，P点相对于x1O1y1以初速度v0

作匀加速直线运动，加速度为a0，试写出小球M

的约束方程，并判断其性质，求其自由度。小球沿直杆自由滑动，限制了小球的位置，即其中P点的位置坐标：自由度：平面自由质点位置坐标为2，受到1个完整约束，得§15.虚位移原理♣自由度---基本概念1)几何法在定常约束条件下,微小的实位移是虚位移之一。用速度分析的方法来建立质点虚位移之间的关系。OABI1rBrA22例.求图示机构A点和B点的虚位移解:OA杆作定轴转动

rA=

1

(1)

AB杆作平面运动,I为瞬心

rA

=

2

(2)虚位移计算OABI1rBrA22由(1)(2)式得:2

=

1rB

=2

=1也可取1的转向为顺时针转向,画出虚位移图得出rA和

rB的表达式与转向为逆时针是一致的。OABxy2)解析法

先写出各质点的坐标关于广义坐标的表达式,再将各式对广义坐标求变分（与求导方法相同）。广义坐标—独立坐标解:xA=lcos

yA=lsin

xB=2lcos

yB=0例题求图示机构A点和B点的虚位移，OA=AB=lxA=-l1sinyA=l1cosxB=-2l1sin

yB=0定义：

质点或质点系所受的力在虚位移上所做的功称为虚功。虚功有正功和负功，其计算与真实力在实位移上做功的计算方法一样。但是：因为虚位移是假想的，因而虚功也是假想的，它不涉及物理过程，也与能量的变化无关。3、虚功:1)力作虚功

W=Fr2)力矩或力偶矩作虚功

W=m定义：

如果在质点系的任何虚位移上，约束反力的虚功之和等于零，则这种约束称为理想约束。

式中：FNi

表示第i

个质点的约束反力；

δr

i表示第i

个质点的虚位移。♣理想约束工程中有许多约束在一定条件下可看成理想约束，例如：

(1)光滑支承面；

(2)光滑铰链；

(3)不可伸长的柔索；（4）刚体沿固定面纯滚动；等等。♣理想约束(1)光滑接触面Nr

光滑接触面的约束反力恒垂直于接触面的切面,而被约束质点的虚位移总是沿着切面的,即N

rNr=0ABCNN

r(2)连接两刚体的光滑铰链

设AB杆与BC杆在B点用光滑铰链连接。由N=N得

Nr+Nr=Nr-Nr=0(3)连接两质点的无重刚杆

连接两质点的刚杆由于不计自重,均为二力杆。设质点M1和M2的虚位移分别为r1与r2则有:r1cos1

=r2cos2

N1r1

+

N2r2

=N1r1cos1-N2r2cos2=0M1M2

r1r2N1N21233如果质点系受的是双面、定常、理想约束，则静止的质点系在给定位置保持平衡的必要且充分条件是：所有作用于质点系的主动力在该位置的任何虚位移上所作虚功之和等于零。......(a)用数学式表示为：§15.虚位移原理---虚位移原理虚位移原理又称为虚功原理，(a)式又称虚功方程。解析表达式：......

(b)(b)式也称为“静力学普遍方程”。§15-2虚位移原理W(M)=200W(P)=-Psin(L-a)m,求固定端支座A的约束力。rA=l=1502yc=rxc´-r=0-60-160+200+8YA=0说明：1、虚位移首先必须满足约束方程；1、求解复杂系统的平衡条件实位移却与时间有关,所以微小的实位移不令，称为函数y的变分。（即可以限制位置，也可以限制速度、加速度）。AB杆作平面运动，瞬心为B。虚位移原理的应用1、求解复杂系统的平衡条件2)利用几何法或解析法求各虚位移之间的关系3)计算各主动力的虚功4)利用虚位移原理求解约束反力1)画虚位移图例题题：如图所示椭圆规机构中，连杆AB长为l，滑块A、B与杆重均不计，忽略各处摩擦，机构在图示位置平衡。求：主动力FA与FB之间的关系。ABO§15.虚位移原理---虚位移原理ABOP解：研究对象：整个机构系统。系统的约束为理想约束。用虚位移原理求解。法一根据虚速度法（速度投影定理或速度瞬心法）可求出虚位移之间的关系：代入虚功方程解出：§15.虚位移原理---虚位移原理法二解析法A、B两点坐标：虚功方程坐标变分代入虚功方程解出：§15.虚位移原理---虚位移原理ABOP取为广义坐标例一已知：图示机构，AC=BC=EC=FC=DE=DF=L，忽略摩擦和杆、

滑块的自重，杆ACF及杆BCE

与水平线夹角φ=θ。

在D点作用铅垂力P。

求：为保持机构在图示位置平衡，作用于滑块B上的水平力F

的大小。§15.虚位移原理---虚位移原理解:设手轮的虚位移为解:截断CD杆代之内力SC和SD,且SC=SD=S

画虚位移图。1=2=虚位移原理提供了任意质点系平衡的必要且充分条件，理想约束的约束反力在方程中不再出现，为解方程带来了方便。AB杆作水平方向平动。3、虚位移和实位移是不同的。Nr+Nr=Nr-Nr=0FB=（M+Psina）/L把上式代入虚位移原理的矢量表达式得:rB=200cos30o2W(P)=15013)计算各主动力的虚功质点或质点系所受的力在虚位移上所做的功称为虚功。W(XB)=2aXB(i=1,2,…,n)因为非完整约束方程中包含有速度投影量,它仅表现为=-1000cos30o2解：①研究对象：整个机构。

②受主动力：P，F

③取坐标轴如图，列虚功方程：

－PδyD－FδxB＝0...…*

（注：方程中各项正负号的含义要清楚！）

§15.虚位移原理---虚位移原理δyDδxB④求虚位移

δyD

、δxB

先写出点D、B

的坐标：再求变分得：注意：求变分与求微分方法相同。§15.虚位移原理---虚位移原理δyDδxB⑤将δyD

、δxB

代入虚功方程*，并求解：

∵δθ≠0

（可任意取值）则有:

解出：§15.虚位移原理---虚位移原理思考：（1）如果计各杆自重，虚功方程如何写？（2）如果C、D间连一弹簧，虚功方程如何写？说明：本例虚功方程是用分析式写出，虚位移是通过坐标变分求得,这是求虚位移的方法之一。

除此之外，还可用“虚速度法”求虚位移。请看下例。

§15.虚位移原理---虚位移原理例题在螺旋压榨机的手轮上作用一矩为M的力偶。在与手轮固接的螺杆两端刻有螺距为h的相反螺纹，当手轮转动时，两螺母A、B沿螺杆运动方向相反，从而可改变角的大小及物体所受的压力。求当边长为a的菱形ABCD的顶角为2时，压榨机对物体的压力。ABCDaaaaMxAPyx解:设手轮的虚位移为由虚位移原理：M+Pyc=0

ABCDaaaaMxAPyx

2/h=/xA

xA=h/2xA=asinxA=acos

yC=2acosyC=-2asin

P=Mcot/h=2acos

/h

滑套D套在光滑直杆AB上，并带动杆CD在铅直滑道上滑动。已知=0o时，弹簧等于原长，弹簧刚度系数为5(kN/m)，求在任意位置（角）平衡时，加在AB杆上的力偶矩M？例四§15.虚位移原理---虚位移原理解：去除弹簧，代之以弹簧力F,F′。将弹簧力计入主动力，系统简化为理想约束系统。§15.虚位移原理---虚位移原理选择AB杆、CD杆和滑套D的系统为研究对象。取为广义坐标。由虚位移原理，得：

§15.虚位移原理---虚位移原理双摆杆机构（两个广义坐标）1）每次解除一个约束代之一约束反力W(Q2)=2162xA=acos广义力表示的质点系的平衡条件*变分求得,这是求虚位移的方法之一。小球沿直杆自由滑动，限制了小球的位置，即W(FAx)=FAxrA虚位移：是一个纯粹的几何概念,它仅涉及约束,不涉及主动力和运动初始条件,也不需要经历时间，是假想的位移，或者称可能的位移。约束方程：用数学方程描述约束条件的方程。W(P)=aP质点的矢径也可表示为广义坐标的函数.W(FAx)=FAxrAW(P)=aP3)计算各主动力的虚功(看作主动力)并选取适当的广义坐标例题图示结构由大齿轮(刚接鼓轮)O1,小齿轮O及

曲柄OA(与小齿轮O刚连),连杆AB,滑块B,弹簧等组成已知重物重Q=100N,弹簧的刚性系数k=5N/cm,鼓轮半径r1=20cm,大、小齿轮半径分别为r2=40cm,r3=10cm,曲柄OA长l=50cm且=30o,=90o.略去曲柄及连杆重量。不计摩擦。求结构在图示位置平衡时弹簧的变形量。O1AOBQQO1G4G3G1BOAF解:画虚位移图II为AB杆的瞬心rrQrQrArB212

利用虚位移图计算

各虚位移间的关系rQ

=r11=201r

=r21=r3=41rA=l=150241=32rB

=200cos30o2QO1G4G3G1BOAFIrrQrQrArB212利用虚位移图计算虚功.W(Q)=QrQ

=20001W(F)=-FrB=-1000cos30o2由虚位移原理得:20001-1000cos30o2=0QO1G4G3G1BOAFIrrQrQrArB2122、求约束反力2)利用几何法或解析法求各虚位移之间的关系3)计算各主动力的虚功4)利用虚位移原理求解约束反力1）每次解除一个约束代之一约束反力

(看作主动力)并选取适当的广义坐标例题简支梁如图所示，求约束反力。ABLaPCMABPCFBrBM解：（AB梁，静定问题，自由度为零。）(1)解：除B处约束，代之以反力FB，画虚位移图。

AB杆作定轴转动。由力矩的虚功：由虚位移原理得：W(M)=-MW(P)=-PsinaW(FB)=FBL-M-Psina+FBL=0FB=（M+Psina）/L(2)解除A处水平方向约束，代之以反力FAX，画虚位移图。AB杆作水平方向平动。

由力的虚功：

由虚位移原理得：-Pcosrc+FAxrA=0FAx=PcosW(M)=0W(P)=-PcosrcW(FAx)=FAxrArA=rcABPCMFAxrArc(3)解除A处铅垂方向约束，代之以反力FAy，画虚位移图。AB杆作平面运动，瞬心为B。由力矩的虚功：

由虚位移原理得：W(M)=MW(P)=-Psin(L-a)W(FAy)=FAyL-Psin(L-a)+FAyL+M=0FAy=(Psin(L-a)-M)/LABPCMFAyrA例题.三铰拱如图所示,求支座B的约束反力ABCmPaaa图1-1C解:解除支座B的铅垂约束,代之约束反力YB

,

画虚位移图。

rC12rBA为BC杆的瞬心

YBAmPBArC

=(AC)1

=(AC)2

1=2=

利用虚位移图计算虚功

W(m)=m由虚位移原理得:

m+aP-2aYB=0利用虚位移图得:

W(P)=aPW(YB)=-2aYB

CrC12rBYBmPBA

解除支座B的水平约束,代之约束反力XB,

画虚位移图。rC1IrB22I为BC杆的瞬心XBBACPm利用虚位移图得:rC

=(AC)1=(IC)21=2=利用虚位移图计算虚功W(m)=mW(P)=aPW(XB)=2aXB由虚位移原理得:m+aP+2aXB

=0rBrC1IXBBACPm22

例题多跨梁由AC和CE用铰C连接而成。

荷载分布如图示。P=50KN,均布荷载

q=4KN/m,力偶矩m=36KN.m;

求支座A、B和E的约束反力。3m3m6m6m6mABCDEPqm解:解除支座A的约束,代之约束反力RA,画虚位移图如下。其中Q1=24KN,Q2=24KN

3m

3m3m3m3m3m6mAEmBCDPQ1Q2RA12rArC

B是AC杆的瞬心.

E是CE杆的瞬心.利用虚位移图得:

rC

=(BC)1

=(CE)2

1=22

EB3m

3m3m3m3m3m6mAEmBCDPQ1Q2RA12rArCW(RA)=6RA1

W(P)=-1501利用虚位移图计算虚功

6RA1-1501+721+2162-362=0RA=-2

W(Q1)=721W(Q2)=2162W(m)=-362由虚位移原理得:解除支座B的约束,代之约束反力RB,画虚位移图.

E是CE杆的瞬心.利用虚位移图得:rC

=(AC)1

=(CE)21

=2=RBrC12AEDCPQ1

Q2mEW(P)=1501

利用虚位移图计算虚功由虚位移原理得:RB=91W(RB)=-6RB1W(Q1)=2161W(Q2)=2162W(m)=-362-6RB1+1501+2161+2162-362=0RBAEDCPQ1

Q2rC12m

解除支座E的约束,代之约束反力RE画虚位移图

AC杆,静定,自由度为零。C处固定,CE杆绕D转动。

RErE利用虚位移图计算虚功W(RE)=-12REW(m)=36W(Q2)=72由虚位移原理得:-12RE

+72+36=0RE=9APQ1Q2mBCDE

例题.刚架受荷载如图示。P1=10kN,q=5kN/m,

P2=80kN,M=200kN.m,求固定端支座A的约束力。

41324P2P18ABCMq2P1ABCMP2QI1rBMArC22I为BC部分的瞬心解:解除A端的转动约束代之

约束力偶矩MA。画虚位移图。rC=(AC)1=(IC)21利用虚位移图计算虚功P1ABCMP2QI1rBMArC22W(MA)=MA1W(P1)=-301W(Q)=-1202=

-601W(P2)=-1602

=-801W(M)=2002=1001由虚位移原理得:MA1-301-601-801+1001=0MA=70P1ABCMQP2XArrrr

解除A端的水平约束代之约束反力

XA画虚位移图.由虚位移原理得:利用虚位移图计算虚功W(P1)=10rW(XA)=XAr10r+XAr=0XA=-10AC杆和BC杆均平动W(Q)=W(P2)=W(M)=0解除A端的竖直约束代之约束反力YA画虚位移图AC杆平动.I为BC部分的瞬心.P2P1ABCMQIrCrBrAYA利用虚位移图计算虚功YA由虚位移原理得:-60-160+200+8YA=0W(YA)=YArA=8YAW(M)=200W(P2)=-160W(Q)=-60W(P1)=0P2P1ABCMQIrCrBrAYA例题1一桁架如下图所示,求CD杆的内力。

PPPPPQQCBADEFGHK55533、求杆件内力解:截断CD杆代之内力SC和SD,且SC

=SD

=S

画虚位移图。PPPPPQQCBADEFGHK5553SDSCG21rKG为DEFHGK部分的瞬心rK=51=1021=22利用虚位移图计算虚功PPPPPQQCBADEFGHK5553SDSCG21rKW(SC)=0W(SDSD2W(Q)=0W(P)=(2.5+5)P1+(7.5+5+2.5)P2P1+15P2由虚位移原理得:P1+15P2+

SD2=0SC

=SD

=S(1)广义虚位移和广义力.

在一般情况下,设一个由n个质点组成的质点系,受有s个定常的完整约束,则系统具有k=2n-s个自由度.

如以q1,q2,…qk表示所选定的广义坐标,则质点系中任一质点Mi的直角坐标可以表示为广义坐标的函数.xi=xi(q1,q2,…,qk)yi=yi(q1,q2,…,qk)(i=1,2,…,n)---多自由度系统广义力表示的质点系的平衡条件*§15.虚位移原理质点的矢径也可表示为广义坐标的函数.ri=

ri(q1,q2,…,qk)(i=1,2,…,n)对上式进行变分得;(i=1,2,…,n)把上式代入虚位移原理的矢量表达式得:交换上式中与相加的次序得:令虚位移原理可以简写为上式中称为对应于广义坐标的广义虚位移.qjqj称为对应于广义坐标的广义力Qjqj(1)

由于各广义虚位移是彼此独立的,所以(1)式成立时,必须Q1=0,Q2=0,…,Qk=0(2)具有双面,定常,理想约束的质点系,其平衡的必要和充分条件:在某一给定的平衡位置上,对应于各个广义坐标的广义力都等于零.Qj

＝0，j＝1、2、......k下面给出广义力的三种计算方法：法①：用定义计算；

法②：因为δqj

全部独立，因此