位移法的典型方程及其应用

18.5位移法的典型方程及其应用18.5位移法的典型方程及其应用前面介绍的位移法计算超静定结构，主要是根据基本结构上添加约束处的平衡条件建立位移法方程进行求解。位移法还可以先对基本结构建立典型方程，再进行求解。以如图所示刚架介绍建立位移法典型方程的步骤。该刚架有两个基本未知量，分别为结点B的角位移Z1和结点C的水平线位移Z2。18.5位移法的典型方程及其应用

如果在结点B附加刚臂，可以阻止刚结点的转动；在结点C附加支座链杆，可以阻止结点水平位移。再令附加刚臂产生顺时针方向的转角Z1，附加支座链杆产生正向的位移Z2，得到基本结构如图所示。由于基本结构的受力和变形与原结构完全相同，但原结构上并没有附加刚臂和附加链杆，所以基本结构上附加刚臂上的反力矩F1和附加链杆上的反力F2均为零。即

（a）18.5位移法的典型方程及其应用根据叠加原理，把基本结构中F1、F2分解成下面三种情况的叠加：（1）基本结构在原荷载作用下的计算；（2）基本结构在Z1单独作用时的计算；（3）基本结构在Z2单独作用时的计算。18.5位移法的典型方程及其应用（1）基本结构在原荷载单独作用下的计算：如图可以根据表18-2先求出各杆的固端弯矩和固端剪力，再根据B点的力矩平衡条件以及BA、BC杆端的固端弯矩求得附加刚臂上的反力矩F1F；根据剪力隔离体的平衡以及BA、CD杆端的固端剪力求得附加支座链杆中的反力F2F。18.5位移法的典型方程及其应用（2）基本结构在Z1单独作用时的计算：如图使基本结构在结点B发生转角位移Z1，但结点C不动（即Z2=0）。根据B点的力矩平衡条件以及BA、BC杆端的杆端弯矩求得附加刚臂上的反力矩F11；根据剪力隔离体的平衡以及BA、CD杆的杆端剪力求得附加支座链杆中的反力F21。18.5位移法的典型方程及其应用（3）基本结构在Z2单独作用时的计算：如图使基本结构在结点C发生结点水平线位移Z2，但结点B不动（Z1=0）。根据B点的力矩平衡条件以及BA、BC杆端的杆端弯矩求得附加刚臂上的反力矩F12；根据剪力隔离体的平衡以及BA、CD杆的杆端剪力求得附加支座链杆中的反力F22。18.5位移法的典型方程及其应用叠加以上三种情况，得基本结构在荷载和结点位移Z1、Z2共同作用下附加刚臂的反力矩F1和附加链杆上的反力F2，根据原结构的平衡条件，有：

F1=F1F+F11+F12=0(a)

F2=F2F+F21+F22=0根据叠加原理，F11、F21、F12、F22与Z1、Z2的关系为：

Fij=kijZj代入式（a）可得：

F1=k11Z1+k12Z2+F1F=0(18-8)

F2=k21Z1+k22Z2+F2F=018.5位移法的典型方程及其应用式中符号意义：k11、k21——基本结构在刚结点产生单位转角位移Z1＝1单独作用(而Z2＝0)时，在附加刚臂上产生的反力矩和附加链杆中产生的反力；k12、k22——基本结构在结点产生单位线位移Z2＝1单独作用(而Z1＝0)时，在附加刚臂上产生的反力矩和附加链杆中产生的反力。在上面所有外因作用下引起附加约束的反力中，附加刚臂上反力矩的正负，规定与附加刚臂的正向转动方向一致，即顺时针方向为正；附加支座链杆上反力的正负，规定与附加支座链杆的正向移动方向一致，即位移向右使竖杆产生顺时针方向的弦转角为正。18.5位移法的典型方程及其应用公式(18-8)就是具有两个基本未知量Z1和Z2的位移法方程，称为位移法的典型方程。式(18-8)中的每一方程表示基本结构中与每一基本未知量相应的附加约束处约束力等于零的平衡条件。若原结构是具有n个基本未知量的结构，其基本结构就有n个附加约束，也就有n个附加约束处的平衡条件,即n个平衡方程。18.5位移法的典型方程及其应用显然，可由n个平衡方程解出n个基本未知量，即：

（18---9）在建立位移法方程时，基本未知量Z1、Z2…、Zn均假设为正，即假设结点角位移为顺时针转向，结点线位移使杆产生顺时针转动。计算结果为正时，说明实际的位移方向与所设方向一致；计算结果为负时，说明实际的位移方向与所设方向相反。18.5位移法的典型方程及其应用例18-4用位移法典型方程计算例18-3所示刚架，作最后弯矩图。18.5位移法的典型方程及其应用解：（1）确定基本未知量和基本结构刚架有两个基本未知量,即刚结点C的转角位移Z1和结点D的线位移Z2.在结点C加附加刚臂，在结点D加附加水平支座链杆，并使附加刚臂顺时针转动Z1，附加支座链杆向右产生位移Z2（使竖杆的弦转角为顺时针方向），得到基本结构如右图所示。18.5位移法的典型方程及其应用（2）建立位移法典型方程F1=k11Z1+k12Z2+F1F=0F2=k21Z1+k22Z2+F2F=0（3）计算方程的系数和自由项令i=EI/4，则iAC=iBD=EI/4=i，iCD=3EI/6=2i

18.5位移法的典型方程及其应用1）基本结构在单位转角单独作用下的计算查表18-1，得到各杆端弯矩：作出单位弯矩图图，

如图。18.5位移法的典型方程及其应用由单位弯矩图图以及结点C的力矩平衡，求k11根据平衡条件：∑MC=0，可得：k11

=4i+6i=10i18.5位移法的典型方程及其应用为计算k21，沿有侧移的柱AC和BD柱顶处作一截面，取柱顶以上横梁CD为剪力隔离体，如图所示，建立水平投影方程（只有作用）查表18-可得，；而所以：18.5位移法的典型方程及其应用2）基本结构在单位结点线位移单独作用下的计算查表18-1，得到各杆端弯矩作出单位弯矩图图，如图。18.5位移法的典型方程及其应用由单位弯矩图图以及结点C的力矩平衡，求k12根据平衡条件：∑MC=0，可得：根据反力互等定理，得：18.5位移法的典型方程及其应用为计算k22，取柱顶以上横梁CD为剪力隔离体，如图，建立水平投影方程查表18-1，可得，所以：18.5位移法的典型方程及其应用3）基本结构在原荷载单独作用下的计算查表18-2，得到各杆的固端弯矩作出MF图，如图。18.5位移法的典型方程及其应用根据基本结构的MF图以及结点C的力矩平衡，如图，求F1F根据∑MC=0，可得：F1F

=0取柱顶以上横梁CD为建立剪力隔离体，如图，建立水平投影方程查表18-2，可得，所以，18.5位移法的典型方程及其应用18.5位移法的典型方程及其应用

(4) 解位移法方程，求解Z1、Z2将系数和自由项代入位移法方程，得（与前面相同的方程）解得：（）

（）18.5位移法的典型方程及其应用最后弯矩图可以根据叠加原理求作，其公式为：各弯矩图如图所示。而结点位移：18.5位移法的典型方程及其应用叠加以后，得到的最后弯矩图如图18.5位移法的典型方程及其应用总结本例用位移法的典型方程求解超静定结构的过程为：（1）确定基本未知量和建立基本结构。确定原结构的基本未知量即刚结点转角位移和独立结点线位移数目。在原结构产生刚结点转角位移处添加附加刚臂阻止其转动，在独立的结点线位移处添加附加支座链杆阻止其移动，并令附加约束发生正向的位移，得到基本结构。（2）建立位移法方程。根据基本结构在原荷载和结点位移共同作用下，在附加约束处的约束反力（力矩）等于零的条件，建立位移法方程。18.5位移法的典型方程及其应用（3）计算系数及自由项。作基本结构在单位结点位移Zi=1作用下的弯矩图图，再查表得到相关杆件的杆端剪力,由平衡条件计算方程的系数；作基本结构在荷载单独作用下的弯矩图MF图,再查表得到相关杆件的固端剪力,由平衡条件计算方程的自由项。（4）解位移法方程，求出基本未知量。（5）作内力图。利用叠加公式，计算结构各杆的杆端弯矩并作M图；利用各杆力矩平衡方程计算各杆杆端剪力并作Fs图；利用结点的平衡条件计算杆端轴力并作FN图。第十八章位移法小结

位移法是以结构的结点位移作为基本未知量的求解超静定结构的另一基本方法。内容主要包括位移法的求解思路、等截面直杆的转角位移方程及位移法的基本未知量、基本结构及位移法方程的建立与求解。重点是会利用等截面直杆的杆端内力表和固端内力表计算各种外因影响下的杆端内力，并熟练掌握用位移法计算超静定梁和刚架，具体内容如下：第十八章位移法小结1．等截面直杆的转角位移方程表示杆端内力与杆端位移及所受荷载之间的关系,是位移法的基本公式。单位杆端位移产生的杆件两端的内力称为杆端内力；荷载作用下产生的杆件两端的内力称为固端内力。位移法是以力法解得的三种单跨超静定梁的杆端内力和固端内力作为计算基础。注意位移法中关于结点位移和杆端内力、固端内力的正负号规定。第十八章位移法小结

2．位移法的基本未知量是结构上的结点位移，包括刚结点的转角位移和独立的结点线位移。刚结点转角位移的数目等于结构刚结点的数目；独立结点线位移的数目等于将刚结点改为铰结点后得到的铰接链杆体系成为几何不变所需附加的最少链杆数目。3．位移法是在原超静定结构的刚结点处附加刚臂、在独立结点线位移方向附加链杆后，变成的一个若干超静定梁的组合体,即位移法的基本结构。在基本结构上作用有原结构的原荷载以及附加约束产生正向的结点位移。4．位移法分为直接平衡法和典型方程法两种解题思路。直接平衡法是以杆件的转角位移方程为基础直接写平衡方程的方法，对应每一个刚结点的未知角位移,可以写一个结点力矩平衡方程。对应每一个独立的结点线位移，可以写一个截面剪力平衡方程。平衡方程的数目与基本未知量的数目正好相等。5