图形计数及最短路线新

-.z.最短路线这一讲里，我们将会解决这个特殊的计数问题：最短路线问题。怎样计数从A到B的最短路线的条数呢？我们将介绍一种非常巧妙的方法——对角线法（也叫标号法）。一、长方形方格标号：咱们先做个游戏：在方格纸上任取一点A作为起点，再在A的右上方任取一点B作为终点划一条由A到B的最短路线。聪明的小朋友，你能划出来吗？总共能划出几条呢？分析：教师可提问如ACIHGFB是最短路线吗？为什么不是？如果要划从A到B的最短路线，则从A点出发只能向上或向右（每一条都是横划2格竖划2格），可以是ACDEB、ACIEB、ACIFB、AHGFB、AHIEB、AHIFB这六条路线。在上面这个游戏中，你是用什么方法找到从A到B的最短路线呢？如果A、B两点变成图1、2、3的位置，则从A到B的最短路线有几条呢？分析：图1、2、3中从A到B的最短路线均为6条。例2、按图中箭头所示的方向行走，从A点走到B点的不同路线共有多少条"【分析】如下图，为了方便叙述，我们将*些点边标上字母，按箭头所示，走有一条路，到有2种办法；再往下到有从走和走两种方法，这样到有3条路线；到可从、走，有5种方法到．过可从、走，共有8条路线；到可走、，这样共有13种走法；经过可从、两条路走，有21种方法都到；到达可以走和，因而有34种路线到达．这样由A到B，可经过和两个交叉点，共有34+21=55条路线，如图所示．因此，从A点到B点的不同路线共有55条．例3：动物园的门票1元1*，每人限购1*。现在有10个小朋友排队买票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票.售票员没有准备零钱，问有多少种排队的方法能够使售票员找得开零钱？分析与解答：假设拿1元的5个小朋友无差别,拿2元的5个小朋友也无差别.AB42AB42111111144223452591451428如图用横线表示拿1元的小朋友,用竖线表示拿2元的小朋友,从A到B只能向右或向上走(从任何一个持有2元钞票的小朋友向前看，持1元钞票的小朋友都要多一些),共有42种走法,即有42种排队方法.我们再考虑拿1元的小朋友有差别，共有=5×4×3×2×1＝120（种）,同理拿2元的小朋友有差别，共有=5×4×3×2×1＝120（种）.根据乘法原理排队方法共有42×120×120=604800（种）.二、不规则图形标号：【例4】下图是小明家和学校的示意图，你们觉得小明从家到学校一共有几条最短路线呢？分析：我们采用对角线法（如图），但本题图形有变化，，例如D点：从学校到C点有2种走法，再到D点最短路线的选择只能从C点走，所以从学校到D点有2种走法。请教师根据学生的理解情况灵活把握，选择几个点讲透彻。从而得到小明可以选择的最短路线共有12条。从而得到小明可以选择的最短路线共有12条。分析：教师讲解时要注意阶梯形与前几题的不同。我们采用对角线法（如图），从学校到李家村共有126种不同的最短路线。【例5】“五一”长假就要到了，小新和爸爸决定去**玩。聪明的小朋友请你找找看从到**的最短路线共有几条呢？分析：我们采用对角线法（如图）这道题的图形与前几题的图形又有所区别，在解题时要格外注意是D、G、K、E、H、L这样的点共有几条最短路线，具体是怎么走的，即由哪两点的数之和来确定另一点的。从到**最近的道路共有10条。【例6】大熊和美子准备去看望养老院的李奶奶，可是市中心在修路(城市的街道如图所示),他们从学校到养老院最短路线共有几条呢？聪明的小朋友，请你们快想想吧！分析：（解法1）先假设直接学校到养老院（也就是说可以经过市中心，也可以不经过市中心）对角线法共126条。再减去必经过市中心的60条，即得126-60=66（条）。（解法2）可以直接求，即把含有市中心的田字格挖去（或者认为市中心那一点标“0”），共有66条。【例7】第三届希望杯五年级2试试题）右图中的“我爱希望杯”有______种不同的读法。（咱们三年级的小朋友都会做五年级的竞赛题了，真聪明！）分析：本题实际是最短路线问题，从我（1个）、爱（2个）、希（3个）、望（4个）、杯（5个）中组成“我爱希望杯”即相同的字只能选一个而且不能重复选，所以共有16种。对角线法，其实最短路线问题还有【附1】类型，教师可选讲。【附】假如直线AB是一条公路，公路两侧有甲、乙两个村庄。现在要在公路上建一个汽车站，让两个村子的人到汽车站的路线之和最短，问汽车站建在哪？分析：找到甲村关于AB的对称点C，连接C和乙村交AB的那一点即为汽车站。课后练习：1、从*到Y最短路线共有多少种不同的走法？分析：对角线法。共20种。2.如图，从A到B，最短路线有几条？分析：共有41条3.如图，从P点出发到Q点，走最短的路程，有多少种不同的走法？分析：共有115种。4.小海龟在小猪家玩，它们想去游乐园坐碰碰车，爱动脑筋的小朋友，请你想一想，从小猪家到游乐园共有几条最短路线呢？分析：对角线法，共14条。5.（第五届希望杯六年级1试）小君家到学校的道路如右图所示。从小君家到学校有种不同的走法。(只能沿图中向右或向下的方向走)分析：10种。6.从甲到乙最短路线有几条？分析：有11条。7、学校组织三年级的小朋友去帮助农民伯伯锄草，大家从学校乘车出发，去往东南角的李家村（如图）。爱动脑筋的嘟嘟就在想，从学校到李家村共有多少种不同的最短路线呢？8、在三角形网络的圆圈中，填有“欢迎你”的字样，问：可以有多少种不同的方法，沿着连有线段的方向，连成“欢迎你”这句话？9、如图，从*到Y最短路线总共有几种走法？分析：共有716种。10、阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆；第二天他们先去公园看大熊猫再去图书馆；第三天公园修路不能通行。咱们学而思的小朋友都很聪明，请你们帮阿强和牛牛想想这三天从学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？几何计数内容概述几何中的计数问题包括：数线段、数角、数三角形、数长方形、数正方形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，做到不重不漏地准确数出图形，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力，选择适当的计数方法解决问题.经典分类：一、数线段数一数，下图中有多少条线段"小朋友们，你有几种方法有序的把它数出来？分析：我们要做到有序思考问题，做到不重、不漏，必须有一个“找”的依据，下面我将给大家展示两种常见的方法：法1：以线段的起点分类（注意保持方向的一致），如右图以A点为共同左端点的线段有：ABACADAEAF5条．以B点为共同左端点的线段有：BCBDBEBF4条．以C点为共同左端点的线段有：CDCECF3条．以D点为共同左端点的线段有：DEDF2条．以E点为共同左端点的线段有：EF1条．总数5+4+3+2+1＝15条．法2：我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们还可以这样分类数，由1个基本线段构成的线段有：AB、BC、CD、DE、EF5条。由2个基本线段构成的线段有：AC、BD、CE、DF4条．由3个基本线段构成的线段有：AD、BE、CF3条．由4个基本线段构成的线段有：AE、BF2条．由5个基本线段构成的线段有：AF1条．总数5+4+3+2+1＝15条．这两个方法你掌握的怎么样啊？细心的你从中能发现什么规律么？从这道例题中我发现了下面这个结论：（结论内容学生版没有，请教师注意帮助学生总结填写）如果一条直线上有n个点，则线段的条数为：(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+3+2+1=n×(n-1)÷2(条).为巩固学生对结论的记忆及应用，教师可在此多多举例联系！有一把奇怪的尺子，上面只有“0”“1”“4”“6”这几个刻度（单位：厘米）。请你想一想，有这把尺子一次可以画出几条不同长度的线段？分析：把“0”“1”“4”“6”看成4个点；0～1：1厘米；0～4：4厘米；0～6：6厘米；1～4：3厘米；1～6：5厘米；4～6：2厘米。共6种不同长度的线段。（第三届兴趣杯少年数学邀请赛预赛）数一数，右图中共有线段多少条？分析：讲解此题之前可先向学生介绍一下下题：数一数，右下图中共有多少条线段？分析：数线段要分类数：我把它分成两大类：“个人”和“集体”。这里面AC、BD是“个人”，BC（其中包含BO、CO）、AD（其中包含AO、DO）是“集体”，思路如下：“个人”：AC、BD，2个；“集体1”：BC、BO、CO；“集体2”：AD、AO、DO，所以共有8条线段。回到例题，观察可知这个图形中都是“集体”，在数的时候我们也可以对“集体”进行分类.含4个交点的集体：AG、AB中共有线段：(3+2+1)×2=12(条)；含3个交点的集体：EF，CD，BC，AC中共有线段：(2+1)×4=12(条)；所以总共有线段：12+12=24(条)．（第七届小数报数学竞赛决赛）右图中共有多少个圆"把紧挨在一起的两个圆称为一对，例如圆A、B、C可以看成3对(分别是A与B，B与C，C与A)，图中这样的圆对共有多少对？分析：添加一些辅助线，如右下图所示，显然“圆对”数就是基本线段的数目：（1+2+3+4+5）×3=45（个）.二、数三角形如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析：仔细观察可知，每个三角形中，有两条边都是由O点引出的，而第三边是AE和FG上的线段，AE和FG上的线段条数就和三角形的个数一一对应了.于是数三角形个数的问题就转化为数线段的问题了.FG上含有的基本线段有：5×4÷2=10（条）；AE上含有的基本线段有：5×4÷2=10（条）；所以共有：10+10=20（个）三角形.（第三届迎春杯决赛）右图中有多少个三角形？分析：边长为1的正三角形，有16个；边长为2的正三角形，尖向上的有3个，尖向下的也有3个；共22个.数一数，右图中共有多少个三角形"分析：（按所含的基本图形个数分类）只含有一个基本三角形的三角形有6个；恰含两个基本三角形的三角形有3个；恰含三个基本三角形的三角形有6个；恰含四个或五个基本三角形的三角形一个也没有；恰含六个基本三角形的三角形只有1个。图中共有三角形：6+3+6+1=16(个)。数一数，右图中共有多少个三角形"分析：（按大小分类）图中共有44个三角形。其中最大的2个、次大的6个、次小的12个、最小的24个。（第三届兴趣杯少年数学邀请赛预赛）数一数，右图中三角形共多少个？分析：（按形状分类）类似于△ABH的三角形共有6个；类似于△AGH的三角形共有6个；类似于△ABJ的三角形共有12个；类似于△ABC的三角形共有6个；类似于△AEC的三角形共有2个．于是，图中共有三角形6+6+12+6+2=32(个)．三、数四边形数一数，各图中长方形的个数"分析：法1：分类来数：（1）以AD长为左宽共有10个长方形.（2）以DE长为左宽，有10个长方形；以DA长为左宽，有10个长方形；以EA长为左宽，有10个长方形；所以图中共有30个长方形.（3）以DE长为左宽，有10个长方形；以DG长为左宽，有10个长方形；以DA长为左宽，有10个长方形；以EG长为左宽，有10个长方形；以EA长为左宽，有10个长方形；以GA长为左宽，有10个长方形；所以图中共有60个长方形.当然，你也可以以一条长为根基来分类数.法2：因为长方形是由长和宽两个因素确定的，所以数长方形的个数与数线段的条数也有着密切的联系．可以这样思考：先数一数AB边上有多少条线段，每一条线段可以分别作为长方形的长，再数一数AD上有多少条线段，每一条线段可以分别作为长方形的宽，每一条长与一条宽搭配，就确定了一个长方形，这样就容易得出一共有多少个长方形了．先来看图(1)，AB边上包含着的10条线段(想一想：为什么)，其中的每一条都可与线段AD对应，唯一确定一个长方形，所以图(1)中共有(10×1)=10个长方形．再来看图(2)，与图(1)不同的是，在AD上增加了一个分点，这样就有3条线段，这3条线段分别与AB边上不同的线段构成长方形，所以图(2)中共有(10×3)=30个长方形．最后看图(3)，与上面的思路相同，由于AD边上有(3+2+1)=6条线段，所以图(3)中共有(10×6)=60个长方形．解：(1)（4+3+2+1)×1=10(个)；(2)(4+3+2+1)×(2+1)=30(个)；(3)(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个)．现在，请同学们想一想：这三个算式中左边被乘数中的最大数与什么有关"乘数中的最大数又与什么有关"从这道例题中我发现了下面这个结论：我们可以得出计数与上题类似的图形中的长方形的一般方法：当一条边上含有n条基本线段，另一边含有m条基本线段时，长方形的总数为：(n+…+3+2+1)×(m+…+3+2+1)。带*的长方形有多少个？分析：长中带*的线段有8条，宽中带*的线段有6条，长方形是由长和宽两个因素确定的，所以带*的长方形有8×6=48（个）.数一数（1）图中有多少个平行四边形？（2）图中有多少个梯形？分析：（1）含（3+2+1）×（3+2+1）=36（个）平行四边形.（2）含（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（个）梯形.右图中有多少个长方形？分析：分类来数：以AB长为宽的长方形有：3+2+1=6（个）；以AC长为宽的长方形有：3+2+1=6（个）；以BC长为宽的长方形有：4+3+2+1=10（个）；所以共有长方形22个.右图中各小格都是正方形，图中共有多少个正方形？分析：同学们都知道，正方形是长和宽相等的长方形，所以数正方形时不能简单地照搬计数长方形的方法．根据正方形的特点，我们可以采用分类的方法来数正方形的个数．为了叙述的方便起见，我们把以一条基本线段的长度为边长的正方形称为基本正方形.图中共有三类正方形，即基本正方形，由4个基本正方形组成的正方形和由9个基本正方形组成的正方形，我们分三类统计：(1)基本正方形共有(9×3)=27个；(2)由4个基本正方形组成的正方形共有(8×2)=16个；(3)由9个基本正方形组成的正方形共有(7×1)=7个．所以，图中的正方形共有(27+16+7)=50个．上面我们是用枚举法来计数正方形的，但是如果基本正方形的个数较多，这种方法显然很麻烦．则，计数正方形是不是也有规律可循呢"答案是肯定的．从这道例题中我发现了下面这个结论：（结论内容学生版没有，请教师注意帮助学生总结填写）如果一个长方形的一条边被分成n等份，另一条边被分成m等份，且长和宽上的每一份相等，则这个长方形中正方形的总数为：nm+(n－1)(m－1)+(n－2)(m－2)+…+(n－m+1)×1(其中n≥m)．数一数，下例各图中有多少个正方形？分析：（1）数正方形要用分类的方法.只含有1个基本正方形，也就是边长为1的正方形：3×3=9（个）；含有4个基本正方形，也就是边长为2的正方形：2×2=4（个）；含有9个基本正方形，也就是边长为3的正方形：1×1=1（个）.共有3×3+2×2+1×1=14（个）.（2）只含有1个基本正方形，也就是边长为1的正方形：4×4=16（个）；含有4个基本正方形，也就是边长为2的正方形：3×3=9（个）；含有9个基本正方形，也就是边长为3的正方形：2×2=4（个）；含有16个基本正方形，也就是边长为4的正方形：1×1=1（个）。共有4×4+3×3+2×2+1×1=30（个）从上面两道题目你发现了什么规律吗？呵呵！要善于发现总结。（3）依照规律可得：7×7+6×6+5×5+4×4+3×3+2×2+1×1=140（个）.其实这道题目就是上个结论的特殊应用啊！附加题目【附1】想想下图中有多少条线段？分析：直线上共有50个点，所以共有：50×49÷2=1225（条）.【附2】数一数，右图中共有多少条线段？分析：数线段要分类数：我把它分成两大类：“个人”和“集体”。“个人”：5条；“集体”：3+2+1=6（条）；共5个这样的集体，所以共5×（3+2+1）+5=35（条）。【附3】（第十二届迎春杯决赛）用长短相同的火柴棍摆成3×1996个小的方格网(每一个小方格的边长为一根火柴棍长，如右图)．一共需多少根火柴棍？分析：我们可以分横竖两个方向去数：横放需：1996×4(根)，竖放需：1997×3(根)，共需：1996×4+1997×3=1996×(4+3)十3=13975(根)．【附4】（第六届迎春杯决赛）用三根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．用这样的等边三角形如图所示，拼合成一个大的等边三角形．如果这个大的等边三角形的底为20根火柴长，则一共要多少根火柴？分析：注意引导学生用“分层数的思路”.把大的等边三角形分为20“层”分别计算火柴的根数：最上一“层”只用了3根火柴；从上向下数第二层用了3×2=6根火柴；从上向下数第三层用了3×3=9根火柴；……从上向下数第20层用了3×20=60根火柴．所以，总共要用火柴：3×(1+2+3+…+20)=630(根)．【附5】数一数右图中共有多少个角"你能用两种方法解答这个问题么？分析：数角的方法和数线段的方法很相同，我们可以仿照例1的思路去做。法1：以角的起始边分类（注意保持方向的一致）：以OA边为公共边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOF共5个．以OB边为公共边的角有：∠BOC、∠BOD、∠BOE、∠BOF共4个．以OC边为公共边的角有：∠COD、∠COE、∠COF共3个．以OD边为公共边的角有：∠DOE、∠DOF共2个．以OE边为公共边的角有：∠EOF只1个．角总数5+4+3+2+1=15(个)．法2：我们规定：把相邻两条射线构成的角叫做基本角，我们还可以这样分类数：由1个基本角构成的角有：∠AOB、∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF共5个．由2个基本角构成的角有：∠AOC、∠BOD、∠COE、∠DOF共4个．由3个基本角构成的角有：∠AOD、∠BOE、∠COF共3个。由4个基本角构成的角有：∠AOE、∠BOF共2个．由5个基本角构成的角有：∠AOF共1个．角总数5+4+3+2+1=15(个)．【附6】（小数报数学竞赛初赛）数一数，右图中共有多少个三角形"你有什么好方法？分析：建议讲解此题之前，请教师先把角的计数方法给孩子们巩固一下.可参看附加6.法1：按公共角进行分类：以∠OAB为公共角：△OAB、△OAC、△OAD、△OAE、△OAF共5个；以∠OBC为公共角：4个；以∠OCD为公共角：3个；以∠ODE为公共角：2个；以∠OEF为公共角：1个；共15个。法2：按基本三角形分类。法3：一个三角形由三个顶点和三条边组成。图中的三角形共用同一个顶点。我们如果不看下面的一条底边，只看上面，你一定能用数角的方法数出来：5+4+3+2+1=15(个)角，每个角都可以以下面的一条线段做底，就形成了15个三角形。【附7】（第十一届迎春杯决赛）如图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形．其中*些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形若干个．则图中包含“*”号的大、小正三角形一共有多少个？分析：分三类进行计数(设小正三角形边长为1)包含*的三角形中，边长为1的正三角形有1个；边长为2的正三角形有4个；边长为3的正三角形有1个；因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有：1+4+1=6(个)．【附8】（第一届兴趣杯少年数学邀请赛决赛）图中有______个正方形．分析：5×5的正方形1个；4×4的正方形4个；3×3的正方形5个；2×2的正方形4个；1×1的正方形13个，共27个.【附9】（华杯赛口试）由35个单位小正方形组成的长方形中，如右图所示有两个“*”．问：包含两个“*”在内的由小正方形组成的长方形(含正方形)共有多少个"分析：含两个“*”在内的长有12条，宽有6条，则共有：12×6=72（个)长方形.4：（八一中学小升初考试）平面上5条直线最多把一个圆分成几个部分？课后作业：1．有一把尺子，因磨损只能看清“0”“2”“5”“8”“9”，你能用这把尺子准确画出多少条不同长度的线段？分析：可画出1～9长度的线段。2．数数右图中有多少条线段？分析：“个人”：AB，1条；含3个交点的集体：BD、FD、BC中共有线段：(2+1)×3=9(条)；含4个交点的集体：AC中有线段：3+2+1=6(条)；所以总共有线段：1+9+6=16(条)．3．如右图，数数有多少个三角形？分析：（按边长分类）从上到下分成最基本的4层，共有小三角1+3+5+7=16（个）；两层一结合，有次大三角形1+2+4=7（个）；三层一结合，有较大三角形1+2=3（个）；四层一结合，有最大三角形1个，所以共16+7+3+1=27（个）。这个方法其实就是将三角形按边长来分类数，只不过更加强调计数时在层与层之间有序的考虑.在数的过程中注意可将三角形分成尖朝上和朝下两类.4．数一数下图中有多少个正方形？分析：5×5+4×4+3×3+2×2+1×1=55（个）。5．如下图，数一数下列图中长方形的个数？带小花的长方形有多少个？*分析：长方形有150个，带小花的长方形有54个.数一数，右图中共有多少个正方形"分析：我们可以根据组成正方形的小三角形的个数来分类数图形：由2个小三角形组成的正方形有4个；由4个小三角形组成的正方形有4个；由8个小三角形组成的正方形有1个；由16个小三角形组成的正方形有1个。这样，一共有正方形4+4+1+1=10(个)。7．（第三届兴趣杯少年数学邀请赛预赛）数一数，下图中长方形共有___个分析：“单独的”小长方形有6个；“含有2个小长方形”的长方形有4个；“含有3个小长方形”的长方表有2个；“含有4个小长方形”的长方形有1个；“含有5个小长方形”的长方形有2个；“含有6个小长方形”的长方形有1个；故共有6+4+2+1+2+1=16(个)．练习数一数下列图形中各有多少条线段。数出下图中各有多少个角。下图，各个图形内各有多少个三角形？右图，数一数共有多少条线段，共有多少个三角形？数一数下面各图中长方形的个数。数一数下面各图中正方形的个数。数一数下面各图中正方形的个数。数一数下面各图中正方形的个数。下图各正方形点阵中，每个点上都钉上钉子，形成n×n的正方形钉阵，现有许多皮筋，问能套出多少个正方形。数一数下面各图中三角形的个数。数一数下面各图中三角形的个数。下图中有多少个长方体？以下题目稍难用火柴棒做边摆三角形阵，如果摆20层，需要多少根？用火柴棒摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棒组成，则一共需要多少根火柴棒？用6个边长为1的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形。如果在桌面上要拼成一个边长为6的正六边形，则，需要边长为1的正三角形多少个？右图中有多少个三角形？下左图中含“*”的各种大小的正三角形共有多少个？下右图中含“*”的长方形及正方形共有多少个？如图数正方形的个数。如图，三条横线互相平行，问图中梯形个数与三角形个数的差是多少？下图钉子阵，用橡皮筋各能套出多少个不同的三角形？正方形ACEG的边界上有A、B、C、D、E、F、G这7个点，其中B、D、F分别在边AC、CE、EG上。以这7个点中的4个点为顶点组成的不同四边形的个数等于多少？

如图，一块木板上有13枚钉子，用橡皮筋套四枚钉子形成不同的正方形共有多少个？如图半圆周边共有12个点，以这些点为顶点，可以画出多少个（1）三角形和（2）四边形？【知识点】数出*种图形的个数是一类有趣的问题，最常用的方法是分类计数。计数的时候要从基本的图形开始，做到有条理、不重复、不遗漏。计算*个图形的周长，当遇到不规则图形的时候，要利用适当的平移、分割或者其他变换，灵活运用长方形和正方形的周长公式，得到准确答案。

【典型例题】数出下面的图形中共有多少条线段。下列各图形中，三角形的个数各是多少？数一数，下图中有多少个三角形？

(第3题)(第4题)数一数，右上图中有多少个长方形？数一数下图中正方形的个数。(第5题)(第6题)

在右上图中，包含星号标记的长方形和正方形各有多少个？【练习一】下列图形各有几条线段？下列图形中各包含几个三角形？数一数，下面各图中有几个角。下图(1)中有几个三角形？(2)中有几个长方形？(1)(2)下列图形中，包含星号的三角形或者长方形各有多少？下列图形中，不包含星号的三角形或者长方形各有多少？一条小虫从枝形路线的最下一层向上爬，爬到最上边的顶点，共有多少种可行的最短路线？8、如图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点（且不在同一条直线上的三个点不共线）。在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形。问：一共可以画出多少个这样的三角形？9、如图，沿线段从点A走最短的路线到B，各有多少种走法？奥林匹克训练题库第四章图形问题一图形的计数1下列各图中各有多少个小于180°的角？2右图中∠1=∠2=∠3，如果图中所有角的和等于180°，则∠AOB是多少度？3圆周上有6个点，以其中两个点为端点的弧共有多少条？4下列各图形中分别有多少个三角形？5在下列各图中，每个最小的正三角形的面积都等于1，分别求出每个图中所有各种三角形的面积之和。6左下图中共有多少个三角形？其中直角三角形有多少个？7右上图中有多少个长方形？8左下图中共有多少个正方形？9右上图中大大小小共有42个正方形，在这些正方形中，所含的数字之和能被5整除的有多少个？10下列各图中分别有多少个梯形？11右图中每个小三角形都是正三角形，图中共有多少个正六边形？12在一个10×10的方格纸中含有多少个5×5的正方形？13左下图中有许多大大小小的三角形，其中包含阴影部分的三角形有几个？14如右上图，ABCD是平行四边形，图中的线段分别与AB，AD或BE平行。图中包含阴影三角形的平行四边形共有多少个？15在4×4的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L“型（如左下图），共有多少种不同的取法？16在6×6的方格棋盘中，可以找到多少个右上图所示的“凸”字形图形？17把0～9十个数字像下图那样描在同一*3×5的方格上，每个小方格被涂的次数有多有少，最多的被涂了9次，被涂了9次的小方格有多少个？171818把0～9十个数字像下图那样描在同一*5×7的方格纸上，每个小方格被涂的次数有多有少，没有被涂到的小方格共有多少个？19如右图所示，在正六边形A周围画出6个同样的正六边形（阴影部分），围成第1圈；在第1圈外面再画出12个同样的正六边形，围成第2圈。按这个方法继续画下去，当画完第9圈时，图中共有多少个与A相同的正六边形？20如下图，在2×2方格中，画一条直线最多穿过3个方格；在3×3方格中，画一条直线最多穿过5个方格。在9×9方格中，画一条直线最多穿过多少个方格？21一*圆形纸片被对折成一个半圆形（左下图），在半圆形上画两条直线，然后沿直线切两刀，最多能将纸片分成几块？22右上图中有A1，A2，…，A7共七个点，以这些点为顶点可以画出多少个不同的三角形？23右图中的两条平行线上标有九个点，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？24左下图中有A，B，C，D，E，F六个点，以这六个点中的三个为顶点，可以画出多少个不同的三角形？25右上图中有A，B，C，D，E，F，G七个点，以这七个点中的四个为顶点，可以画出多少个不同的四边形？26木板上钉着12颗钉子（如左下图），用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形？27右上图是用9颗钉子钉成的相互间为1cm的正方阵，如果用橡皮筋将适当的三颗钉子连结起来，则能够得到多少个面积为1cm2的三角形？28