立体表面交线

知识点

立体表面的交线王春梅副教授教学内容、目标1、教学内容环境工程设计和环境工程施工等岗位都需要设计和施工人员能够绘制或识别图纸信息。本知识点主要介绍立体表面的交线—截交线和相贯线的性质和绘制要点等相关知识。1）知识目标☛截交线的定义及性质☛截交线的绘制要点☛相贯线的定义及性质☛相贯线的绘制要点2）技能目标☛截面切割棱锥截交线绘制

☛利用投影积聚性绘制相贯线☛截面切割圆柱截交线绘制☛利用辅助平面法绘制相贯线☛截面切割圆锥截交线绘制

☛相贯线的特殊画法

3）素质态度要求态度端正，积极主动学习，及时与老师和同学讨论、交流学习过程中存在的问题与学习收获。2、教学目标内容引入内容引入一、截交线立体被平面截断成两部分时，其中任何一部分被称为截断面，用来截切立体的平面称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线。☛截交线具有两个基本性质有：

共有性截交线是截平面与立体表面地共有线。

封闭线由于任何立体都有一定的范围，所以截交线一定是闭合的平面图形。1.平面切割棱锥

平面立体被平面切割后所得的截交线，是立体表面和截平面的共有线，截交线上每一点都是共有点。☛平面与平面立体的截交线可归结为：求平面立体棱线与截平面的交点；求截平面与平面立体表面的交线。例：求四棱锥SABCD被正垂面P切割后截交线的投影。图1四棱锥的截交线画法2.平面切割圆柱平面与回转体表面相交时，其截交线是由曲线或曲线与直线组成的封闭平面图形。截交线既是截平面上的线，又是回转体上的线，它是回转体表面与截平面的共有线。☛求截交线的实质：先求截交线上的若干共有点；然后顺序连接成封闭的平面图形。☛求截交线的方法是：（1）利用截平面和回转体表面的积聚性，按投影关系直接求出截交线上点的投影，（2）利用截平面的积聚性和求曲面立体上点的方法，求出截交线上点的投影。

平面与圆柱相交时，根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同，其截交线有三种情况：①两条平行线，②圆，③椭圆。图2圆柱的截交线例：求圆柱的截交线

解题步骤：（1）分析:截平面为正垂面，截交线的正面投影为直线，截交线的侧面投影为圆，水平投影为椭圆；（2）求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；（3）求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ；（4）光滑且顺次地连接各点，完成截交线的投影，并且判别可见性；（5）整理轮廓线。图3圆柱的截交线画法3.平面切割圆锥求圆锥截交线上点的方法为：素线法在圆锥表面取若干条素线，并求出这些素线与截平面的交点；纬圆法在圆锥表面上取若干个纬圆，并求出这些纬圆与截平面的交点。图4平面切割圆锥例：求圆锥的截交线

解题步骤：（1）分析截平面为正垂面，截交线为椭圆；截交线的正面投影为直线，水平投影和侧面投影均为椭圆；（2）求出截交线上的特殊点A、B、C、D、E、F；（3）求出一般点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；（4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线的投影，并且判别可见性；（5）整理轮廓线图5圆锥的截交线画法4.平面切割圆球纬圆法：在圆球表面上取若干个纬圆，并求出这些纬圆与截平面的交点.例题：求被截切后的球投影。图6圆球的截交线画法二、相贯线

☛定义：两立体表面相交产生的交线，称为相贯线。☛相贯相贯线的基本性质：

共有性相贯线是两相交立体表面的共有线，也是两立体表面的分界线，相贯线上的点是两立体表面的共有点。

封闭性由于立体的表面是封闭的，所以相贯线一般都是封闭的。但当两立体的表面处在同一平面上，两表面在此平面上又没有共有线，相贯线是不封闭的。

☛相贯线的形状:

平面立体与平面立体相交，其相贯线为封闭的空间折线或平面折线；平面立体与曲面立体相交，其相贯线为由若干个部分平面曲线或部分平面曲线和直线结合而成的空间封闭几何形曲线；两曲面立体相交，其相贯线一般为封闭的空间曲线，特殊情况下是平面曲线或直线。☛求相贯线的一般方法：☀平面立体与平面立体相交或平面立体与曲面立体相交，都可以理解为平面与平面立体或平面与曲面立体相交的截交情况，可利用截交线的求法求出相贯线。☀求作两曲面立体的相贯线，一般先作出两曲面立体表面上的一系列共有点的投影，再连成相贯线的投影。1.平面与曲面立体的相贯线平面立体与曲面立体相交其相贯线是由若干段平面曲线结合而成的封闭空间曲线。各段平面曲线就是平面体的各棱面截曲面体所得的截交线，两段平面曲线的连接点是平面体两表面与曲面体表面的三面共有点。因此求平面立体与曲面立体的相贯线可归结为求截交线的问题。2.两曲面立体的相贯线最常见的曲面立体是回转体,如圆柱、圆锥、球等。两曲面立体的相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点。☛求画相贯线的方法求画两回转体的相贯线，就是要求出相贯线上的一系列共有点。求共有点的方法有：利用积聚性投影法、辅助平面法、辅助同心球面法。

☛作图步骤：☀找出一系列的特殊点，即确定相贯线的形状和范围的点，如立体表面特殊位置素线上的点、对称的相贯线在其对称平面上的点，以及最高、最底、最左、最右、最前、最后点等;

☀求出一般点;

☀判别可见性（只有同时位于两相交立体可见表面上的那段相贯线才可见）并顺次连接各点的同面投影;

☀整理轮廓线。

☛相贯线作图方法及举例（1）利用积聚性投影求相贯线两回转体相交，如果其中有一个（或两个）是轴线垂直于投影面的圆柱面，则相贯线在该投影面上的投影就积聚在圆柱面的有积聚性的投影圆上，相贯线的其它投影，可利用在另一个立体表面上取点、线的方法完成。[例1]求作如图7所示轴线正交的两圆柱表面的相贯线。

图7例图作图步骤：（1）求特殊点先在相贯线的水平投影上，定出最左、最右点Ⅰ、Ⅲ的水平投影1、3，并找出其侧面投影1"（3"），可知Ⅰ、Ⅲ点也是侧垂圆柱面最上一根素线与铅垂圆柱面最左、最右素线的交点。再定出相贯线的最前、最后点Ⅱ、Ⅳ的水平投影2、4及其侧面投影2″、4″，Ⅱ、Ⅳ点也是铅垂圆柱面最前、最后素线上的点。由1、2、3、4可根据投影关系求出1′、2′、3′、4′。可以看出，点Ⅰ、Ⅲ和Ⅱ、Ⅳ分别是相贯线上的最高、最底点。（2）求一般点在相贯线的侧面投影上，取左右对称的点Ⅴ、Ⅵ的侧面投影5″（6″），再根据圆柱表面上取点法，分别求出其水平投影5、6和正面投影5′、6′。

（3）判别可见性按水平投影各点的顺序，将相贯线的正面投影连接成光滑的粗实线曲线。相贯线前后对称，其正面投影可见和不可见部分的投影重合。[例2]求作圆锥台与四分之一圆柱面相交的相贯线。分析：由图8可知，相交的两立体中，四分之一圆柱的轴线垂直于正立投影面，圆柱面的正面投影积聚为1/4圆弧；圆锥台的轴线是铅垂线，圆锥台完全穿入1/4圆柱，与1/4圆柱具有公共的前后对称面。因此，它们的相贯线是一条前后对称的空间曲线，其正面投影重影在1/4圆柱面的积聚性投影圆弧被圆锥左右轮廓素线包围的那一段上。即相贯线的正面投影已知，其水平投影和侧面投影可根据圆锥表面上取点法求作。从图2可知，相贯线的水平投影全部可见，侧面投影有可见、不可见两部分组成——在左半个圆锥面上的那段相贯线的侧面投影可见。

图8例图（2）利用辅助平面法求相贯线作两曲面立体的相贯线时，可以作与两个曲面立体都相交（或相切，有切线）的辅助平面，先求出辅助平面与两回转体的截交线，则两组截交线（或切线）的交点，是辅助平面和两曲面立体表面的共有点即相贯线上的点。若作一系列的辅助平面，便可得到相贯线上的若干点，然后判别可见性，依次光滑连接各点，即为所求的相贯线。辅助平面选择原则:

为了便于作图，辅助平面应为特殊位置平面（投影面垂直面或投影面平行面），并使辅助平面与两回转体的截交线都为最简单------即直线或圆。[例3]求如图9所示轴线正交的圆柱与圆锥台的相贯线。

作图步骤：（1）求特殊点（2）求一般点（3）判别可见性并连相贯线投影（4）整理外形轮廓线

图9例图[例4]求如图10所示圆锥台与半球的相贯线。

分析：由图10可知,圆锥台的轴线不通过球心，但它们具有公共的前后对称面，且圆锥台从球的左上方全部穿进球体，相贯线是一条前后对称的封闭的空间曲线。由于圆锥面、球面的各投影均无积聚性，故不能用表面取点法求作相贯线的投影，但可用辅助平面法求作。为了使辅助平面与圆锥台、半球的交线是直线或平行于投影面的圆，对球而言，辅助平面可以是水平面、正平面、侧平面；对圆锥台而言，辅助平面可以是过锥顶的平面或垂直于其轴线的水平面。综合而言，辅助平面只能是过圆锥台轴线的正平面、侧平面和水平面。

图10例图（3）相贯线的特殊情况

☛同轴