第7讲高二数学学科素养能力竞赛专题训练-等比数列

第7讲高二数学学科素养能力竞赛专题训练——等比数列【题型目录】模块一：易错试题精选模块二：培优试题精选模块三：名校竞赛试题精选【典型例题】模块一：易错试题精选1．已知正项等比数列满足，若是和的等差中项，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正项等比数列满足，解得公比q，再由等差中项的关系得m和n之和为定值，再利用基本不等式求最小值.【详解】正项等比数列满足，所以，且，解得，又因为是和的等差中项，所以，得，即，，当且仅当时，等号成立.故选：A.2．设等比数列满足，，则的最大值为（

）A．32 B．16 C．128 D．64【答案】D【分析】结合已知条件，求出的通项公式，然后求解当时的范围，进而可得到答案.【详解】因为等比数列满足，，所以，从而，故，则数列是单调递减数列，当时，，故.故选：D.3．设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．是数列中的最大值 D．数列无最大值【答案】B【分析】由题分析出，可得出数列为正项递减数列，结合题意分析出正项数列前项都大于，而从第项起都小于，进而可判断出各选项的正误.【详解】当时，则，不合乎题意；当时，对任意的，，且有，可得，可得，此时，与题干不符，不合乎题意；故，故A错误；对任意的，，且有，可得，此时，数列为单调递减数列，则，结合可得，结合数列的单调性可得故，，∴，故B正确；是数列中的最大值,故CD错误故选：B.4．已知等比数列的前5项积为32，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用等比数列性质求出，进而求出公比的取值范围并用表示出，然后根据对勾函数的性质即可求解.【详解】由等比数列性质可知，，因为，所以，从而不妨令，则，由对勾函数性质可知，在上单调递减，故对于，，，从而，则.故的取值范围为.故选：D.5．在数列中，，，则（

）A．958 B．967 C．977 D．997【答案】C【分析】首先通过累加法求得，再利用分组求和的方法求出，代入即可.【详解】，，则上述式子累加得，，故选：C.6．已知，，实数成等差数列，成等比数列，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等差和等比数列的性质可将所求式子化为，利用基本不等式可求得结果.【详解】由等差数列和等比数列性质知：，，（当且仅当时取等号），即的最小值为.故选：B.7．若正项数列满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由递推公式推出数列的通项公式，得到数列的通项公式，根据数列特征求和.【详解】由，得，又是正项数列，所以，，则数列是以1为首项，2为公比的等比数列，.，，，可得数列是以1为首项，4为公比的等比数列，所以.故选：B.8．（多选题）各项均为正数的等比数列的前n项积为，若，公比，则下列命题错误的是（

）A．若，则必有 B．若，则必有是中最大的项C．若，则必有 D．若，则必有【答案】AD【分析】由等比数列的性质可判断AB，由等比数列的单调性可判断CD.【详解】对于A，若，则，即有，根据等比数列的性质，则，即有，A正确；对于B，若，则等比数列单调递减，因为，所以，则是中最大的项；若，则等比数列单调递增，因为，所以，则是中最小的项，B错误；对于C，若，则，而，所以数列单调递减，若，则，所以；若，则，所以，C错误；对于D，，而，所以数列单调递减，所以，所以，即，D正确.故选：AD9．（多选题）设等比数列{an}的前n项积为Tn，并满足条件a1＞1，T10＝T20，下列结论正确的是（

）A．a2021＜a2022 B．a10a20－1＞0C．当n＝15时，Tn取到最大值 D．当n≥31时，Tn＜1【答案】BCD【分析】由已知条件，结合等比数列的性质分别检验各选项即可判断.【详解】因为，∴，∴，，∴，，单调减数列，，故A错．，故B对．时，，时，，∴时，取最大值，故C对．，时，，故D对，故选：BCD．10．（多选题）已知等比数列各项均为正数，其前项积为，若，，，则下列结论正确的是(

)A． B．C．是中最小的项 D．使成立的的最大值为17【答案】ACD【分析】根据，以及等比数列通项公式可得，从而判断A；再根据可判断B；判断的单调性即可判断C；利用等比数列与下标有关的性质可以判断D．【详解】，，，，，故A正确；当时，，数列为递增数列，．，，，故B错误；等比数列各项均为正数，其前项积为，且时，有，，即，∴在是递减；同理，当时，有，，即，即在时递增；是中最小的项，故C正确；，，使成立的的最大值为17，故D正确．故选：ACD．11．已知数列为等差数列，数列为等比数列且公比.数列和数列的前和分别为和，且满足，则等差数列的通项公式为_____________.【答案】【分析】分别令，得到，设的公差为，化简得到，解方程组可得答案.【详解】由已知得，令得，，根据等比数列求和公式，得到，故，设的公差为，则，化简得，故答案为：12．试写出一个无穷等比数列，同时满足①；②数列单调递减；③数列不具有单调性，则当时，__________.【答案】（答案不唯一）【分析】设，根据得到和q的关系，再结合数列单调递减和数列不具有单调性判断q的范围，取一个符合条件的q值，求出对应的即可得到答案．【详解】设，由得，，∵数列不具有单调性，∴，又∵数列单调递减，故，综上，，不妨取，则．经检验符合题意．故答案为：．13．在正项等比数列中，，则______．【答案】2【分析】依据等比数列的性质和对数运算规则即可解决．【详解】在正项等比数列中，，所以，所以，，．故答案为：214．正项等比数列中，存在两项使得，且，则最小值____.【答案】##【分析】先由等比数列的性质化解已知条件，得到，在利用基本不等式中“1”的活用来求出的最小值.【详解】在正项等比数列中有，由等比数列的性质知，即，解得或（舍），则，可得，其中.所以，当且仅当，即时等号成立.故的最小值为：.15．记，．若数列满足：，，则数列的前200项的和为_________．【答案】【分析】根据，分别令下标为，得到关于的递推关系式，然后进行分组求和.【详解】根据可得，，，，又，则，故，又，则，故.故前项和.故答案为：16．已知数列，满足，.(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)求数列的前项积.【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】(1)先将等式两边配方，再取对数，即可证明数列是等比数列.(2)根据(1)的结论，以及等比数列的求和公式，即可求解.【详解】（1）证明：，两边取对数，，∴，∴数列是等比数列，公比，首项，∴，，.（2）解：由（1）可得，∴，∵，∴，.17．已知数列满足：，．(1)求，；(2)设，，证明数列是等比数列，并求其通项公式；(3)求数列前10项中所有奇数项的和．【答案】(1)(2)证明详见解析，(3)【分析】（1）根据题目所给已知条件求得.（2）结合已知条件以及等比数列的定义证得数列是等比数列，并求得其通项公式.（3）求得，从而求得正确答案.【详解】（1）依题意，数列满足：，，所以.（2），.所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.（3），，所以，所以.18．已知等比数列满足：，，则数列的公比______；______.【答案】

或；

【分析】由等比数列的通项公式直接计算公比，根据等比数列的性质可得，从而判断得数列是等比数列，再利用等比数列前项和公式计算即可得答案.【详解】在等比数列中，，，所以，得或；因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，由等比数列前项和公式可得.故答案为：或；模块二：培优试题精选1．已知表示大于的最小整数，例如，，下列命题中正确的是（

）①函数的值域是；②若是等差数列，则也是等差数列；③若是等比数列，则也是等比数列；④若，则方程有2022个解.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】由题意，整理分段函数具体解析式，可得值域，采用特殊值法，可得数列的正误，根据函数与方程的关系，可得答案.【详解】当时，，，当时，令，，，则，，因此的值域是，是等差数列，但，，不成等差数列；是等比数列，但，，不成等比数列；由前分析可得当时，；当，，，时，，所以，即是周期为的函数，由指数函数的性质，可得函数过，在上单调递减，当时，，，去交点；当时，，，必有一个交点；则后面每个周期都有一个交点，所以，则方程由个根.①④正确，故选：D.2．已知数列的前n项和是，前n项的积是，n为正整数，则以下命题正确的个数是（

）（1）若是等比数列，且数列是严格增数列，则（2）若是等比数列，则是等比数列（3）若是等差数列，则一定是等差数列（4）若为严格增数列，且每一项均为正整数，当时，此时符合条件的数列只有一个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据定义和条件，逐项分析推理可以求解.【详解】（1）依题意，即，等比数列是正数列，不妨设公比，则，是递减数列，，∴错误；（2）设的首项为，公比为q，则，，，若，则是首项为，公比为q的等比数列；若，则，是各项为0的常数列，不是等比数列；故错误；（3）由题意，令，是等差数列，设公差为d，则有，，，，得：，，，是等差数列；故正确；（4）对于，则必然有，即，由于是正整数，解得，不符合题意，况且，也不是增数列，∴不存在这样的数列；故错误；故选：A.3．设各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数，使、、成等比数列，则公差的所有可能取值的个数为（

）A． B． C． D．无穷多【答案】B【分析】由已知可得，分析可知，则是的倍数，且，由已知，对的取值进行分类讨论，求出的值，并求出对应的的值，即可得出结论.【详解】根据题意可知，，化简可得，因为各项均为正整数，则，故是的倍数，且，因为、、成等比数列，则，分以下情况讨论：①若，则，可得，，解得，合乎题意；②若，则，可得，，解得，合乎题意；③若，则，可得，，解得，不合乎题意；④若，则，可得，，解得，不合乎题意；⑤若，则，可得，此时，是常数列，且每项均为，合乎题意.综上所述，公差的所有可能取值的个数为.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列基本量的计算，解题的关键时分析出，然后对的取值进行分类讨论，验证的值是否满足题意，即可得解.4．已知是直角三角形，是直角，内角所对的边分别为，面积为．若，则下列选项错误的是（

）A．是递增数列 B．是递减数列C．数列存在最大项 D．数列存在最小项【答案】B【分析】根据已知条件可得，即得，由，得，由数列的单调性可判断选项A，B；由关系式可得，，从而可判断数列的最大项和最小项.【详解】由题意知，所以，所以，即，所以，则，故，，由，得，即，所以，则，而，故，则，所以，由于随着n的增大而减小，所以随着n的增大而增大，由题意可知，所以数列是递增数列，故选项A正确；同理随着n的增大而增大，数列是递增数列，故选项B错误；又，由于，且，所以数列是首项为7，公比为的等比数列，故，结合，可以解得，，所以，所以，其中所以，，其中所以，因为数列随着k的增大而减小，数列随着k的增大而增大，所以数列随着k的增大而减小，故为数列中所有正项中最大的，同理数列随着k的增大而增大，故为数列中所有负项中最小的．综上所述，数列的最大项为，最小项为．故选项C，选项D均正确．故选：B．【点睛】关键点睛：涉及数列的单调性以及数列的最大项和最小项问题，综合性较强，难度较大，解答时要结合几何知识，能熟练的应用数列的相关知识作答，关键是要注意构造新数列解决问题.5．（多选题）将数列中的所有项排成如下数阵：……已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数成等差数列，且．从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列，则（）A． B．在第85列 C． D．【答案】ACD【分析】由已知，根据条件，选项A，设第一列数所组成的等差数列公差为，根据求解公差，然后再求解即可验证；根据数阵的规律，先计算第行共有项，然后再总结前行共有项，先计算前44行共有项，然后用，即可判断选项B；选项D，先计算第一列数所组成的等差数列第行的第一项为：，然后再根据每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列，利用等比数列通项公式即可求解通项；选项C，先表示出，，然后可令、，分别判断数列的单调性，求解出对应的最大值与最小值，比较即可判断.【详解】由已知，第一列数成等差数列，且，设第一列数所组成的等差数列公差为，则，所以，选项A正确；第一列数所组成的等差数列第行的第一项为：，第一行共有1项，第二行共有3项，第三行共有5项，，第行共有项，所以前一行共有项，前二行共有项，前三行共有项，，前行共有项，所以前44行共有项，而，所以位于第45行86列，故选项B错误；第一列数所组成的等差数列第行的第一项为：，且每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列，所以第行的数构成以为首项，公比为的等比数列，所以，故选项D正确；因为第一列数所组成的等差数列第行的第一项为：，所以，令，所以，当时且，，所以单调递减，所以，所以，而令，在上单调递增，所以，所以成立，选项C正确.故选：ACD.【点睛】在处理等比等比数列交叉的数阵问题时，可根据条件说明，或者数阵行、列的规律总结、类比出等差、等比数列，需要注意的是，不要把求通项和求和的式子混淆了.6．（多选题）对于数列，设其前项和，则下列命题正确的是（

）A．若数列为等比数列，成等差，则也成等差B．若数列为等比数列，则C．若数列为等差数列，且，则使得的最小的值为13D．若数列为等差数列，且，则中任意三项均不能构成等比数列【答案】AD【分析】根据等比数列的通项与前项和公式判断A，B的正误；根据等差数列的通项与前项和公式判断C，D的正误即可.【详解】解：对于A，若数列为等比数列，成等差，则，若公比，则，故，所以可得，，整理得，由于，所以，所以，即，故也成等差，故A正确；对于B，若数列为等比数列，若公比时，；若公比时，则，所以，故B不正确；对于C，若数列为等差数列，公差为，由，得，即，则，所以，得，又，则，故C不正确；对于D，若数列为等差数列，且，则公差，所以，假设等差数列中的三项构成等比数列，，且互不相等，则，所以，所以，因为，则，其中，则，得，这与互不相等矛盾，故假设不成立，则中任意三项均不能构成等比数列，故D正确.故选：AD.7．（多选题）已知数列，均为递增数列，其前项和分别为和，若数列是3为首项，3为公差的等差数列，数列是3为首项，3为公比的等比数列，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据题意，明确和的通项公式，对于A、B，根据数列单调性，结合数列的通项公式，列出不等式，可得答案；对于C、D，根据求和的定义，利用分组求和，根据等差数列与等比数列的求和公式以及基本不等式，可得答案.【详解】由题意，可得，，对于A，因为数列为递增数列，所以，所以，又因为，所以，则，解得，故A正确；对于B，因为，所以，由①得，由①②得，又数列为递增数列，所以，所以，解得，故B不正确；对于C，，故C不正确；对于D，由，则，两式作比可得：，所以数列的奇数项和偶数项构成首项分别为，公比都为的等比数列，所以，因为，故取不到等号，则，故D正确.故选：AD.【点睛】等差数列与等比数列的公式法的应用，根据未知数列的单调性，建立不等式组，求得未知数列的前项和时，首先要根据定义，一一写出求和式，观察规律，判断其使用合适的求和方式，若分组可得特殊数列，则利用分组求和法；若数列的通项可分为一个等比数列与等差数列相乘，则利用错位相减法；若数列可列成两项相减，则利用裂项相消法.8．（多选题）已知数列满足，，则（

）A．为等比数列 B．的通项公式为C．为递增数列 D．的前n项和【答案】AD【详解】因为，所以，又，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，即，所以，所以，所以为递减数列，的前n项和．故选：AD．9．（多选题）已知数列满足，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】A选项直接由递推关系式即可求出即可；C选项由即可判断；B选项由即可判断；D选项由分组求和及等比数列求和公式即可判断.【详解】，A正确；对于，有，两式相加得，C正确；由知，则，B错误；由偶数项均为可得为偶数时，，则，则，D正确.故选：ACD.10．已知数列的前项和为，满足（是常数，），，且，则_________.【答案】128【分析】先由与的关系式得到数列为等比数列，并设数列的公比为，同时可证数列也是等比数列，并且公比为，然后根据题干条件得到用数列的公比的关系式，再将也用含有的式子表示，即可得到答案.【详解】因为（是常数，），所以当时有，两式相减得，即，所以数列为等比数列，设数列的公比为，根据题意可得，即，又因为，可得，即，因为，又因为，所以，因为，所以，可知，即数列也是等比数列，并且公比为，所以故答案为：128.11．已知等比数列的公比为q，且，能使不等式成立最大正整数_______________．【答案】【分析】根据已知求得的表达式，由此求得的取值范围，根据成立列不等式，化简求得的取值范围，从而求得最大正整数.【详解】由已知，结合知，解得，由于是等比数列，所以是首项为，公比为的等比数列.要使成立则，即，将代入整理得：又，可知，故最大正整数.故答案为：12．已知三角形数表：现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列，记此数列的前项和为．若，则的最小值是_____．【答案】95【分析】先找出每行的规律，再利用等比数列和等差数列的前项求解.【详解】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第组的项数为，则组的项数和为，因为，令得即出现在第13组之后，第组的和为，组总共的和为，若，则项的和应与互为相反数，

设项总共有项，则其前项和为所以解得当时，，则的最小值为.故答案为：95.13．记为数列的前项和，已知，是公差为2的等差数列.(1)求证为等比数列，并求的通项公式；(2)证明：.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）先由题设条件得到，再利用得到，从而可证得是等比数列，由此可求得的通项公式；（2）利用放缩法得到，从而利用等比数列前项和公式即可得证.【详解】（1）因为是公差为2的等差数列，，所以，当时，，两式相减得，，即，故，又，所以是首项为，公比为的等比数列，故，则.（2）因为，所以，则，即，所以.14．已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项中最大值为，最小值为，令，称数列是数列的“中程数数列”.若（且），求所有满足条件的实数对.【答案】(1)；(2)，.【分析】（1）由已知递推关系可得，结合等比数列的定义写出通项公式；（2）由递推研究的单调性，进而求出最大值为，最小值为，即可得，结合的通项公式得，再由（且）求出、的取值，即可得结果.（1）依题意，，即，故，所以数列是等比数列，首项为，公比为的等比数列，故，即；（2）因为，即，故时，，即；时，，即，故，故，，所以.因为，，，所以，即，又，，，且，知且，即，由知，时，，故，即，而，故符合题意；时，，故，即，而，故无解；时，，故，即，又，故符合题意；综上，所有满足条件的实数对有，.15．已知公差为d的等差数列和公比的等比数列中，，，．(1)求数列和的通项公式；(2)令，抽去数列的第3项、第6项、第9项、……、第3n项、……余下的项的顺序不变，构成一个新数列，求数列的前n项和．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）由题意，列出关于公差与公比的方程组，求解方程组，然后根据等差、等比数列的通项公式即可得答案；（2）由（1）可得，然后分和进行讨论，利用分组求和法及等比数列的前n项和公式即可求解.（1）解：由题意，，整理得，解得或，因为公比，所以，则，所以，；（2）解：由（1）可得，当时，，当时，，综上，.16．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形的边长为1，往里第二个正方形为，…，往里第个正方形为．那么第7个正方形的周长是____________，至少需要前____________个正方形的面积之和超过2．（参考数据：，）．【答案】

【分析】根据已知，利用勾股定理、正方形的周长公式、面积公式以及等比数列的通项、前n项和公式进行求解.【详解】因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，且外围第一个正方形的边长为1，所以，,由勾股定理有：，设第个正方形的边长为，则，，……，，所以，所以第7个正方形的周长是，第n个正方形的面积为，则第1个正方形的面积为，则第2个正方形的面积为，则第3个正方形的面积为，……则第n个正方形的面积为，前n个正方形的面积之和为，当时，，当时，，当时，，当时，，所以至少需要前4个正方形的面积之和超过2．故答案为：，4.模块三：名校竞赛试题精选1．（2022·四川·树德中学高一竞赛）已知正项等比数列的前n项和为，且满足，，当时，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设正项等比数列的公比为，求出公比，从而可求得数列通项公式及数列前和，在分离参数，从而可得出答案.【详解】解：设正项等比数列的公比为，因为，，所以，解得或（舍去），所以，，不等式恒成立，即不等式恒成立，即不等式恒成立，又，所以，解得，所以实数t的取值范围为.故选：A.2．（2019·安徽·高一竞赛（文））若数列为等差数列，为等比数列，且满足：，，函数，则A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出，再求的值.【详解】根据题意，根据等比数列的性质有.故选C.【点睛】本题主要考查等差数列等比数列的性质，考查三角函数值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．（2000·全国·高三竞赛）给定正数，其中，若是等比数列，是等差数列，则一元二次方程(

)A．无实根 B．有两个相等实根 C．有两个同号相异实根 D．有两个异号实根【答案】A【分析】由题意设，由题意得，由是等比数列，可得，然后计算判别式即可得结果.【详解】由题意设，因为，所以，得，因为是等比数列，所以，对于一元二次方程，，，所以一元二次方程无实根，故选：A4．（2016·河南·高三竞赛）正项等比数列中，存在两项使得，且，则的最小值是A． B．2 C． D．【答案】A【详解】试题分析：由得解得，再由得，所以，所以.考点：数列与基本不等式.【思路点晴】本题主要考查等比数列的基本元思想，考查基本不等式.第一步是解决等比数列的首项和公比，也即求出等比数列的基本元，在求解过程中，先对具体的数值条件进行化简，可求出，由此化简第一个条件，可得到；接下来第二步是基本不等式常用的处理技巧，先乘以一个常数，再除以这个常数，构造基本不等式结构来求.5．（2022·浙江丽水·高三竞赛）已知正项等比数列满足：，若存在两项、使得，则的最小值为__________.【答案】【分析】由条件先求出公比，由等比数列通项公式得出满足的关系，然后由基本不等式得最值．【详解】设等比数列的公比为，由得，解得（舍去），∴，由得，∴，所以，当且仅当，即时等号成立．所以的最小值是．故答案为：．6．（2020·全国·高三竞赛）在等比数列中，，则的值为________．【答案】．【分析】首先利用等比数列的性质，结合已知条件，列出等量关系式，求得的值，之后利用对数运算求得结果.【详解】由等比数列的性质知，故．所以．故答案为：.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关等比数列与对数运算的问题，正确解题的关键是熟练掌握等比数列的性质以及对数运算法则.7．（2003·北京·高一竞赛）若三角形三边成等比数列，则公比q的范围是_____.【答案】；【分析】设三边：、、、则由三边关系：两短边和大于第三边，把、、、代入，分和两种情况分别求得的范围，最后综合可得答案．【详解】解：设三边：、、、则由三边关系：两短边和大于第三边，即（1）当时，等价于解二次不等式：，由于方程两根为：，故得解：且，即（2）当时，为最大边，即得，解之得或且即综合（1）（2），得：故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质、一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，属基础题．8．（2019·浙江省余姚市第四中学高一竞赛）数列满足，且x1+x2+……+x100=100，则lg(x101+x102+……+x200）=____．【答案】102【分析】由对数运算性质得出数列是等比数列，公比为10，再利用等比数列的项的关系可得答案.【详解】，所以数列是等比数列，公比为10，所以，故答案为：102.【点睛】本题考查等比数列及对数运算公式，关键在于准确地运用等比数列公式和对数运算性质，属于中档题.9．（2019·新疆·高三竞赛）已知数列：，，那么是该数列的第____________项.【答案】1553【分析】先将已知数列进行分组，再确定所在组数，最后根据各组项数以及所在组位置求结果.【详解】依题意知，可将已知数列进行分组，第一组为；第二组为；第三组为；；第n组为.又，故分数在数列第7组.下面我们计算数列分组后，前6组中共有数列(项).又为数列第7组的第1010位，所以分数为数列的第543+1010项，即第1553项.【点睛】本题考查等比数列求和以及找数列规律，考查基本分析与求解能力，属中档题.10．（2018·全国·高三竞赛）在正项等比数列中，，.则满足的最大正整数的值为【答案】12【详解】解：设正项等比数列{an}首项为a1，公比为q，由题意可得，解之可得：a1，q＝2，故其通项公式为an2n﹣6．记Tn＝a1+a2+…+an，Sn＝a1a2…an＝2﹣5×2﹣4…×2n﹣6＝2﹣5﹣4+…+n﹣6．由题意可得Tn＞Sn，即，化简得：2n﹣1，即2n1，因此只须n，（n＞1），即n2﹣13n+10＜0，解得n，由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12．故答案为12【考点定位】等比数列的性质，考查分析转化能力、计算能力.较难题.11．（2014·江苏·高三竞赛）设等比数列的公比为，前项和，则的取值范围__________．【答案】【详解】是等比数列，且前项和，且当时，当时，，即，解得，或，解得综上所述，则的取值范围为12．（2012·河南·高三竞赛）已知各项均为正数的等比数列{an}，若2a4＋a3－2a2－a1＝8，则2a8＋a7的最小值为______.【答案】54【详解】由题意知等比数列中，，则公比即则设，则，设则，令，得或当时，，当时，函数在上递增，在上递减，当时，函数取得最大值是则取到最小值是即的最小值为点睛：由题意知和公比，由通项公式代入式子:，化简得到，同理化简，再把上式代入用来表示且化简，设并构造函数，再求导，求临界点和函数单调区间，求出函数的最大值，代入的化简后式子求出最小值．13．（2013·辽宁·高三竞赛）数列中，，则此数列的通项公式___________．【答案】【分析】根据递推关系可得为等比数列，即可求出通项公式.【详解】由得，所以，又，所以是首项为4，公比为2的等比数列，所以，即．故答案为：.14．（2019·全国·高三竞赛）求满足以下条件的所有正整数n：（1）n至少有4个正因数；（2）若是n的所有正因数，，构成等比数列.【答案】满足条件的n为所有形如的数，其中p是素数，整数.【分析】根据题设条件得到，得出，代入化简得，进而得到，，从而得到为，此时相应的为即可得到结论.【详解】由至少有4个正因数，可得，又由，构成等比数列，所以，因为是n的所有正因数，可得，代入上式得，化简得，所以，由此可知是完全平方数，由于是的最小素因子，是平方数，故只能，从而为，即为，此时相应的为.综上可知，满足条件的为所有形如的数，其中p是素数，整数.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，以及实数的基本性质的综合应用，其中解答中合理利用实数的基本性质是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.15．（2019·安徽·高一竞赛（文））记为等比数列的前项和，，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）已知，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据等比数列通项公式及求和公式，代入即可求得公比，进而求得通项公式．（2）根据等比数列的乘积，表示为指数为等差数列求和，进而求得，再根据二次函数的单调性求得最大值即可．【详解】（1）设的公比为，由题意得：所以，即则所以.（2）当或4时，取得最大值，且.【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，等差数列求和公式的应用及最值求法，属于基础题．16．（2018·全国·高三竞赛）已知数列是首项为2，公比为的等比数列，且前项和为.（1）用表示；（2）是否存在自然数和，使得成立？【答案】（1）Sn＋1＝Sn＋2；（2）见解析.【分析】(1)根据题意，得Sn＝4,所以Sn＋1＝4＝Sn＋2(n∈N＋)．(2)利用分析法解答，要使不等式＞2成立，只需不等式Sk－2＜c＜Sk(k∈N＋)①成立，要使①成立，c只能取2或3.再讨论c=2或3时，是否成立即得解.【详解】(1)根据题意，得Sn＝4.所以Sn＋1＝4＝Sn＋2(n∈N＋)．(2)要使不等式＞2成立，只需不等式＜0成立．因为Sk＝4＜4，所以Sk－＝2－Sk＞0(k∈N＋)．故只需不等式Sk－2＜c＜Sk(k∈N＋)①成立．因为Sk＋1＞Sk(k∈N＋)，所以Sk－2≥S1－2＝1.又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3.当c＝2时，因为S1＝2，所以当k＝1时，c＜Sk不成立．从而①不成立．当k≥