信息论与编码考试及答案

信息论与编码考试及答案1/11———————————————————————————————— 作者：———————————————————————————————— 日期：2/11个人收集整理，勿做商业用途一、（11’）填空题（1）1948年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。（2）必然事件的自信息是0。（3）离散平稳无记忆信源X的N次扩展信源的熵等于离散信源X的熵的N倍。（4）对于离散无记忆信源，当信源熵有最大值时，满足条件为__信源符号等概分布_。5）若一离散无记忆信源的信源熵H（X）等于2.5，对信3/11个人收集整理，勿做商业用途源进行等长的无失真二进制编码，则编码长度至少为3。（6）对于香农编码、费诺编码和霍夫曼编码，编码方法惟一的是香农编码。（7）已知某线性分组码的最小汉明距离为3，那么这组码最多能检测出_2_______个码元错误，4/11个人收集整理，勿做商业用途最多能纠正___1__个码元错误。（8）设有一离散无记忆平稳信道，其信道容量为C，只要待传送的信息传输率R__小于___C（大于、小于或者等于），则存在一种编码，当输入序列长度n足够大，使译码错误概率任意小。（9）平均错误概率不仅与信道本身的统计特性有关，还与___译码规则____________和___编码方法___有关二、（9）判断题（1）信息就是一种消息。（）（2）信息论研究的主要问题是在通信系统设计中如何实现信息传输、存储和处理的有效性和可靠性。（）（3）概率大的事件自信息量大。（）（4）互信息量可正、可负亦可为零。（）（5）信源剩余度用来衡量信源的相关性程度，信源剩余度大说明信源符号间的依赖关系较小。（）（6）对于固定的信源分布，平均互信息量是信道传递概率的下凸函数。（）（7）非奇异码一定是唯一可译码，唯一可译码不一定是非奇异码。（）（8）信源变长编码的核心问题是寻找紧致码（或最佳码），霍夫曼编码方法构造的是最佳码。（）（9）信息率失真函数R(D)是关于平均失真度D的上凸函数.()三、（5）居住在某地区的女孩中有 25%是大学生，在女大学生中有 75%是身高1.6米以上的，而女孩中身高 1.6米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高 1.6米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？解：设A表示“大学生”这一事件， B表示“身高1.60以上”这一事件，则P(A)=0.25p(B)=0.5p(B|A)=0.75 （2分）故 p(A|B)=p(AB)/p(B)=p(A)p(B|A)/p(B)=0.75*0.25/0.5=0.375 （2分）I(A|B)=-log0.375=1.42bit （1分）5/11个人收集整理，勿做商业用途四、（5）证明：平均互信息量同信息熵之间满足I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(XY)证明：IX;YpxiyjpxiyjlogXYpxipxiyjlogpxipxiyjlogpxiyj（2分）XYXYHXHXY同理IX;YHYHYX（1分）则HYX HY IX;Y因为HXYHXHYX（1分）故HXY HX HY IX;Y即IX;YHXHYHXY（1分）五、（18’）.黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，求：1）黑色出现的概率为 0.3，白色出现的概率为 0.7。给出这个只有两个符号的信源 X的数学模型。假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵 HX；2） 假设黑白消息出现前后有关联，其依赖关系为 ， ，6/11个人收集整理，勿做商业用途， ，求其熵H X 。3）分别求上述两种信源的冗余度，比较它们的大小并说明其物理意义。解：1）信源模型为（1分）（2分）2）由题意可知该信源为一阶马尔科夫信源。由得极限状态概率3）1H(X)10.119log221H(X)2l0.447o2g2

2分）4分）（2分）（3分）1分）1分）1。说明：当信源的符号之间有依赖时，信源输出消息的不确定性减弱。而信源冗余度正是反映信源符号依赖关系的强弱，冗余度越大，依赖关系就越大。（2分）六、（18’）.信源空间为7/11个人收集整理，勿做商业用途Xx1x2x3x4x5x6x7，试分别构造二元香农码和二元霍夫P(X)0.20.190.180.170.150.10.01曼码，计算其平均码长和编码效率（要求有编码过程）。7Lp(ai)li3.14i1RH(X)2.610.831L3.148/11个人收集整理，勿做商业用途p(x1)11/21/31/64七（6’）.设有一离散信道，其信道传递矩阵为1/61/21/3，并设p(x2)1，试分别按1/31/61/22p(x3)14最大后验概率准则与最大似然译码准则确定译码规则，并计算相应的平均错误概率。1）（3分）最小似然译码准则下，有，2）（3分）最大后验概率准则下，有，9/11个人收集整理，勿做商业用途八（10）.二元对称信道如图。3 11）若p0 ，p1 ，求H X、HX|Y和IX;Y；4 42）求该信道的信道容量。解：1）共6分HX|Y 0.749bit/符号2）， （3分）此时输入概率分布为等概率分布。 （1分）0 0 0 1 1 1九、（18）设一线性分组码具有一致监督矩阵 H 0 1 1 0 0 11 0 1 0 1 11）求此分组码 n=?,k=?共有多少码字？2）求此分组码的生成矩阵 G。3）写出此分组码的所有码字。4）若接收到码字（ 101001），求出伴随式并给出翻译结果。解：1）n=6,k=3,共有8个码字。（3分）2）设码字CC5C4C3C2C1C0由HCT0T得C2C1C00C4C3C00C5C3C1C00（3分）10/11个人收集整理，勿做商业用途令监督位为C2C1C0，则有C2C5C3C1C5C4C0C4C3（3分）100110010011生成矩阵为001101（2分）3）所有码字为000000，001