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文档简介
关于变化率问题与导数的概念第1页,课件共15页,创作于2023年2月问题1.气球平均膨胀率.吹气球时,会发现:随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢,能从数学的角度解释这一现象吗?解:可知:V(r)=πr3
即:r(V)=
当空气容量V从0增加1L时,半径增加了r(1)-r(0)=0.62气球平均膨胀率:
第2页,课件共15页,创作于2023年2月问题1.气球平均膨胀率.当空气容量V从1加2L时,半径增加了r(2)-r(1)=0.16气球平均膨胀率:
可以看出,随着气球体积变大,它的平均膨胀率变小.思考:当空气容量从V1增加到V2
时,气球的平均膨胀率是多少呢?第3页,课件共15页,创作于2023年2月问题2.平均速度.物体自由落体的运动方程是:S(t)=gt2,12求1s到2s时的平均速度.
解:S2-S1==14.7t2-t1=1V=第4页,课件共15页,创作于2023年2月问题2.平均速度.思考:求t1s到t2s时的平均速度.
V=第5页,课件共15页,创作于2023年2月平均变化率如果上述的两个函数关系用f(x)表示那么当自变量x从x1变化到x2时,函数值就从y1变化到y2则函数f(x)从x1到x2的平均变化率:它的几何意义是什么呢?第6页,课件共15页,创作于2023年2月问题3:瞬时速度物体自由落体的运动方程是:S(t)=gt2,12如何求t=3这时刻的瞬时速度呢?能否用求平均速度的方法求某一时刻的瞬时速度?
(我们可以取t=3临近时间间隔内的平均速度当作t=3时刻的平均速度,不过时间隔要很小很小)
第7页,课件共15页,创作于2023年2月问题3:瞬时速度物体自由落体的运动方程是:S(t)=gt2,12如何求t=3这时刻的瞬时速度呢?解:取一小段时间:[3,3+△t]△S=g(3+△t)2-gV=△S△t(6+△t)第8页,课件共15页,创作于2023年2月问题3:瞬时速度解:取一小段时间:[3,3+△t]△S=g(3+△t)2-gV=△S△t(6+△t)当△t0时,v3g=29.4(平均速度的极限为瞬时速度)
第9页,课件共15页,创作于2023年2月瞬时速度:(平均速度的极限为瞬时速度)
即:lim△t0S(3+△t)-S(3)△t=29.4
思考:在t0时刻的瞬时速度呢?lim△t0S(t0+△t)-S(t0)△t第10页,课件共15页,创作于2023年2月瞬时变化率:思考:我们利用平均速度的极限求得瞬时速度,那么如何求函数f(x)在x=x0点的瞬时变化率呢?可知:函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率为:lim△x0f(x0+△x)-f(x0)△xlim△x0△f△x=第11页,课件共15页,创作于2023年2月导数函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率为:lim△x0f(x0+△x)-f(x0)△xlim△x0△f△x=我们称它为函数f(x)在x=x0处的导数.记作:f’(x0)=lim△x0f(x0+△x)-f(x0)△x第12页,课件共15页,创作于2023年2月小结:由定义知,求f(x)在x0处的导数步骤为:第13页,课件共15页,创
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