二阶常系数线性微分方程欧拉方程演示文稿

二阶常系数线性微分方程欧拉方程演示文稿目前一页\总数五十四页\编于十一点优选二阶常系数线性微分方程欧拉方程目前二页\总数五十四页\编于十一点6.6.1二阶常系数齐次线性微分方程形如的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程，即特征方程目前三页\总数五十四页\编于十一点二阶常系数齐线性微分方程的特征方程为是方程(1)的两个线性无关的解，故方程(1)的通解为目前四页\总数五十四页\编于十一点二阶常系数齐线性微分方程的特征方程为由求根公式目前五页\总数五十四页\编于十一点由刘维尔公式求另一个解：于是，当特征方程有重实根时，方程(1)的通解为目前六页\总数五十四页\编于十一点二阶常系数齐线性微分方程的特征方程为3)特征方程有一对共轭复根：是方程(1)的两个线性无关的解，其通解为利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位i。目前七页\总数五十四页\编于十一点欧拉公式：由线性方程解的性质：均为方程(1)的解，且它们是线性无关的：目前八页\总数五十四页\编于十一点故当特征方程有一对共轭复根时，原方程的通解可表示为目前九页\总数五十四页\编于十一点二阶常系数齐线性微分方程特征方程特征根通解形式目前十页\总数五十四页\编于十一点例解目前十一页\总数五十四页\编于十一点例解目前十二页\总数五十四页\编于十一点例解故所求特解为目前十三页\总数五十四页\编于十一点例解此时弹簧仅受到弹性恢复力f

的作用。求反映此弹突然放手，开始拉长，簧运动的规律（设其弹性系数为

k）。取x轴如如图所示。由力学的虎克定理，有（恢复力与运动方向相反）由牛顿第二定律，得（略）目前十四页\总数五十四页\编于十一点它能正确描述我们的问题吗？记拉长后，突然放手的时刻为我们要找的规律是下列初值问题的解：目前十五页\总数五十四页\编于十一点从而，所求运动规律为简谐振动目前十六页\总数五十四页\编于十一点n阶常系数齐线性微分方程形如的方程，称为n阶常系数齐线性微分方程，目前十七页\总数五十四页\编于十一点n阶常系数齐线性微分方程的特征方程为特征根通解中的对应项目前十八页\总数五十四页\编于十一点例解例6.50求下列方程的通解：解目前十九页\总数五十四页\编于十一点故原方程的通解为故原方程的通解为目前二十页\总数五十四页\编于十一点6.6.2二阶常系数非齐线性微分方程形如的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程，它对应的齐方程为我们只讨论函数f(x)

的几种简单情形下，(2)的特解。目前二十一页\总数五十四页\编于十一点方程(2)对应的齐方程(1)的特征方程及特征根为单根二重根一对共轭复根你认为方程应该有什么样子的特解？目前二十二页\总数五十四页\编于十一点假设方程有下列形式的特解：则代入方程(2)，得即方程(3)的系数与方程(2)的特征根有关。目前二十三页\总数五十四页\编于十一点由方程(3)及多项式求导的特点可知，应有方程(2)有下列形式的特解:目前二十四页\总数五十四页\编于十一点由多项式求导的特点可知，应有方程(2)有下列形式的特解:目前二十五页\总数五十四页\编于十一点由多项式求导的特点可知，应有方程(2)有下列形式的特解:目前二十六页\总数五十四页\编于十一点定理1当二阶常系数非齐线性方程它有下列形式的特解：其中：

目前二十七页\总数五十四页\编于十一点例解对应的齐方程的特征方程为特征根为对应的齐方程的通解为将它代入原方程，得目前二十八页\总数五十四页\编于十一点比较两边同类项的系数，得故原方程有一特解为综上所述，原方程的通解为目前二十九页\总数五十四页\编于十一点例解对应的齐方程的特征方程为特征根为对应的齐方程的通解为将它代入原方程，得目前三十页\总数五十四页\编于十一点上式即故原方程有一特解为综上所述，原方程的通解为目前三十一页\总数五十四页\编于十一点例解对应的齐方程的通解为综上所述，原方程的通解为目前三十二页\总数五十四页\编于十一点例6.54解目前三十三页\总数五十四页\编于十一点代入原方程得目前三十四页\总数五十四页\编于十一点所以故原方程的通解为例6.55解根据定理6.7（P315），原方程的特解由目前三十五页\总数五十四页\编于十一点代入原方程得故原方程的特解为目前三十六页\总数五十四页\编于十一点故原方程的通解为例6.56解目前三十七页\总数五十四页\编于十一点代入原方程得于是故原方程的通解为目前三十八页\总数五十四页\编于十一点故原方程满足初始条件的特解为目前三十九页\总数五十四页\编于十一点欧拉公式：定理6.8的一个特解。目前四十页\总数五十四页\编于十一点目前四十一页\总数五十四页\编于十一点例解代入上述方程，得从而，原方程有一特解为目前四十二页\总数五十四页\编于十一点例解代入上述方程，得比较系数，得目前四十三页\总数五十四页\编于十一点从而，原方程有一特解为故目前四十四页\总数五十四页\编于十一点例解由上面两个例题立即可得目前四十五页\总数五十四页\编于十一点例解对应的齐次方程的通解为将它代入此方程中，得从而，原方程有一特解为目前四十六页\总数五十四页\编于十一点故原方程的通解为目前四十七页\总数五十四页\编于十一点例6.59解原方程可化为两端对x求导得整理得两端再对x求导得目前四十八页\总数五十四页\编于十一点此为常系数线性微分方程，其对应的齐次方程为特征方程为故齐次方程通解为故，自由项为1时原方程的特解可设为目前四十九页\总数五十四页\编于十一点代入原方程得目前五十页\总数五十四页\编于十一点由此得注意到由方程（5-69）、（5-70）有所以有解之得目前五十一页\总数五十四页\编于十一点5.5.3欧拉方程（略）形如的方程，称为n

阶欧拉方程，其中关于变量