第一章实数集与函数

第一章实数集与函数P.4习题1．设a为有理数，x为无理数，证明：a0（1）a+x是无理数；（2）当时，ax是无理数.证明（1）（反证）假设a+x是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知x=a+x–a是有理数.这与题设“x为无理数”矛盾，故a+x是无理数.axx是有理数，这与题设“x为无理数”矛盾，故（2）假设ax是有理数，于是是无理数.axa|ab|a,bR3．设，证明：若对任何正数ε有，则a=b.证明由题设，对任何正数ε有|ab|0再由教材，P.3例2，可得|ab|0，于是|ab|0，a=b.从而|ab|0，由实数的稠密性，存在r使得|ab|r0.这另证（反证）假设与题设“对任何正数ε有|ab|”矛盾，于是|ab|0，从而a=b.xR5．证明：对任何有（1）|x1||x2|1；（2）|x1||x2||x3|2证明（1）1|(x1)(x2)||x1||x2|（2）因为2|x3||2(x3)||x1||x1||x2|，xxx所以|1||2||3|2ya,b,cR6．设证明A(a,b)bc|a2b2a2c2||bc|C(a,c)证明建立坐标系如图，在三角形OAC中，OAx的长度是a2b2，OC的长度是a2c2，aOAC的长度为|bc|.因为三角形两边的差小于第三边，所以有|a2b2a2c2||bc|axa1与之间.b7．设x0,b0,ab，证明介于bxax1ab|ab|a1，证明因为bxbxbbaxa(ba)x|ab|a1bbxbb(bx)baxbxa所以介于1与之间.bp8．设p为正整数，证明：若p不是完全平方数，则是无理数.证明（反证）假设p为有理数，则存在正整数m、n使得pn，其中mnk，使p是m的约数，故m、n有公约数p.、m互素.于是m2pn2，因为p不是完全平方数，所以p能整除n，即存在整数nkpmpk2p2mk2p，从而得.于是2，2这与“m、n互素”矛盾.所以p是无理数.P.9习题2．设S为非空数集，试对下列概念给出定义：（1）S无上界；若M，，使得xSxM，则称S无上界.00（请与S有上界的定义相比较：若M，使得xS，有xM，则称S有上界）（2）S无界.若M0，，使得xS|x|M，则称S无界.00（请与S有界的定义相比较：若M0，使得xS，有|x|M，则称S有界）3．试证明数集S{y|y2x2,xR}有上界而无下界y2x22，故2是S的一个上界..证明yS，有而对M0，取x3My2x21MSyM.故数，但0，000集S无下界.4．求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）S{x|x22,xR}2解supS2，infS.下面依定义加以验证supSinfS2可（2类似进行）.xS，有2x222，即是S的一个上界，是S的一个下界.222，则由实，若，则xS，都有x；若2002r数的稠密性，必有实数r，使得rS2，即，不是上界，所以supS2.（2）S{x|xn!,nN}解S无上界，故无上确界，非正常上确界为supS.infS1下面证明：.xS①，，!1即1是S的一个下界；有xn②，因为，即不是S的下界.所以infS1.111!S(3)S{x|x为(0,1)内的无理数}仿照教材P.6例2的方法，可以验证：supS1.infS0解⑷S{x|x11,nN}2n解supS1infS1，2supS1首先验证.①xS有x111，即1是S的一个上界；，2n110，于是取.从而xS，且x1②，取正整数，使得n022n000n011.x102n0所以supS15．设S为非空有下界数集，证明：infSSminS证明：）设infSS，则对一切xS，有，而，故是数集SxSminS.中的最小的数，即）设minS，则infS；；下面验证S⑴对一切xS，有，即是数集S的下界；x⑵对任何，只须取x0，则.所以infS.x0S6．设S为非空数集，定义{x|xS}.证明：⑴infSsupS⑵supSinfS证⑴设infS，下面证明：①对一切xS，有xS.因为infS，所以有x，于是是数集S的上界；supS.x，即②对任何.因为infS，有x.，所以存在xS0，使得0x0于是有xS，使得.0由①，②可知supS.7．设A、B皆为非空有界数集，定义数集AB{z|zxy,xA,yB}证明：（1）sup(AB)supAsupB；（2）inf(AB)infAinfB证明（1）因为A、B皆为非空有界数集，所以supA和supB都存在.zAB，由定义分别存在xA,yB，使得zxy.由于xsupA，ysupB，故zxysupAsupB，即supAsupB是数集AB的一个上界.，（要证不是数集supAsupBAB的上界），upsBupsA，由上xA，使得0xsupB.于是xsupB，再由上确界supA的定义，知存在00，且yB，使得0yxzxy确界supB的定义，知存在.从而00000zAB.因此supAsup是数集AB的上确界，即sup(AB)supAsupBxA,yB，使得zxy.由于xsupA，zAB，由定义分别存在B0另证ysupB，故zxysupAsup，于是Bsup(AB)supAsupB.①由上确界的定义，0，supAxA，使得02，yB，使得x00从而sup(AB)xysupAsupB，由教材00ysupB，P.3例2，可20得sup(AB)supAsupB②)supAsupB由①、②，可得sup(AB)infAinfB类似地可证明：inf(AByP.15习题22x9．试作函数yarcsin(sinx)的图象解yarcsin(xs)i是n以2π为周期，)，值域为[,]定义域为(,的分段线性函数，其图象如图.2211．试问y|x|是初等函数吗？解因为y|x|x2，可看成是两个初等函数yuux与2的复合，所以y|x|是初等函数.12．证明关于函数yx的如下不等式：1x1x0时，1x1x（2）当xx0时，1xx1（1）当111xxx1x0x1x时，有x1x1，所以当x，证明（1）因为1x从而有1xx1.111xxx1中同时乘以x，可得（2）当x0时，在不等式1x1从而得到所需要的不等式1，x1xxx1xx1x.P.20习题xx21f(x)1．证明是上的有界函数.Rxx1x212x(x212|x|)2证明因为对R中的任何实数x有所以f在R上有界.2．（1）叙述无界函数的定义；f(x)1（2）证明为（0，1）上的无界函数；x2（3）举出函数f的例子，使f为闭区间[0，1]上的无界函数.（1）设函数f(x)xD，若对任何M0，都存在xD，使得|f(x)|M，解00则称f是D上的无界函数.1M0x(0,1)，使得1M.为此只需x（2）分析：，要找.0x20M011证明M0，取x01x(0,1)，且M，则M，所以为fM10x20区间（0，1）上的无界函数.10x1是闭区间[0，1]上的无界函数x0f(x)（3）函数.x07．设f、g为定义在D上的有界函数，满足f(x)g(x)，xD证明：⑴supf(x)supg(x)；⑵inff(x)infg(x)xDxDxDxD⑴xD，有f(x)g(x)supg(x)，gxf在D上的一个上界，即sup()是证xDxD所以supf(x)supg(x).xDxD⑵xD，有inff(x)f(x)g(x)，即inff(x)是在上的一个下界，所以DgxDxDinff(x)infg(x).xDxD8．设f为定义在D上的有界函数，证明：⑴sup{f(x)}inff(x)；⑵inf{f(x)}supf(x)xDxDxDxD证⑴xD，有f(x)sup{f(x)}，fx于是()fxsup{()}，即xDxDsup{f(x)}是f在D上的一个下界，从而inff(x)sup{f(x)}，所以xDxDxDsup{f(x)}inff(x)①xDxDxDfx反之，，有()inff(x)，于是inff(x)，即inf()是ffxf(x)xDxDxD在D上的一个上界，从而sup{f(x)}inff(x)②xDxD得，sup{f(x)}inff(x).由①，②xDxD(,)内任一闭区间[a,b]上有界.229．证明：tanx在(,)上无界，而在2222M0xarctan(M1)，取，于是x(,).则有证00taxnM1M，所以tanx在(,)上无界.220M在(,)内任一闭区间[a,b]上，取max{|tana|,|tanb|}，则[,]，xab22必有|tanx|M，所以tanx在[a,b]上有界.1,当x为有理数10．讨论狄利克雷函数D(x)，的有界性，单调性与周期性.0，当x为无理数解函数D(x)是有界函数：|D(x)|1.不是单调函数.D(x)是周期函数，任何一个正有理数都是它的周期，故它没有最小周期.证明如下：设r是任一正有理数.若x是有理数，则xr是有理数，于是D(xr)1D(x)；若x是无理数，则xr是无理数，于是D(xr)0D(x).Dx任何无理数都不是()的周期.11．证明：f(x)xsinx在R上严格增.证设xx，于是12xxxxf(x)f(x)xsinxxsinxxx2cossin21212221221121xxxx1|2|sinxxsin因为x0，有sinxx，所以|2cos|xx，2121221222xxxx2cosxxsinxx.所以有1从而212122122xxxxsinf(x)f(x)xx2cosxxxx021122121222121即()fxxsin在R上严格增.xP.21总练习题,abR，证明：1．设⑴max{a,b}12(ab|ab|)max{a,b}a1|(abab)a，|)12证若ab，则，2(abab这时11有max{a,b}(abab|)；若ab|abb(ab|ab|)，则max{,}，2212(abab)b，也有max{a,b}12(ab|ab|)，所以max{a,b}12(ab|ab|)2．设f和g都是初等函数，定义M(x)max{f(x),g(x)}，m(x)min{f(x),g(x)}，xD试问M(x)和m(x)是否为初等函数？解由第1题有M(x)max{f(x),g(x)}1(f(x)g(x)|f(x)g(x)|)，因2为和fgfxgx都是初等函数，于是()()是初等函数，再由|f(x)g(x)|{[f(x)g(x)]2}12，知|f(x)g(x)|是初等函数，所以M(x)是初等函数.8．设f、g和h为增函数，满足f(x)g(x)h(x)，xR，证明：f(f(x))g(g(x))h(h(x))f、g为增函数，再由f(x)g(x)，得f(f(x))f(g(x))，f(f(x))g(g(x)).同理可得g(g(x))h(h(x)).证因为f(g(x))g(g(x))，所以有f、g为区间上的增函数，证明(x)max{f(x),g(x)}，(a,b)9．设(x)min{f(x),g(x)}(a,b)也都是区间上的增函数.(x)max{f(x),g(x)}(a,b)证⑴先证是区间上的增函数.设xx，于是有12(x)max{f(x),g(x)}f(x)f(x)，22221(x)max{f(x),g(x)}g(x)g(x)，22221(x)，所以是增函数.(x)max{f(x),g(x)}(x)从而2111⑵其次证明(x)min{f(x),g(x)}是区间上的增函数(a,b)设xx，于是有12(x)min{f(x),g(x)}f(x)f(x)11112(x)min{f(x),g(x)}g(x)g(x)11112(x)min{f(x),g(x)}(x)从而122212．设f、g为D上的有界函数，证明：⑴inf{f(x)g(x)}inff(x)supg(x)xDxDxD⑵supf(x)infg(x)sup{f(x)g(x)}xDxDxD证⑴由p.17例2(i)，有

inf{f(x)g(x)}inf{g(x)}inff(x)①②xDxDxD再由p.20习题8，有inf{g(x)}supg(x)xDxD结合①、②可得inf{f(x)g(x)}inff(x)supg(x)xDxDxD13．设f、g为D上的非负有界函数，证明：⑴inff(x)infg(x)inf{f(x)g(x)}xDxDxD⑵sup{f(x)g(x)}supf(x)infg(x)xDxDxD证⑴xD，有inff(x)f(x)，infg(x)g(x)，从而inf(x)ingf(x)f(x)g(x).即xDxDxDxDinff(x)infg(x)()()是fxgx在上的一个下界，所以有DxDxDinff(x)infg(x)inf{f(x)g(x)}xDxDxD15．设f为定义在R上以h为周期的函数，a为实数.证明：若f在[a,a+h]上有界，则f在R上有界.证设f在[a,a+h]上有界，即存在M0，使得x[a,ah]，有|f(x)|M.xR，必存在整数m和实数x[a,ah]，使得xmhx.于是00|f(x)||f(xmh)||f(x)|M，所以f在R上有界.0016．设f在区间I上有界.记Msupf(x)，minff(x)，证明xIxIsup|f(x)f(x)|Mmx,xIxI，有，f(x)Mf(x)m.于是，有x,xI证|f(x)f(x)|Mm，即是数集Mm{|f(x)f(x)|:x,xI}的一个上界.下面证明：Mm是数集{|f(x)f(x)|:x,xI}的最小上界.

x,xI2，0由上确界，下确界的定义知，，f(x)M，使得f(x)m，从而(m)Mmf(x)f(x)MMm是数.所以222集{|f(x)f(x)|:x,xI}的最小上界.所以fxfxMmsup|()()|x,xI部分重点高校历年研究生入学考试试题选（供参考）1．（北京科技大学，1999年）叙述数集A的上确界的定义，并证明：对任意有界数{x}{y}sup{xy}sup{x}sup{y}nnnn列，，总有nn证明定义参考教材.由上确界的定义，有xsup{x}，ysup{y}，（n1,2,）.于是nnnnxysup{x}sup{y}，即实数sup{x}sup{y}是数列{xy}的一个上nnnnnnnnsup{xy}sup{x}sup{y}界，所以有nnnn1f(x)lg(3x)49x2，求f(x)的定义域和f[f(7)].设2．（中国人民大学）f(x)解由3x0,3x1,49x20解得的定义域为[7,2)(2,3)11f(7)1，所以f[f(7)]43lg10lg2x1]f(x)ffffxx，并{[(())]}求f[f(x)3．（华中理工大学）设x1，试验证（x0，x1）.xf(x)f(x)1x1解由f[f(x)]x，得f{f[f(f(x))]}f[f(x)]x.x1x1x1f(x)]f[xx1]x11x1xf[1xf(x)1x,x04．（同济大学）设f[f(x)].x0，求1x0时，当f[f(x)]f(1)1，当1x0时，f[f(x)]f(1x)1，x1时，f[f(x)]f(1x)x2，解当所以f[f(x)]2x,x11x1f(x)xx2，求5．（西北工业大学）设f(x)的定义域⑴⑵⑶1{f[f(x)]}22limf(x)xx0解⑴f(x)x|x|0,x0f(x)的定义域为(,).2x,x0，所以⑵因为f[f(x)]xx2(xx2)22xx22f(x)，所以12{f[f(x)]}2f(x)xx2limf(x)lim00x0limf(x)lim2xlimf(x)x0⑶因为，，所以不存xxxxxx0x0x0在清华大学）设函数f(x)在(,)上是奇函数，f(1)a且对任何x值均有6．（f(x2)f(x)f(2)⑴试用a表示f(2)与f(5)f(x)是以⑵问a取什么值时，2为周期的周期函数.因为对任何x值均有f(x2)f(x)f(2)，令x1得解⑴af(1)f(12)f(2)f(1)f(2)f(1)f(2)a，所以f(3)f(1)f(2)3a，f(5)f(2)f(3)5a⑵由f(x2)f(x)f(2)知当且仅当f(2)0，即f(2)2a.a0时，f(x)是以2为周期的周期函数.(l,l)f(x)7．（合肥工业大学）证明：定义在对称区间内的任何函数，必可表示成H(x)与奇函数G(x)之和的形式，且这种表示法是唯一的偶函数.证明令H(x)1[f(x)f(x)]，G(x)1[f(x)f(x)]，则22f(x)H(x)G(x)，且容易证明H(x)是偶函数，G(x)，满足.若还有偶函数1G(x)是奇函数.H(x)与奇函数f(x)H(x)G(x)，则1下证唯一性11有H(x)H(x)G(x)G(x)，①②11用x代入①式，得H(x)H(x)G(x)G(x)11①+②得H(x)H(x)，再代入②式得G(x)G