【高中数学】正态分布（1）课件 2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第七章随机变量及其分布 7.5正态分布(1)高斯分布

高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，早期德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”，正态分布也称高斯分布。正态分布曲线是一条钟形曲线．早在18世纪30年代，棣莫弗、斯特灵等数学家就有所研究。3在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标(如零件的尺寸、维的纤度等)；在测量中，长度测量误差，某一地区同年龄人群的身高、体重等；在生物学中，一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等；在现实生活中，许多随机变量都服从或近似服从正态分布：正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。正态分布在概率和统计中占有重要地位。4问题情境：自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g.由于各种不可控制的因素,任意抽取一袋食盐,它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用X表示这种误差,则X是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐,获得误差X(单位:g)的观测值如右:-0.6-1.4-0.73.3-2.9-5.21.40.14.40.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.91.20.5-3.72.71.1-3.0-2.6-1.91.72.60.42.6-2.0-0.21.8-0.7-1.3-0.5-1.30.2-2.12.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.53.5-4.2-1.0-0.20.10.91.12.20.9-0.6-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.62.20.34.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-0.9-2.2-0.71.31.5-1.5-2.21.01.31.7-

0.9(1)如何描述这100个样本误差数据的分布?(2)如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布?根据已学的统计知识，可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布，如图(1)所示.频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，所有小矩形的面积之和为1.思考：随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，频率分布直方图的轮廓会发生什么变化？0-6-420-2频率/组距0.050.100.150.20X46(1)观察两个图形可知:误差观测值有正有负，并大致对称地分布在X=0的两侧，而且小误差比大误差出现得更频繁.

随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线.n=9n=50n=107根据频率与概率的关系，可用图(3)中的钟形曲线(曲线与水平轴之间的区域的面积为1)来描述袋装食盐质量误差的概率分布.右图所示的就是一块高尔顿板示意图.在一块木板上钉上若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内。高尔顿板如果把球槽编号，就可以考察到底是落在第几号球槽中.重复进行高尔顿板试验,随着试验次数的增加,掉入各个球槽内的小球的个数就

越来越多 ,堆积的高度也会越来越高 .各个球槽的堆积高度反映了小球掉入各球槽的个数多少?频率组距o钟型曲线正态密度曲线（简称正态曲线）相应的函数解析式为：(其中μ∈R，σ>0为参数.)若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ,σ2).特别地，当μ=0,σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布X~N(0,1).钟形曲线不但形状优雅，其对应的密度函数写成数学表达式也非常具有数学的美感，其标准化后的概率密度函数更加的简洁漂亮，两个最重要的数学常量π和e都出现在了公式之中，它也属于top-N的最美丽的数学公式之一，因为这个分布戴着神秘的面纱，在自然界中无处不在，让你在纷繁芜杂的数据背后看到隐隐的秩序。由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点:正态密度曲线（简称正态曲线）(1)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；具有两头低、中间高、左右对称的基本特征(2)曲线在x=μ处达到峰值(最高点)；(3)正态曲线在x轴上方，两侧与x轴无限接近而不相交；(4)x轴和曲线之间的区域的面积为1.频率组距o钟型曲线x=μ思考:一个正态分布由参数μ和σ完全确定,这两个参数对正态曲线的形状有何影响?它们反映正态分布的哪些特征?当μ一定时,σ越大,曲线越“矮胖”;σ越小,曲线越“瘦高”.反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度,相当于“标准差”正态曲线的位置随着μ的变化而沿着x轴左右平移，规律：左“-”右“+”.反映了正态分布的集中位置，相当于“均值”练习：1.若X～N(2,3)，则E(X)=______，D(X)=_______.

2.X～N(μ,σ2)，若E(X)=3，σ(X)=2，则μ=______，σ=______.

2332正态密度曲线（简称正态曲线）的性质：(1)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；(2)曲线在x=μ处达到峰值(最高点)；(3)正态曲线在x轴上方，两侧与x轴无限接近而不相交；(4)x轴和曲线之间的区域的面积为1.(5)若X~N(μ,σ2)，则E(X)=μ,D(X)=

σ2.其中，

μ确定正态曲线的位置；

σ取得随机变量分布的离散程度。例题1√

A导学案P110正态曲线下的面积规律：-x1-x2

x2

x1a-a正态曲线下对称区域的面积相等对应的概率也相等利用“对称法”求正态分布下随机变量在某个区间的概率.P(X≤-a)=P(X≥a)P(-x1≤X≤-x2)=P(x2≤X≤x1)

注意概率值的求解转化练习3

若X～N(1,σ2)，且P(X<0)=a，则(1)P(X>1)=_________；(2)P(X>0)=_________；(3)P(0<X<1)=_______；(4)P(X<2)=_________；(5)P(0<X<2)=_______.012-1-2xy-334μ=10.51-a0.5-a1-a1-2a关键：画出正态曲线的简图课本87页

2.设随机变量X~N(0,22)，随机变量Y~N(0,32)，画出分布密度曲线草图，并指出P(X≤-2)与P(X≤2)的关系，以及P(|X|≤1)与P(|Y|≤1)之间的大小关系.O1-1xyσ=3σ=22-2解：作出分布密度曲线如图示，由图可知，课堂小结：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布