梁横截面上的正应力与梁的正应力强度

10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度10.6梁横截面上的正应力

与梁的正应力强度10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度梁在弯曲时横截面上一般同时有剪力FS和弯矩M两种内力。剪力引起剪应力，弯矩引起弯曲正应力。下面先研究梁在弯矩作用下引起的弯曲正应力及正应力强度一、梁在纯弯曲时横截面上的正应力如图所示简支梁的CD段，其横截面上只有弯矩而无剪力，这样的弯曲称为纯弯曲。AC、DB段横截面上既有弯矩又有剪力，这种弯曲称为剪切弯曲。10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度为了使问题简化，和研究圆轴扭转变形一样，我们在分析梁纯弯曲时横截面上的正应力时，从变形的几何关系、物理关系、静力平衡关系三方面来分析。10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度1．变形的几何关系取具有竖向对称轴的等直截面梁（以矩形截面梁为例），在梁受弯曲前先在梁的表面画上许多与轴线平行的纵向直线和与轴线垂直的横向直线，然后在梁的两端施加力偶M，使梁产生纯弯曲，此时可以看到如下现象：10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度1）所有的纵向直线受弯变形后，都被弯成向下凸的曲线，其中靠近凹面的纵向直线缩短了，而靠近凸面的纵向直线伸长了。2）所有的横向直线受弯变形后仍保持为直线,可是相对转过了一个角度,其中左边一侧的横向直线顺时针转,而右边一侧的横向直线逆时针转,但各横向线仍与弯成曲线的纵向线垂直10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度根据所看到的表面现象，由表及里地推测梁的内部变形，作出两个假设：（1）平面假设：梁的横截面在弯曲变形前为平面，在受弯变形后仍保持为平面，且垂直于弯成曲线的轴线。（2）单向受力假设：将梁看成由无数根纵向纤维组成，各纤维只受到轴向拉伸或压缩，不存在相互挤压现象。10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度根据以上假设,靠近凹面的纵向纤维缩短了,靠近凸面的纵向纤维伸长了。由于变形具有连续性,因此,纵向纤维从缩短到伸长,必有一层纤维既不伸长也不缩短,这层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。中性轴将横截面分为受拉区域和受压区域。10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度从纯弯曲梁中取出一微段dx，如左上图所示。左下图为梁的横截面，设y轴为纵向对称轴，z轴为中性轴。右图为该微段纯弯曲变形后的情况。其中O1O2为中性层，O为两横截面mm和nn旋转后的交点，ρ为中性层的曲率半径，两个截面间变形后的夹角是d

，现求距中性层为y的任意一层纤维ab的线应变。10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度纤维ab的原长为变形后的长为所以纤维的线应变为10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度距中性层为y的任意一层纤维ab的线应变为对于长度、材料与截面都确定的梁来说，ρ必是常数。所以上式表明，梁横截面上任意一点处的纵向线应变，与该点到中性轴的距离成正比。10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度2.物理关系根据纵向纤维的单向受力假设，当材料在线弹性范围内变形时，根据胡克定理可得由于对长度、材料与截面都确定的梁，E和ρ是常数，因此上式表明：横截面上任意一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比。即弯曲正应力沿梁高度按线性规律分布，如图。10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度3.静力平衡关系上面式（10－5）只给出了正应力的分布规律，但因中性轴的位置尚未确定，曲率半径的大小也不知道，故不能利用此式求出正应力。需利用静力平衡关系进一步导出正应力的计算式。在横截面上K点处取一微面积dA，K点到中性轴的距离为y，K点处的正应力为σ，则各微面积上的法向分布内力σdA组成一空间平行力系，如图。10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度因为在横截面上无轴力，只有弯矩，由此得

将式（10－5）代入式（10－6）得即：10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度上式表明截面对中性轴的静矩等于零。由此可知，中性轴z必然通过横截面的形心。将(10－5)式代入(10－7)式得式中是横截面对中性轴的惯性矩（见第七章）。于是得梁弯曲时中性层的曲率表达式为10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度式（10－8）是研究梁弯曲变形的基本公式。式中ρ表示梁的弯曲程度。EIZ表示梁抵抗弯曲变形的能力，称为梁的抗弯刚度。将此式代入式（10－5）得式（10－9）即为梁纯弯曲时横截面上正应力的计算式。它表明：梁横截面上任意一点的正应力σ与截面上的弯矩M和该点到中性轴的距离y成正比，而与截面对中性轴的惯性矩成IZ反比。在计算时，弯矩M和需求点到中性轴的距离y按正值代入公式。而正应力的性质（正负）可根据弯矩及所求点的位置来判断。

10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度归纳有关主要内容：1.几何关系：2.物理关系：3.相关结论：中性轴z必然通过横截面的形心10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度应注意：正应力公式的适用条件如下：1）梁横截面上的最大正应力不超过材料的比例极限2）公式（10－9）虽然是根据梁的纯弯曲推导出来的，对于同时受剪力和弯矩作用的梁，当梁的跨度l与横截面的高度h之比l

/h

＞5时，剪应力的存在对正应力的影响很小，可忽略不计，所以此式也可用于计算同时受剪力和弯矩作用的梁横截面上的正应力。10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度二、梁弯曲时的最大正应力对于等直梁而言，截面对中性轴的惯性矩Iz不变，所以弯矩M越大正应力就越大，y越大正应力也越大。如果截面的中性轴同时又是对称轴（例如矩形、工字形等），则最大正应力发生在绝对值最大的弯矩所在的截面，且离中性轴最远的点上，当梁受横力弯曲时，上面公式仍然适用，所以

式中：WZ=IZ/ymax称为抗弯截面系数。如果截面的中性轴不是截面的对称轴（例如T形截面），则最大正应力可能发生在最大正弯矩或最大负弯矩所在的截面。10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度注意两种截面形式：（1）对称截面：

y1max=y2max（2）非对称截面：

y1max＞y2max10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度例10－13，如图所示，矩形截面简支梁受均布荷载q作用。已知q

=4kN/m，梁的跨度l=3m，高h=180mm，宽b=120mm。试求：（1）C截面上a、b、c三点处的应力。（2）梁内最大正应力及其所在位置。10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度解：（1）求支坐反力。

FAy=FBy=ql/2=6kN（向上）（2）计算C截面各点的正应力C截面的弯矩：MC=6×1－4×1×0.5=4kN⋅m截面对中性轴的惯性矩抗弯截面系数10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度计算C截面a、b、c各点的正应力(3)计算梁内最大正应力：梁的弯矩图如图所示，最大弯矩发生在跨中，其值为：Mmax=ql2/8=4×32/8=4.5kN﹒m，10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度所以，梁内最大正应力发生在跨中截面的上下边缘处，其中最大拉应力发生在跨中截面的下边缘处，最大压应力发生在跨中截面的上边缘处，其值为10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度三、梁的正应力强度为了保证梁能安全正常的工作，必须使梁内的最大正应力不能超过材料的许用应力，这就是梁的正应力强度条件。1.对于抗拉和抗压能力相同的塑性材料，其正应力的强度条件为2.对于抗拉和抗压能力不同的脆性材料，其正应力的强度条件分别为10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度利用正应力的强度条件，可以解决与强度有关的三类问题：强度校核、设计截面尺寸和确定许可载荷。例10－14外伸梁的受力情况及其截面尺寸如图所示，材料的许用拉应力[t

]=30MPa，许用压应力[c]=70MPa。试校核梁的正应力强度。10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度解：（1）求支座反力：根据梁的平衡，求得FAy=10kN，FBy=20kN（2）计算截面几何性质如图所示，设参考轴z，截面形心C的位置为10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度截面对中性轴z的惯性矩为（3）画弯矩图，计算梁内最大拉、压应力。梁的弯矩图如图所示。10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度由于中性轴z不是截面的对称轴，所以最大正弯矩所在的截面C和最大负弯矩所在的截面B都可能存在最大拉、压应力。计算C截面：MC=10kN⋅m

其分布如图所示。10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度计算B截面：MB=－20kN⋅m其分布如图所示。

10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度如图，可见梁内最大拉应力发生在C截面的下边缘，其值为tmax=34.49MPa，最大压应力发生在B截面的下边缘，其值为cmax=

68.98MPa。（3）校核强度。因为tmax=34.49MPa＞[t]，所以C截面的抗拉强度不够，梁将会沿C截面（下边缘开始）发生破坏。10.6梁横截面上的正应力与梁的正应力强度例1