角平分线的性质和判定

角平分线的性质和判定2021/5/91什么叫角平分线？2.画∠AOB平分线OC，在OC上任取一点P，过P向角的两边作垂线段PD、PE，你能得出什么结论？思考题AOBPED2021/5/92开启智慧定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.如图,已知:OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE(平分线上的点到这个角的两角边距离相等).COB1A2PDE2021/5/93证明:

因为PD⊥OA，PE⊥OB（已知），所以∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）．OCB1A2PDE在△PDO和△PEO中，因为∠DOP＝∠EOP（已知），∠PDO＝∠PEO（已证），PO＝PO（公共边），｛∴△PDO≌△PEO(A.A.S)∴PD=PE于是就有定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．2021/5/94四问答：1、如图，在Rt△ABC中，做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认识?

思考

角平分线的性质，为我们证明两线段相等又提供了新的方法与途径。ABCBD是∠B的平分线，DE⊥AB，垂足为E，EDE与DC

相等吗？D答：DE=DC。∵BD是∠ABC的平分线（D在∠ABC的平分线上）

又∵DE⊥BA，垂足为E，∴DE=DC。为什么？DC⊥BC，垂足为C，2021/5/95

反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．OCB1A2PDE证明：

PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，在Rt

△PDO与Rt

△PEO中∴∠PDO=∠PEO=Rt∠PD=PE（已知）｛OP=OP（公共边）∴Rt△PDO≌△PDO∴∠1=∠2即点P在∠AOB的平分线上2021/5/96于是就有定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上2021/5/97思考分析命题:三角形三个角的平分线相交于一点.如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E,F,D.∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学习的内容.ABCPMNDEF∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.∴PD=PF.∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).2021/5/981、∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(________________________________)ACDEB12DC=DE角平分线上的点到角的两边的距离相等2、判断题（）∵如图，AD平分∠BAC（已知）

∴BD=DC，

()角的平分线上的点到角的两边的距离相等。×课时训练随练习堂2021/5/99练习1．如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．提示：作∠AOB的平分线，交直线l于P就是所求的点2021/5/9102、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。

求证：AD是△ABC的角平分线。ABCEFD变式训练：若已知AD是△ABC的角平分线。求证：BE＝CF。2021/5/9113、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.AAAAAAADNEBFMCA2021/5/9124如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．GHP证明：作FG⊥AE于G.FH⊥AD于HFP⊥CB于P,作射线OF∵CF