南京市2018届高三年级第三次模拟考试及答案

南京市2018届高三年级第三次模拟考试及答案南京市2018届高三年级第三次模拟考试及答案30/30高三数学试卷第30页共30页南京市2018届高三年级第三次模拟考试及答案南京市2018届高三年级第三次模拟考试及答案南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学2018.051．集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2－4＝0}，则A∪B=eq\o(▲,\s\do1(________))．2．已知复数z的共轭复数是eq\o(\s\up5(－),z)．若z(2－i)＝5，其中i为虚数单位，则eq\o(\s\up5(－),z)的模为eq\o(▲,\s\do1(________))．S←1I←1WhileI＜8S←S＋2I←I＋3EndWhilePrintS3．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为eq\o(▲,\s\do1(________))．((第3题图)((第4题图)4．根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为eq\o(▲,\s\do1(________))．5．已知A，B，C三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A与B在相邻两天值班的概率为eq\o(▲,\s\do1(________))．6．若实数x，y满足eq\b\lc\{(\a\al(x－y－3≤0，,x＋2y－5≥0，,y－2≤0，))则eq\f(y,x)的取值范围为eq\o(▲,\s\do1(________))．7.已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：=1\*GB3①若l⊥α，l⊥β，则α∥β；=2\*GB3②若l⊥α，α⊥β，则l∥β；=3\*GB3③若l∥α，l⊥β，则α⊥β；=4\*GB3④若l∥α，α⊥β，则l⊥β．其中真命题为eq\o(▲,\s\do1(________))（填所有真命题的序号）．8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率为eq\o(▲,\s\do1(________))．9．若等比数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，且a1=1，S6=3S3，则a7的值为eq\o(▲,\s\do1(________))．10．若f(x)是定义在R上的周期为3的函数，且f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x＋a，0≤x≤2，,－6x＋18，2＜x≤3，))则f(a+1)的值为eq\o(▲,\s\do1(________))．11．在平面直角坐标系xOy中，圆M：x2＋y2－6x－4y＋8＝0与x轴的两个交点分别为A，B，其中A在B的右侧，以AB为直径的圆记为圆N，过点A作直线l与圆M，圆N分别交于C，D两点．若D为线段AC的中点，则直线l的方程为eq\o(▲,\s\do1(________))．12．在△ABC中，AB=3，AC=2，D为边BC上一点．若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝5，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)，则eq\o(AB,\d\fo1()\s\up7(→))·eq\o(AC,\d\fo1()\s\up7(→))的值为eq\o(▲,\s\do1(________))．13．若正数a，b，c成等差数列，则eq\f(c,2a＋b)＋eq\f(b,a＋2c)的最小值为eq\o(▲,\s\do1(________))．14．已知a，b∈R，e为自然对数的底数．若存在b∈[－3e，－e2]，使得函数f(x)＝ex－ax－b在[1，3]上存在零点，则a的取值范围为eq\o(▲,\s\do1(________))．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．(本小题满分14分)y在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q．已知点P的横坐标为eq\f(eq2\r(7),7)，点Q的纵坐标为eq\f(3eq\r(3),14)．y（1）求cos2α的值；QP（2）求2α－β的值.QPxOxO((第15题图)16.（本小题满分14分）(第16题图)ACBMDEP如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝eq\r(6)，其余棱长均为2，M是棱PC上的一点，(第16题图)ACBMDEP（1）求证:平面PBC⊥平面ABC；（2）若PD∥平面AEM，求PM的长．17．(本小题满分14分) A B C D F E(第17题图)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB，AC和以BC为直径的半圆弧eq\o(BC,\s\up4(⌒))组成，其中AC为2百米，AC⊥BC，∠A为eq\f(π,3)．若在半圆弧eq\o(BC,\s\up4(⌒))，线段AC，线段AB上各建一个观赏亭D，E，F，再修两条栈道DE，DF，使DE∥AB，DF∥AC.记∠CBD＝θ（eq\s\do1(\f(π,3))≤θ＜eq\s\do1(\f(π,2))） A B C D F E(第17题图)（1）试用θ表示BD的长；（2）试确定点E的位置，使两条栈道长度之和最大.18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq\F(x2,a2)＋eq\F(y2,b2)＝1(a＞b＞0)经过点P(eq\f(8,5)，eq\f(3,5))，离心率为eq\f(eq\r(3),2).已知过点M(eq\f(2,5)，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；xyO(第18题图)MBA（2）试问x轴上是否存在定点N，使得eq\o(NA,\d\fo1()\s\up7(→))·eq\o(NB,\d\fo1()\s\up7(→))为定值．若存在，求出点NxyO(第18题图)MBA19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝2x3－3ax2＋3a－2（a＞0），记f'(x)为f(x)的导函数．（1）若f(x)的极大值为0，求实数a的值；（2）若函数g(x)＝f(x)＋6x，求g(x)在[0，1]上取到最大值时x的值；（3）若关于x的不等式f(x)≥f'(x)在[eq\s\do1(\f(a,2))，eq\s\do1(\f(a+2,2))]上有解，求满足条件的正整数a的集合．20．(本小题满分16分)若数列{an}满足：对于任意n∈N*，an＋|an＋1－an＋2|均为数列{an}中的项，则称数列{an}为“T数列”．（1）若数列{an}的前n项和Sn＝2n2，n∈N*，求证：数列{an}为“T数列”；（2）若公差为d的等差数列{an}为“T数列”，求d的取值范围；（3）若数列{an}为“T数列”，a1＝1，且对于任意n∈N*，均有an＜aeq\o(\s\up5(2),n＋1)－aeq\o(\s\up5(2),n)＜an＋1，求数列{an}的通项公式．南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题2018.05B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A＝eq\b\bc\[(\a\al\vs4(12,01))，B＝eq\b\bc\[(\a\al\vs4(20,01))，若直线l:x－y＋2＝0在矩阵AB对应的变换作用下得到直线l1，求直线l1的方程．C．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C经过点P（2，eq\F(π,3)），圆心C为直线sin(θ－eq\F(π,3))＝－eq\r(3)与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．22．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(1，a)(a＞0)是抛物线C上一点，且AF＝2．（1）求p的值；（2）若M，N为抛物线C上异于A的两点，且AM⊥AN．记点M，N到直线y＝－2的距离分别为d1，d2，求d1d2的值．··F(第22题图)xyOAMN23．(本小题满分10分)已知fn(x)＝eq\o(\s\DO8(i＝1),\d\fo()\s\up0(eq\o(∑,\d\fo1()\s\up9(n－1))))Aeq\o(\s\up7(n－i),n)x(x＋1)…(x＋i－1)，gn(x)＝Aeq\o(\s\up7(n),n)＋x(x＋1)…(x＋n－1)，其中x∈R，n∈N*且n≥2．（1）若fn(1)＝7gn(1)，求n的值；（2）对于每一个给定的正整数n，求关于x的方程fn(x)＋gn(x)＝0所有解的集合． 南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案1．{－3，－2，2}2．eq\r(5)3．1504．75．eq\f(2,3)6．[eq\f(2,11)，2]7．①③8．eq\r(5)9．410．211．x＋2y－4＝012．－313．eq\f(2eq\r(5),9)14．[eeq\s\up4(2)，4e]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)解：（1）因为点P的横坐标为eq\f(eq2\r(7),7)，P在单位圆上，α为锐角，所以cosα＝eq\f(eq2\r(7),7)，……2分所以cos2α＝2cos2α－1＝eq\f(1,7)．……4分（2）因为点Q的纵坐标为eq\f(eq3\r(3),14)，所以sinβ＝eq\f(eq3\r(3),14)．……6分又因为β为锐角，所以cosβ＝eq\f(13,14)．……8分因为cosα＝eq\f(eq2\r(7),7)，且α为锐角，所以sinα＝eq\f(eq\r(21),7)，因此sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(eq4\r(3),7)，…10分所以sin(2α－β)＝eq\f(eq4\r(3),7)×eq\f(13,14)－eq\f(1,7)×eq\f(eq3\r(3),14)＝eq\f(eq\r(3),2)．…12分因为α为锐角，所以0＜2α＜π．又cos2α＞0，所以0＜2α＜eq\f(π,2)，又β为锐角，所以－eq\f(π,2)＜2α－β＜eq\f(π,2)，所以2α－β＝eq\f(π,3)．……14分16．(本小题满分14分)(图1)OCBPACBMDE（1）证明：如图(图1)OCBPACBMDE所以PE⊥BC，……2分且PE＝eq\r(3)，同理AE＝eq\r(3)．因为PA＝eq\r(6)，所以PE2＋AE2＝PA2，所以PE⊥AE．……4分因为PE⊥BC，PE⊥AE，BC∩AE＝E，AE，BC平面ABC，所以PE⊥平面ABC．因为PE平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC．……7分（2）解法一如图1，连接CD交AE于O，连接OM．因为PD∥平面AEM，PD平面PDC，平面AEM∩平面PDC＝OM，所以PD∥OM，…………9分所以eq\F(PM,PC)＝eq\F(DO,DC)．…………11分因为D，E分别为AB，BC的中点，CD∩AE＝O，所以O为ABC重心，所以eq\F(DO,DC)＝eq\f(1,3)，所以PM＝eq\f(1,3)PC＝eq\f(2,3)．………14分(图2)PACBMD(图2)PACBMDECBN如图2，取BE的中点N，连接PN．因为D，N分别为AB，BE的中点，所以DN∥AE．又DN平面AEM，AE平面AEM，所以DN∥平面AEM．又因为PD∥平面AEM，DN平面PDN，PD平面PDN，DN∩PD＝D，所以平面PDN∥平面AEM．………………9分又因为平面AEM∩平面PBC＝ME，平面PDN∩平面PBC＝PN，所以ME∥PN，所以eq\F(PM,PC)＝eq\F(NE,NC)．………………11分因为E，N分别为BC，BE的中点，所以eq\F(NE,NC)＝eq\f(1,3)，所以PM＝eq\f(1,3)PC＝eq\f(2,3)．…………14分17．(本小题满分14分)………解：（1）连结DC．在△ABC中，AC为2百米，AC⊥BC，∠A为eq\f(π,3)，所以∠CBA＝eq\f(π,6)，AB＝4，BC＝2eq\r(3)．………2分因为BC为直径，所以∠BDC＝eq\f(π,2)，所以BD＝BCcosθ＝2eq\r(3)cosθ．…………4分（2）在△BDF中，∠DBF＝θ＋eq\f(π,6)，∠BFD＝eq\f(π,3)，BD＝2eq\r(3)cosθ，所以eq\f(DF,sin(θ＋eq\f(π,6)))＝eq\f(BF,sin(eq\f(π,2)－θ))＝eq\f(BD,sin∠BFD)，所以DF＝4cosθsin(eq\f(π,6)＋θ)，……………6分且BF＝4coseq\s\up4(2)θ，所以DE＝AF=4－4coseq\s\up4(2)θ，…………8分所以DE＋DF＝4－4coseq\s\up4(2)θ＋4cosθsin(eq\f(π,6)＋θ)=eq\r(3)sin2θ－cos2θ＋3＝2sin(2θ－eq\f(π,6))＋3．………12分因为eq\f(π,3)≤θ＜eq\f(π,2)，所以eq\f(π,2)≤2θ－eq\f(π,6)＜eq\f(5π,6)，所以当2θ－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即θ＝eq\f(π,3)时，DE＋DF有最大值5，此时E与C重合．…13分答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大．…………14分18．(本小题满分16分)解（1）离心率e＝eq\s\do1(\f(c,a))＝eq\s\do1(\f(\r(3),2))，所以c＝eq\s\do1(\f(\r(3),2))a，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\s\do1(\f(1,2))a，………………2分所以椭圆C的方程为eq\F(x2,4b2)＋eq\F(y2,b2)＝1．因为椭圆C经过点P(eq\f(8,5)，eq\f(3,5))，所以eq\F(16,25b2)＋eq\F(9,25b2)＝1，所以b2＝1，所以椭圆C的方程为eq\s\do1(\f(x2,4))＋y2＝1．…………………4分（2）解法一设N(n，0)，当l斜率不存在时，A(eq\f(2,5)，y)，B(eq\f(2,5)，－y)，则y2＝1－eq\s\do1(\f((eq\s\do1(\f(2,5)))2,4))＝eq\s\do1(\f(24,25))，则eq\o(NA,\d\fo1()\s\up7(→))eq\o(NB,\d\fo1()\s\up7(→))＝(eq\f(2,5)－n)2－y2＝(eq\f(2,5)－n)2－eq\s\do1(\f(24,25))＝n2－eq\f(4,5)n－eq\f(4,5)，…………6分当l经过左､右顶点时，eq\o(NA,\d\fo1()\s\up7(→))eq\o(NB,\d\fo1()\s\up7(→))＝(－2－n)(2－n)＝n2－4．令n2－eq\f(4,5)n－eq\f(4,5)＝n2－4，得n＝4．………………8分下面证明当N为(4，0)时，对斜率为k的直线l：y＝k(x－eq\s\do1(\f(2,5)))，恒有eq\o(NA,\d\fo1()\s\up7(→))eq\o(NB,\d\fo1()\s\up7(→))＝12．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\al(eq\s\do1(\f(x2,4))＋y2＝1，,y＝k(x－eq\s\do1(\f(2,5)))，))消去y，得(4k2＋1)x2－eq\s\do1(\f(16,5))k2x＋eq\s\do1(\f(16,25))k2－4＝0，所以x1＋x2＝eq\s\do1(\f(eq\s\do1(\f(16,5))k2,4k2＋1))，x1x2＝eq\s\do1(\f(eq\s\do1(\f(16,25))k2－4,4k2＋1))，……………10分所以eq\o(NA,\d\fo1()\s\up7(→))eq\o(NB,\d\fo1()\s\up7(→))＝(x1－4)(x2－4)＋y1y2＝(x1－4)(x2－4)＋k2(x1－eq\s\do1(\f(2,5)))(x2－eq\s\do1(\f(2,5)))＝(k2＋1)x1x2－(4＋eq\s\do1(\f(2,5))k2)(x1＋x2)＋16＋eq\s\do1(\f(4,25))k2……………12分＝(k2＋1)eq\s\do1(\f(eq\s\do1(\f(16,25))k2－4,4k2＋1))－(4＋eq\s\do1(\f(2,5))k2)eq\s\do1(\f(eq\s\do1(\f(16,5))k2,4k2＋1))＋16＋eq\s\do1(\f(4,25))k2＝eq\s\do1(\f((k2＋1)(eq\s\do1(\f(16,25))k2－4)－eq\s\do1(\f(16,5))k2(4＋eq\s\do1(\f(2,5))k2)＋eq\s\do1(\f(4,25))k2(4k2＋1),4k2＋1))＋16＝eq\s\do1(\f(－16k2－4,4k2＋1))＋16＝12．所以在x轴上存在定点N(4，0)，使得eq\o(NA,\d\fo1()\s\up7(→))eq\o(NB,\d\fo1()\s\up7(→))为定值．………………16分解法二设N(n，0)，当直线l斜率存在时，设l：y＝k(x－eq\s\do1(\f(2,5)))，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\al(eq\s\do1(\f(x2,4))＋y2＝1，,y＝k(x－eq\s\do1(\f(2,5)))，))消去y，得(4k2＋1)x2－eq\s\do1(\f(16,5))k2x＋eq\s\do1(\f(16,25))k2－4＝0，所以x1＋x2＝eq\s\do1(\f(eq\s\do1(\f(16,5))k2,4k2＋1))，x1x2＝eq\s\do1(\f(eq\s\do1(\f(16,25))k2－4,4k2＋1))，……………6分所以eq\o(NA,\d\fo1()\s\up7(→))eq\o(NB,\d\fo1()\s\up7(→))＝(x1－n)(x2－n)＋y1y2＝(x1－n)(x2－n)＋k2(x1－eq\s\do1(\f(2,5)))(x2－eq\s\do1(\f(2,5)))＝(k2＋1)x1x2－(n＋eq\s\do1(\f(2,5))k2)(x1＋x2)＋n2＋eq\s\do1(\f(4,25))k2＝(k2＋1)eq\s\do1(\f(eq\s\do1(\f(16,25))k2－4,4k2＋1))－(n＋eq\s\do1(\f(2,5))k2)eq\s\do1(\f(eq\s\do1(\f(16,5))k2,4k2＋1))＋n2＋eq\s\do1(\f(4,25))k2………………8分＝eq\s\do1(\f((k2＋1)(eq\s\do1(\f(16,25))k2－4)－eq\s\do1(\f(16,5))k2(n＋eq\s\do1(\f(2,5))k2)＋eq\s\do1(\f(4,25))k2(4k2＋1),4k2＋1))＋n2＝eq\s\do1(\f((－eq\s\do1(\f(16,5))n－eq\s\do1(\f(16,5)))k2－4,4k2＋1))＋n2．………………12分若eq\o(NA,\d\fo1()\s\up7(→))eq\o(NB,\d\fo1()\s\up7(→))为常数，则eq\s\do1(\f((－eq\s\do1(\f(16,5))n－eq\s\do1(\f(16,5)))k2－4,4k2＋1))为常数，设eq\s\do1(\f((－eq\s\do1(\f(16,5))n－eq\s\do1(\f(16,5)))k2－4,4k2＋1))＝λ，λ为常数，则(－eq\s\do1(\f(16,5))n－eq\s\do1(\f(16,5)))k2－4＝4λk2＋λ对任意的实数k恒成立，所以eq\b\lc\{(\a\al(－eq\s\do1(\f(16,5))n－eq\s\do1(\f(16,5))＝4λ，,－4＝λ，))所以n＝4，λ＝－4，此时eq\o(NA,\d\fo1()\s\up7(→))eq\o(NB,\d\fo1()\s\up7(→))＝12．…………14分当直线l斜率不存在时，A(eq\f(2,5)，y)，B(eq\f(2,5)，－y)，则y2＝1－eq\s\do1(\f((eq\s\do1(\f(2,5)))2,4))＝eq\s\do1(\f(24,25))，所以eq\o(NA,\d\fo1()\s\up7(→))eq\o(NB,\d\fo1()\s\up7(→))＝(eq\f(2,5)－4)2－y2＝(eq\f(2,5)－4)2－eq\s\do1(\f(24,25))＝12，所以在x轴上存在定点N(4，0)，使得eq\o(NA,\d\fo1()\s\up7(→))eq\o(NB,\d\fo1()\s\up7(→))为定值．………………16分19．(本小题满分16分)解：（1）因为f(x)＝2x3－3ax2＋3a－2（a＞0），所以f'(x)＝6x2－6ax＝6x(x－a)．令f'(x)＝0，得x＝0或a．………………2分当x∈(－∞，0)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(0，a)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增．故f(x)极大值＝f(0)＝3a－2＝0，解得a＝eq\F(2,3)．………………4分（2）g(x)＝f(x)＋6x＝2x3－3ax2＋6x＋3a－2（a＞0）， 则g′(x)＝6x2－6ax＋6＝6(x2－ax＋1)，x∈[0，1]．①当0＜a≤2时，△＝36(a2－4)≤0，所以g′(x)≥0恒成立，g(x)在[0，1]上单调递增，则g(x)取得最大值时x的值为1．……………6分②当a＞2时，g′(x)的对称轴x＝eq\F(a,2)＞1，且△＝36(a2－4)＞0，g′(1)＝6(2－a)＜0，g′(0)＝6＞0，所以g′(x)在(0，1)上存在唯一零点x0＝eq\F(a－eq\R(,a2－4),2)．当x∈(0，x0)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，当x∈(x0，1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，则g(x)取得最大值时x的值为x0＝eq\F(a－eq\R(,a2－4),2)．………………8分综上，当0＜a≤2时，g(x)取得最大值时x的值为1；当a＞2时，g(x)取得最大值时x的值为eq\F(a－eq\R(,a2－4),2)．……………9分（3）设h(x)＝f(x)－f′(x)＝2x3－3(a＋2)x2＋6ax＋3a－2，则h(x)≥0在[eq\s\do1(\f(a,2))，eq\F(a＋2,2)]有解．………………10分h′(x)＝6[x2－(a＋2)x＋a]＝6[(x－eq\F(a＋2,2))2－eq\F(a2＋4,4)]，因为h′(x)在(eq\F(a,2)，eq\F(a＋2,2))上单调递减，所以h′(x)＜h′(eq\F(a,2))＝－eq\F(3,2)a2＜0，所以h(x)在(eq\F(a,2)，eq\F(a＋2,2))上单调递减，所以h(eq\F(a,2))≥0，即a3－3a2－6a＋4≤0．…………………12分设t(a)＝a3－3a2－6a＋4（a＞0），则t′(a)＝3a2－6a－6，当a∈(0，1＋eq\R(,2))时，t′(a)＜0，t(a)单调递减；当a∈(1＋eq\R(,2)，＋∞)时，t′(a)＞0，t(a)单调递增．因为t(0)＝4＞0，t(1)＝－4＜0，所以t(a)存在一个零点m∈(0，1)，…14分因为t(4)＝－4＜0，t(5)＝24＞0，所以t(a)存在一个零点n∈(4，5)，所以t(a)≤0的解集为[m，n]，故满足条件的正整数a的集合为{1，2，3，4}．…………………16分20．(本小题满分16分)解：（1）当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，又a1＝S1＝2＝4×1－2，所以an＝4n－2．…………………2分所以an＋|an＋1－an＋2|＝4n－2＋4＝4(n＋1)－2为数列{an}的第n＋1项，因此数列{an}为“T数列”．…………………4分（2）因为数列{an}是公差为d的等差数列，所以an＋|an＋1－an＋2|＝a1＋(n－1)d＋|d|．因为数列{an}为“T数列”，所以任意n∈N*，存在m∈N*，使得a1＋(n－1)d＋|d|＝am，即有(m－n)d＝|d|．…………6分①若d≥0，则存在m＝n＋1∈N*，使得(m－n)d＝|d|，②若d＜0，则m＝n－1．此时，当n＝1时，m＝0不为正整数，所以d＜0不符合题意．综上，d≥0．……8分（3）因为an＜an＋1，所以an＋|an＋1－an＋2|＝an＋an＋2－an＋1．又因为an＜an＋an＋2－an＋1＝an＋2－(an＋1－an)＜an＋2，且数列{an}为“T数列”，所以an＋an＋2－an＋1＝an＋1，即an＋an＋2＝2an＋1，所以数列{an}为等差数列．…………………10分设数列{an}的公差为t(t＞0)，则有an＝1＋(n－1)t，由an＜aeq\o(\s\up5(2),n＋1)－aeq\o(\s\up5(2),n)＜an＋1，得1＋(n－1)t＜t[2＋(2n－1)t]＜1＋nt，………………12分整理得n(2t2－t)＞t2－3t＋1，①n(t－2t2)＞2t－t2－1．②若2t2－t＜0，取正整数N0＞eq\F(t2－3t＋1,2t2－t)，则当n＞N0时，n(2t2－t)＜(2t2－t)N0＜t2－3t＋1，与①式对于任意n∈N*恒成立相矛盾，因此2t2－t≥0．同样根据②式可得t－2t2≥0，所以2t2－t＝0．又t＞0，所以t＝eq\F(1,2)．经检验当t＝eq\F(1,2)时，①②两式对于任意n∈N*恒成立，所以数列{an}的通项公式为an＝1＋eq\F(1,2)(n－1)＝eq\F(n＋1,2)．………………16分B．选修4—2：矩阵与变换解：因为A＝eq\b\bc\[(\a\al\vs4(12,01))，B＝eq\b\bc\[(\a\al\vs4(20,01))，所以AB＝eq\b\bc\[(\a\al\vs4(22,01))．………………4分设点P0(x0，y0)是l上任意一点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(x，y)．因为P0(x0，y0)在直线l:x－y＋2＝0上，所以x0－y0＋2＝0．①由ABeq\b\bc\[(\a\al\vs2(x0,y0))＝eq\b\bc\[(\a\al\vs2(x,y))，即eq\b\bc\[(\a\al\vs4(22,01))eq\b\bc\[(\a\al\vs2(x0,y0))＝eq\b\bc\[(\a\al\vs2(x,y))，得eq\b\lc\{(\a\al(2x0＋2y0＝x，,y0＝y，))………………6分即eq\b\lc\{(\a\al(x0＝eq\F(1,2)x－y，,y0＝y．))②将②代入①得x－4y＋4＝0，所以直线l1的方程为x－4y＋4＝0．……………10分C．选修4—4：坐标系与参数方程解：解法一在直线sin(θ－eq\F(π,3))＝－eq\r(3)中，令θ＝0，得＝2.所以圆C的圆心坐标为C(2，0)．…………4分因为圆C经过点P(2，eq\F(π,3))，所以圆C的半径PC＝eq\R(,22+22－2×2×2×coseq\F(π,3))＝2，………………6分所以圆C的极坐标方程＝4cosθ．……10分解法二以极点为坐标原点，极轴为x轴建立平面直角坐标系，则直线方程为y＝eq\r(3)x－2eq\r(3)，P的直角坐标为(1，eq\r(3))，令y＝0，得x＝2，所以C(2，0)，………………4分所以圆C的半径PC＝eq\R(,(2－1)2+(0－eq\r(3))2)=2，………………6分所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－0)2＝4，即x2＋y2－4x＝0，………………8分所以圆C的极坐标方程＝4cosθ.……………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．（本小题满分10分）解：（1）因为点A(1，a)(a＞0)是抛物线C上一点，且AF=2，所以eq\f(p,2)＋1＝2，所以p＝2.…………3分（2）解法一由(1)得抛物线方程为y2＝4x．因为点A(1，a)(a＞0)是抛物线C上一点，所以a＝2．…………4分设直线AM方程为x－1＝m(y－2)(m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由eq\b\lc\{(\a\al(x－1＝m(y－2)，,y2＝4x，))消去x，得y2－4my＋8m－4＝0，即(y－2)(y－4m＋2)＝0，所以y1＝4m－2．……………6分因为AM⊥AN，所以－eq\f(1,m)代m，得y2＝－eq\f(4,m)－2，……………8分所以d1d2＝|(y1＋2)(y2＋2)|＝|4m×(－eq\f(4,m))|＝16．……………10分解法二由(1)得抛物线方程为y2＝4x．因为点A(1，a)(a＞0)是抛物线C上一点，所以a＝2．……………4分设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则eq\o(AM,\d\fo1()\s\up7(→))·eq\o(AN,\d\fo1()\s\up7(→))＝(x1－1)(x2－1)＋(y1－2)(y2－2)＝0．……6分又因为M(x1，y1)，N(x2，y2)在y2＝4x上，所以(y21－4)(y22－4)＋16(y1－2)(y2－2)＝0，即[(y1＋2)(y2＋2)＋16](y1－2)(y2－2)＝0．因为(y1－2)(y2－2)≠0，所以(y1＋2)(y2＋