福建省厦门一中2012-2013年高二下学期期中数学理试题含答案

学必求其心得，业必贵于专精福建省厦门第一中学2012—2013学年度第二学期期中考试高二年数学试卷（理科)2013。4第Ⅰ卷(共50分）一．选择题:本小题共10小题，每题5分，共50分。1．已知复数z3i，则z的共轭复数z等于1iA．2iB.2iC。12iD。12i2．函数f(x)．极小值为D．极大值为

xlnx的1B．极大值为1C．极小值为1eee1e3．某市在一次降雨过程中,降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为yf(t)10t,则在时刻t40min的降雨强度为A.1mmB。1mmC.1mm/min20402D。1mm/min44．已知f'(x)是f(x)的导函数，f'(x)的图象如右图所示，则f(x)的图象只可能是ABCD5。已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)2xf'(1)lnx，则f(1)A．2B．1C．1D．26.函数f(x)12xx3在闭区间[3,3]上的最小值是学必求其心得，业必贵于专精A．9B．9C．16D．167。曲线yx1在点(3，2)处的切线与直线axy10垂直，则a的值为1x11C。A。2B。22D.28．若函数f(x)exax,xR有大于零的极值点，则实数a的取值范围为A．a1B．0a1C．1a0D．a19.已知函数fxexexsinx，若a,bR，则ab0是fafb0成立的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件10.对于任意两个正整数m,n,定义某种运算:当m,n都为偶数或奇数时,mnmn；当m,n中一个为奇数，另一个为偶数时，mnmn。则在上述定义下，会集M{(x,y)xy36,xN,yN}中元素的个数为A。48B.41C.40D.39第1页（共4页）第Ⅱ卷（非选择题共100分)二、填空题:本大题共6小题，每题4分，共24分。把答案填在答题卡的相应地址。11．在复平面上,平行四边形ABCD（A,B,C,D按逆时针排序）的三个极点A,B,C对应复数分别为i，2，42i，则点D对应的复数为▲。12．1(1x2sin2x)dx等于1▲。13．某班准备了5个节目将参加厦门一中音乐广场活动（此次活动只有5个节目)，节目序次有以下要求：节目甲必定排在前两位、节第1个第2个第3个学必求其心得，业必贵于专精目乙不能够排在第一位，节目丙必定排在最后一位，则在此次活动中节目序次的编排方案共有▲种。14．黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案,则第n个图案中有白色地面砖有▲块.15。已知f(x)x3ax2(a6)x1在R不是单调函数，则a的取值范围为▲.16.给出下面几个推理：①由“633,835,1037,1257,”获取结论：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和；②由“三角形内角和为180”获取结论：直角三角形内角和为180；③由“正方形面积为边长的平方"获取结论：正方体的体积为棱长的立方；④由“a2b22aba(,bR)”推得sin2x22。其中是演绎推理的序号2sinxcosxsinxcosx1是▲。三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,把解答过程填写在答题卡的相应地址。217．（本小题满分12分）如图,直线l:yxb与曲线C:x4y相切于点．（Ⅰ）求实数b的值;(Ⅱ)．求由曲线C与直线l及x0围成的图形的面积。18．（本小题满分12分）厦门市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件.经过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场解析的结果表学必求其心得，业必贵于专精明，若是产品的销售价提高的百分率为x0x1,那么月平均销售量减少的百分率为x2,记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）。（Ⅰ）写出y与x的函数关系式;（Ⅱ）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大。ks5u第2页（共4页）19．（本小题满分12分）设函数f(x)1x3(1a)x24ax24a,其中常数a13(Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）若函数f(x)有且只有一个零点，求a的取值范围。ks5u20．（本小题满分12分）设a为实数，函数f(x)ex2x2a(xR)。(Ⅰ）求fx的最小值；（Ⅱ）求证：当aln21且x0时,exx22ax1。学必求其心得，业必贵于专精ks5u第3页（共4页)21．(本小题满分14分）在数列{an}中,a12,an1ann1(2)2n(nN).（Ⅰ）求a2,a3,a4，猜想数列{an}的通项公式,并加以证明；（Ⅱ）当1时,试比较an与n21的大小，证明你的结论。ks5u22．（本小题满分14分)已知函数f(x)x1alnx，（Ⅰ）谈论f(x)的单调性；（Ⅱ)若a0,对任意x1,x2(0,1]，且x1x2,都有|f(x1)f(x2)|4|11|，求x1x2实数a的取值范围.学必求其心得，业必贵于专精ks5u第4页（共4页）准厦门一中2012—2013学年高二（上）期中考理科数学答题卷二.填选填空题：题空171819202122总择号题分题得11.;12.；名13.;14。;15.；姓16.。三。解答题：17。（本题满分12分）号解：座学必求其心得，业必贵于专精ks5u18.(本题满分12分）解：第1页（共4页）座位号19。(本题满分12分)解：学必求其心得，业必贵于专精ks5u20。（本题满分12分）解:第2页（共4页）21(本题满分14分）解：学必求其心得，业必贵于专精第3页(共4页）22．(本题满分14分）解：学必求其心得，业必贵于专精第4页（共4页）厦门一中2012—2013学年度第二学期期中考高二年理科数学试题参照解答一、选择题：每题5分，满分50分．1．B2．C3．D4．D5．A6．C7．D8．B9．C10．B二、填空题：每题4分,满分24分．11．12．13．14．15.a3或a616。23iπ104n22学必求其心得，业必贵于专精②④三、解答题(本大题共六小题，满分76分）17．(本题满分12分）解:（Ⅰ)解法1．由x24y,得x24x4b0，ks5uyxb,因为直线l:yxb与抛物线C:x24y相切,所以2，444b0解得b1．(6分)11解法2．设切点Ax0,y0，由yx2得yx，4122所以切线l在点A处的斜率为kx0，因为切线l的斜率为1，则k1x01,x02，又A在抛物线上,所以y01x021221，(3分)244于是A的坐标为A2,1，因为A在直线ls上,所以12b，b1．（6分)（II）S2x2x3x2220[4(x1)]dx(122x)|03（12分）18。(本题满分12分）解：（1)改进工艺后，每件产品的销售价为201x，月平均销售量为a1x2件，则月平均利润ya1x2201x15(元），（4分）.（5分)所以，y与x的函数关系式为y5a14xx24x3(0x1)(2）由y5a42x12x20得x11，x2（舍），（7分)23当0x1时y0；1时y0，2x12所以，函数y5a14xx24x30x1在x1获取最大值。(11分)2第1页（共4页)故改进工艺后，产品的销售价为2011x30元时，旅游部门销售该纪2念品的月平均利润最大.（12分)19。（本题满分12分）学必求其心得，业必贵于专精解：（I)f()x22(1)x4(x2)(x2)（2分)xaaa由a1知，f(x)0x2或x2a；（3分）f(x)02x2a；(4分）综上知，当a1时,f(x)的递加区间为(,2)和(2a,)，递加区间为(2,2a)。（6分）4。（7分)(II）由（I)知，当x2时，f(x)获取极大值f(2)28a当x2a时，f(x)获取极小值f(2a)4a324a。34a2（8分）3a1w。或a1（10分）由题设知f(2)28a40f(2a)4a34a224a033解得1a6，故a的取值范围是(1,6)（12分）ks5u20。（本题满分12分）解：（Ⅰ)由f(x)ex2x得f(x)ex2，（2分）2a(xR）令f(x)ex20得xln2，(3分）当xln2时,f(x)0；当xln2时,f(x)0，(4分）故当xln2时，f(x)有极小值也是最小值为f(ln2)2(1ln2a)。（6分)(Ⅱ）设g(x)exx22ax1(x0)，则g(x)ex2x2a,（7分）由（Ⅰ）及aln21知g(x)ex2x2a有最小值g(ln2)2(1ln2a)0（9分）于是对于x0，都有g(x)0,所以g(x)在(0,)上递加，（10分）而g(0)0，从而对任意x(0,)，g(x)0，即exx22ax1。（12分)第2页（共4页）21。(本题满分14分）解：（Ⅰ)由a12，学必求其心得，业必贵于专精22(2)24（1分）,得a2a1同理可得，a3238（2分）,a43416(3分）,猜想an(n1)n2n（4分）.当n1时，已证明;假设当nk(kN)时,猜想成立，即ak(k1)k2k则当[(k1)

nk1时,ak1akk1(2)2kk2k]k1(2)2k[(k1)1]k12k1所以当nk1时,猜想成立，故对任意nN，猜想成立（7分）。（Ⅱ）因为1,所以an(n1)2n，ks5u于是an(n21)2n(n2n2)，当n1,2,3时，2nn2n2，即ann21（9分）。当n4时，猜想2nn2n2，（10分）证明以下：当n4时,显然244242假设当nk4时，猜想成立，即2kk2k2，则当nk1时，2k122k2(k2k2)，而2(k2k2)[(k1)2(k1)2](k1)(k2)0于是2k12(k2k2)(k1)2(k1)2，所以,当n4时，猜想2nn2n2成立,故当n4时，ann21。(14分)另证：设f(x)2xx2x2(x4）则f(x)2xln22x1,f(x)2x(ln2)22，当x4时，f(x)f(4)24(ln2)224(ln4)(ln4)2420第3页（共4页）学必求其心得，业必贵于专精所以f(x)在[4,)上递加f(x)f(4)24ln224123ln478710f(x)在[4,)上递加f(x)f(4)202xx2x2，所以,当n4时，猜想2nn2n2成立，即当n4时，ann21.(14分）22.（本题满分14分）解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域(0,)，f(x)1axa（2分）xx当a0时，f(x)0恒成立，此时，函数f(x)在(0,)上是增函数(3分）当a0时，由f(x)0解得xa；由f(x)0解得0xa，（4分）此时，函数f(x)在(a,)上是增函数；f(x)在(0,a)上是减函数。（5分）（Ⅱ）当a0时,函数f(x)在0,1上是增函数，又函数y1在0,1上是减x函数，不如设0x1x21，则|f(x1)f(x2)|f(x2)f(x1),|11|11，x1x2x1x2所以|f(x1)f(x2)|4|11|等价于f(x2)f(x1)44，x1x2x1x