向量法求距离

关于向量法求距离第1页，课件共14页，创作于2023年2月βdaaaabba

有关距离的几个概念

平行线间的距离da∥b

异面直线间的距离a'da、b是异面直线,d是a与b的距离。

直线和平面的距离da∥a,d是a与a的距离。

平行平面间的距离a∥β,d是a与β的距离。第2页，课件共14页，创作于2023年2月1.空间两点间距离AB已知A(x1

,y1,z1),B(x2

,y2,z2)|AB|=其中dA,B表示A与B两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式。第3页，课件共14页，创作于2023年2月2.点到平面的距离已知AB为平面a的一条斜线段,n平面a的法向量.求证:A到平面a的距离||AB

·n||nd=αBCAn证明：cos,ABn∵AB

·n||n||AB=设C点为A在平面α内的射影。∠BAC=,ABn或∠BAC,ABn=π－∴cos∠BAC=cos,ABn||∴A到平面a的距离AC=AB

·cos∠BAC=||·ABcos,ABn||=||·AB|AB

·n|||n||AB||AB

·n||n=第4页，课件共14页，创作于2023年2月βa3.直线和它平行平面的距离n已知直线a∥平面β,求a到平面β的距离解：因a上的任意一点到平面β的距离都相等。所以直线和它平行平面的距离转化点到面的距离AB在a和平面β上分别任取一点A和Bn是平面β的一个法向量直线a和它平行平面β的距离为||AB

·n||nd=第5页，课件共14页，创作于2023年2月例1如图,在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是A1B1、CD的中点,求点B到截面AEC1F的距离。C1FECDBAA1B1D1解：以D为原点,如图所示建立直角坐标系。zyx则A(1,0,0),AE∴AF设面AEC1F的法向量为n=(1,λ,μ)∴AE·n=0AF·n=0第6页，课件共14页，创作于2023年2月C1FECDBAA1B1D1zyxn∴=(1,2,－1)AB又∵=(0,1,0)所以B点到截面AEC1F的距离为：||AB

·n||nd=第7页，课件共14页，创作于2023年2月β3.异面直线间的距离a'PAB已知异面直线a、b,求a、b之间的距离。ab解：过b上任一点P,作a’∥a不妨令a’、b确定的平面为β∴a∥β∴异面直线a、b之间的距离,转化直线a和它平行的平面β之间的距离∴可在a上任一点A,b上任一点B,n是平面β的一个法向量n∴

a、b之间的距离||AB

·n||nd=第8页，课件共14页，创作于2023年2月a’∥an⊥βa’ββa'PABabnn⊥aaban·a=0n⊥βb

βn⊥bbabn·b

=0AB所以在求两条异面直线的距离时,只需在两条异面直线a、b上分别任取一点A、B。设与a、b的方向向量都垂直的向量为n则nn·a=0n·b

=0异面直线间的距离∴

a、b之间的距离||AB

·n||nd=第9页，课件共14页，创作于2023年2月[例1]在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线A1C1与B1C的距离。yxzC1DB1CDB1A1A解：如图所示建立直角坐标系，则A1(1,0,1),C1(0,1,1),B1(1,1,1),C(0,1,0).A1C1=(－1,1,0)B1C=(－1,0,－1)设A1C1与B1C的公垂线的方向向量n=(x,y,z)第10页，课件共14页，创作于2023年2月yxz1CDB1A1取x=1得n=(1,

1,

－1)又A1B1=(0,1,0)∴A1C1与B1C的距离C1D第11页，课件共14页，创作于2023年2月βa4.两个平行平面间的距离ABn||AB

·n||nd=A、B分别是a、β上的任意点，n是平面a、β的一个法向量第12页，课件共14页，创作于2023年2月[例2]如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,(1)求证：平面A1BD∥平面CB1D1；(2)求平面A1BD和平面CB1D1的距离。C1D1CDB1A1BA(1)证明：矩形A1BCD1A1B∥D1C矩形DBB1D1D1