2023年高考数学一轮复习习题：第一章第1节 集合

第1节集合考纲要求1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.()(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)错误.空集只有一个子集.(2)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集.(3)错误.当x＝1时，不满足集合中元素的互异性.2.若集合P＝{x∈N|x≤eq\r(2021)}，a＝2eq\r(2)，则()A.a∈P B.{a}∈PC.{a}⊆P D.a∉P答案D解析因为a＝2eq\r(2)不是自然数，而集合P是不大于eq\r(2021)的自然数构成的集合，所以a∉P，只有D正确.3.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R且y＝x}，则A∩B中元素的个数为________.答案2解析集合A表示以(0，0)为圆心，1为半径的单位圆上的点的集合，集合B表示直线y＝x上的点的集合，圆x2＋y2＝1与直线y＝x相交于两点，则A∩B中有两个元素.4.(2020·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{x||x|<3，x∈Z}，B＝{x||x|>1，x∈Z}，则A∩B＝()A.∅ B.{－3，－2，2，3}C.{－2，0，2} D.{－2，2}答案D解析集合A＝{x|－3<x<3，x∈Z}＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|x>1或x<－1，x∈Z}，只有－2和2符合题意，所以A∩B＝{－2，2}.5.(2020·新高考山东卷)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝()A.{x|2＜x≤3} B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x＜4} D.{x|1＜x＜4}答案C解析A∪B＝{x|1≤x≤3}∪{x|2＜x＜4}＝{x|1≤x＜4}.6.(2021·西安五校联考)设全集U＝R，A＝{x|y＝eq\r(2x－x2)}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则(∁UA)∩B＝()A.{x|x<0} B.{x|0<x≤1}C.{x|1<x≤2} D.{x|x>2}答案D解析易知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>0}.∴∁UA＝{x|x<0或x>2}，故(∁UA)∩B＝{x|x>2}.考点一集合的基本概念1.(2020·东北师大附中模拟)已知集合A＝{x∈Z|－2<x≤1}，B⊆A，则集合B中的元素个数最多是()A.1 B.2C.3 D.4答案C解析A＝{x∈Z|－2<x≤1}＝{－1，0，1}，由B⊆A，当B＝A＝{－1，0，1}时，B中元素最多，有3个.2.(2021·百校联盟联考)已知集合A＝{2a－1，a2，0}，B＝{1－a，a－5，9}，且A∩B＝{9}，则a＝()A.±3，5 B.3，5C.－3 D.5答案C解析易知a2＝9或2a－1＝9，∴a＝±3或a＝5.当a＝3时，则1－a＝a－5＝－2，不满足集合中元素的互异性，舍去.当a＝5时，则A∩B＝{9，0}，与题设条件A∩B＝{9}矛盾，舍去.当a＝－3时，A＝{－7，9，0}，B＝{4，－8，9}，满足A∩B＝{9}，故a＝－3.3.已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x∈Z，且\f(3,2－x)∈Z))，则集合A中的元素个数为()A.2 B.3C.4 D.5答案C解析∵eq\f(3,2－x)∈Z，∴2－x的取值有－3，－1，1，3，又∵x∈Z，∴x值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4，故选C.4.设集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围为________.答案(1，2]解析由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2－a）2<1，,（3－a）2≥1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1<a<3，,a≤2或a≥4.))所以1<a≤2.感悟升华1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.考点二集合间的基本关系【例1】(1)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}.若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为()A.{－1} B.{1}C.{－1，1} D.{－1，0，1}(2)(2020·南阳一模)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}.若B⊆A，则实数m的取值范围为________.答案(1)D(2)(－∞，－2)∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))解析(1)当B＝∅时，a＝0，此时，B⊆A.当B≠∅时，则a≠0，∴B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝－\f(1,a))).又B⊆A，∴－eq\f(1,a)∈A，∴a＝±1.综上可知，实数a所有取值的集合为{－1，0，1}.(2)A＝{x|－1≤x≤6}.∵B⊆A，∴B＝∅或B≠∅.当B＝∅时，m－1>2m＋1，即m<－2.符合题意.当B≠∅时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1≤2m＋1，,m－1≥－1，,2m＋1≤6.))解得0≤m≤eq\f(5,2).得m<－2或0≤m≤eq\f(5,2).感悟升华1.若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.【训练1】(1)若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则()A.M＝N B.M⊆NC.M∩N＝∅ D.N⊆M(2)已知集合A＝{x|log2(x－1)<1}，B＝{x||x－a|<2}，若A⊆B，则实数a的取值范围为()A.(1，3) B.[1，3]C.[1，＋∞) D.(－∞，3]答案(1)D(2)B解析(1)易知M＝{x|－1≤x≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝{y|0≤y≤1}，∴N⊆M.(2)由log2(x－1)<1，得0<x－1<2，所以A＝(1，3).由|x－a|<2得a－2<x<a＋2，所以B＝(a－2，a＋2).因为A⊆B，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2≤1，,a＋2≥3，))解得1≤a≤3.所以实数a的取值范围为[1，3].考点三集合的运算角度1集合的基本运算【例2】(1)(2020·天津卷)设全集U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{－3，0，2，3}，则A∩(∁UB)＝()A.{－3，3} B.{0，2}C.{－1，1} D.{－3，－2，－1，1，3}(2)(2021·西安测试)设全集U＝R，M＝{x|y＝ln(1－x)}，N＝{x|2x(x－2)<1}，那么图中阴影部分表示的集合为()A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2}C.{x|0<x≤1} D.{x|x≤1}答案(1)C(2)B解析(1)∁UB＝{－2，－1，1}，∴A∩(∁UB)＝{－1，1}.故选C.(2)图中阴影表示的集合为(∁UM)∩N.易知M＝{x|x<1}，N＝{x|0<x<2}，∴(∁UM)∩N＝{x|1≤x<2}.角度2利用集合的运算求参数【例3】(1)(2021·日照检测)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x>2m}，若A∩B中有三个元素，则实数m的取值范围是()A.[3，6) B.[1，2)C.[2，4) D.(2，4](2)已知集合A＝{x|y＝eq\r(4－x2)}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为()A.(－∞，－3]∪[2，＋∞) B.[－1，2]C.[－2，1] D.[2，＋∞)答案(1)C(2)C解析(1)因为x2－4x－5<0，解得－1<x<5，则集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}＝{0，1，2，3，4}，易知集合B＝{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(m,2)})).又因为A∩B中有三个元素，所以1≤eq\f(m,2)<2，解之得2≤m<4.故实数m的取值范围是[2，4).(2)集合A＝{x|y＝eq\r(4－x2)}＝{x|－2≤x≤2}，因A∪B＝A，则B⊆A.又B≠∅，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥－2，,a＋1≤2，))所以－2≤a≤1.感悟升华1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.2.数形结合思想的应用：(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.【训练2】(1)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁RB)＝()A.{x|0<x≤1} B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x<2}(2)已知集合A＝{x|x2－x≤0}，B＝{x|a－1≤x<a}，若A∩B只有一个元素，则a＝()A.0 B.1C.2 D.1或2答案(1)B(2)C解析(1)因为B＝{x|x≥1}，所以∁RB＝{x|x<1}，又A＝{x|0<x<2}，所以A∩(∁RB)＝{x|0<x<1}.(2)易知A＝[0，1]，且A∩B只有一个元素，∴a－1＝1，解得a＝2.以集合为背景的创新问题集合的新定义问题，体现了高考命题从能力立意到素养提升的一种命题导向，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等.解答这类问题，关键是理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答.【例1】对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝________.答案{x|－3≤x<0或x>3}解析∵A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，∴A－B＝{x|x>3}，B－A＝{x|－3≤x<0}.∴A*B＝{x|－3≤x<0或x>3}.【例2】若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”.对于集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，1))，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则a的值为________.答案0或1或4解析因为B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若a＝0，则B＝∅，满足B为A的真子集，此时A与B构成“全食”，若a>0，则B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(1,a)))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(a))，－\f(1,\r(a)))).若A与B构成“全食”或“偏食”，则eq\f(1,\r(a))＝1或eq\f(1,\r(a))＝eq\f(1,2)，解得a＝1或a＝4.综上a的值为0或1或4.【例3】定义：设有限集合A＝{x|x＝ai，i≤n，n∈N*}，S＝a1＋a2＋…＋an－1＋an，则S叫做集合A的模，记作|A|.若集合P＝{x|x＝2n－1，n≤5，n∈N*}，集合P含有四个元素的全体子集为P1，P2，…，Pk，k∈N*，则|P1|＋|P2|＋…＋|Pk|＝________.答案100解析集合P＝{1，3，5，7，9}，依题意，集合P含有四个元素的全体子集为{1，3，5，7}，{1，3，5，9}，{1，3，7，9}，{3，5，7，9}，{1，5，7，9}，根据“模”的定义，|P1|＋|P2|＋…＋|Pk|＝(1＋3＋5＋7)＋(1＋3＋5＋9)＋(1＋3＋7＋9)＋(3＋5＋7＋9)＋(1＋5＋7＋9)＝4×(1＋3＋5＋7＋9)＝100.A级基础巩固一、选择题1.(2019·全国Ⅰ卷)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩(∁UA)＝()A.{1，6} B.{1，7}C.{6，7} D.{1，6，7}答案C解析由题意知∁UA＝{1，6，7}.又B＝{2，3，6，7}，∴B∩(∁UA)＝{6，7}.2.(2021·郑州模拟)设集合A＝{x|3x－1<m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是()A.(2，5) B.[2，5)C.(2，5] D.[2，5]答案C解析∵A＝{x|3x－1<m}，1∈A且2∉A，∴3×1－1<m且3×2－1≥m，解得2<m≤5.3.(2020·浙江卷)已知集合P＝{x|1＜x＜4}，Q＝{x|2＜x＜3}，则P∩Q＝()A.{x|1＜x≤2} B.{x|2＜x＜3}C.{x|3≤x＜4} D.{x|1＜x＜4}答案B解析由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＜x＜4，,2＜x＜3，))可得2＜x＜3，即P∩Q＝{x|2＜x＜3}.故选B.4.已知集合A＝{x|x2＋2ax＋2a≤0}，若A中只有一个元素，则实数a的值为()A.0 B.0或－2C.0或2 D.2答案C解析∵A中只有一个元素，∴只有一个实数满足x2＋2ax＋2a≤0，因此Δ＝4a2－4×2a＝0，∴a＝0或a＝2.5.设集合M＝{x|x2－x>0}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)<1))))，则下列说法正确的是()A.MN B.NMC.M＝N D.M∪N＝R答案C解析集合M＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)<1))))＝{x|x>1或x<0}，所以M＝N.6.(2021·豫晋名校联考)设全集Q＝{x|2x2－5x≤0，x∈N}，若P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是()A.3 B.4C.7 D.8答案D解析集合Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(5,2)，x∈N))))＝{0，1，2}，∴满足P⊆Q的集合P的个数为23＝8.7.(2019·全国Ⅱ卷改编)已知集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1≥0}，全集U＝R，则A∩(∁UB)＝()A.(－∞，1) B.(－2，1)C.(－3，－1) D.(3，＋∞)答案A解析由题意A＝{x|x<2或x>3}.又B＝{x|x≥1}，知∁UB＝{x|x<1}，∴A∩(∁UB)＝{x|x<1}.8.(2020·成都诊断)设集合A＝{x|(x＋2)(x－3)≤0}，B＝{a}，若A∪B＝A，则a的最大值为()A.－2B.2C.3D.4答案C解析因为A＝{x|(x＋2)(x－3)≤0}，所以A＝{x|－2≤x≤3}.又因为B＝{a}，且A∪B＝A，所以B⊆A，所以a的最大值为3.二、填空题9.(2020·北京卷改编)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|0<x<3}，则A∩B＝________.答案{1，2}解析∵A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|0<x<3}，∴A∩B＝{1，2}.10.(2021·湖南雅礼中学检测)设集合A＝{x|y＝eq\r(x－3)}，B＝{x|1<x≤9}，则(∁RA)∩B＝________.答案(1，3)解析因为A＝{x|y＝eq\r(x－3)}，所以A＝{x|x≥3}，所以∁RA＝{x|x<3}.又B＝{x|1<x≤9}，所以(∁RA)∩B＝(1，3).11.已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________.答案[1，＋∞)解析由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c).由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.12.若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|log3(2－x)≤1}，则A∩(∁UB)＝________.答案{x|x<－1或x≥2}解析由题意得集合A＝{x|x2－x－