力对点之矩合力矩定理

建筑力学4.1力对点之矩、合力矩定理第四章力矩与平面力偶系【学习目标】1.掌握力矩的概念与计算；2.理解力偶的概念及其性质；3.掌握平面力偶系的平衡条件及其应用；4.熟练掌握合力矩定理及其应用。4.1力对点之矩、合力矩定理一、力对点之矩物体在力的作用下将产生运动效应。运动可分解为移动和转动。由经验可知，力使物体移动的效应取决于力的大小和方向。那么，力使物体转动的效应与哪些因素有关呢？4.1力对点之矩、合力矩定理如图4-1所示，用扳手拧紧螺母时，在扳手上作用一力F，使扳手和螺母一起绕螺丝中心O转动，就是力F使扳手产生转动效应。由经验知，加在扳手上的力F离螺母中心O愈远，拧紧螺母就愈省力；力F离螺母中心愈近，就愈费力。若施力方向与图示力F的方向相反，扳手将按相反的方向转动，就会使螺母松动。此外，如图4-2所示，用钉锤拔钉子，以及用撬杠撬动笨重物体，等等，都有类似的情形。4.1力对点之矩、合力矩定理这些例子说明，力F使物体绕任一点O转动的效应，如图4-3所示，决定于：（1）力F的大小以及力F相对于点O的转向；（2）点O到力F的作用线的垂直距离d

。4.1力对点之矩、合力矩定理在平面问题中，我们把乘积Fd加上适当的正负号，作为力F使物体绕点O转动效应的度量，并称为力F对点O的矩，简称力矩，用Mo(F)或MO表示，即

MO(F)=Fd

（4-1）点O称为矩心，力作用线到矩心的垂直距离d称为力臂。正负号通常用来区别力使物体矩心转动的方向，并规定：若力使物体绕矩心作逆时针方向转动，力矩取正号，如图4-3a所示;反之，取负号，如图4-3b所示。4.1力对点之矩、合力矩定理由此在平面问题中可得结论如下：力对点之矩是一代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时为正，反之为负。力矩的概念可以推广到普遍的情形。在具体应用时，对于矩心的选择无任何限制，作用于物体上的力可以对平面内任一点取矩。4.1力对点之矩、合力矩定理综上所述，得出如下力矩性质：（1）力F对点O的矩，不仅决定于力的大小，同时与矩心的位置有关。矩心的位置不同，力矩随之而异。（2）力F对任一点的矩，不因为F的作用点沿其作用线移动而改变，因为力和力臂的大小均未改变。（3）力的大小等于零或力的作用线通过矩心，即公式（3-1）中的F=0或者d=0,则力矩等于零。（4）相互平衡的两个力对同一点的矩的代数和等于零。在国际单位制中，力矩的单位是牛·米（N·m）或千牛·米（kN·m）。4.1力对点之矩、合力矩定理二、合力矩定理我们知道，平面汇交力系对物体的作用效果可以用它的合力FR来代替。那么，力系中各分力对平面内某点的矩与它们的合力FR对该点的矩有什么关系呢？现在来研究这一问题。

4.1力对点之矩、合力矩定理设在物体上A点作用有同一平面内的两个汇交力F1和F2，它们的合力为FR（图4-4）。在力的平面内任选一点O为矩心，并垂直于OA作y轴。令Fy1、Fy2和FRy分别表示力F1、F2、FR在y轴上的投影，由图4-4可以看出：Fy1=Ob1

；

Fy2=－Ob2

；FRy=Ob4.1力对点之矩、合力矩定理各力对O点的矩分别是Mo(F1)=Ob1·OA=

Fy1·OAMo(F2)=－Ob2·OA=Fy2·OAMo(FR)=Ob·OA=FRy·OA

将上面三式设为（a）式4.1力对点之矩、合力矩定理根据合力投影定理有

FRy

=Fy1+Fy2上式的两边同乘以OA得

FRy·OA=Fy1·OA+Fy2·OA

（b）将上面式（a）代入式（b）得

Mo（FR）=Mo（F1）+Mo（F2）

上式表明：汇交于一点的两个力对平面内某点力矩的代数和等于其合力对该点的矩。4.1力对点之矩、合力矩定理如果作用在平面内A点有几个汇交力，可以多次应用上述结论而得到平面汇交力系的合力矩定理，即：平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等于力系中各分力对同一点之矩的代数和。即：Mo(FR)=Mo(F1)+Mo(F2)+…+Mo(Fn)

(4-2)合力矩定理还适用于有合力的其它力系。4.1力对点之矩、合力矩定理例4-1

力F作用在平板上的A点，已知F=100kN，板的尺寸如图3-5所示。试计算力F对O点之矩。4.1力对点之矩、合力矩定理

解：由于力臂

OD不易计算，因此直接求力F对O点之矩比较麻烦。为计算方便，将力F分解为相互垂直的两分力Fx、Fy，分别计算它们对O点之矩，再应用合力矩定理，就可得到F对O点之矩。4.1力对点之矩、合力矩定理先将力F进行分解如图，求其分力

Fx=F·cos60=100×0.5=50kN

Fy=F·sin60=100×0.866=86.6kN分力Fx

至O点的力臂是2m；分力Fy至O点的力臂是2.5m。

4.1力对点之矩、合力矩定理因此力F对O点之矩

Mo（F）=Mo（Fx）+Mo（Fy）=50×2+86.6×2.5=316kN·m4.1力对点之矩、合力矩定理例4-2汇交力系如图4-6所示，已知F1=40N，F2=30N，F3=50N，杆长OA=0.5m。试计算力系的合力对O点的矩。4.1力对点之矩、合力矩定理解：本例求合力对O点的矩，可不必求此汇交力系的合力，可先求出各力对O点的矩，再根据合力矩定理即可求得到合力对O点的矩。4.1力对点之矩、合力矩定理Mo（F1）=F1d1=40×0.5×cos30=17.3N·mMo（F2）=－F2

d2=－30×0.5×sin30=