九年级数学上册第24章 圆 综合练习题 教师版

九年级数学上册

第24章综合练习一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等）1.如，为⊙O的径，为，ABAC，于E，AE，ED．（1）求证：

∽△

，并求

AB

的长；（2）延长

DB

到

，使

BFBO

，连接

FA

，判断直线

FA

与⊙O的置关系，并说明理A

FC

E

BOD1．解：

AC

，

∠

，D

．又

BAE

，eq\o\ac(△,)ADB

．

．D

A

AE

．

C

E

BO3

（舍负

D（2）直线与

O

相切．连接．

BD为的径，BAD

．在ABD中，由勾股定理，得

BD

AB

．11BFBOBD22

．AB2

，BFAB

．（BOAB

，

是等边三角形，

．OBA

，

FBAF

∠OAF

．

⊥

AF

．又

点A在圆上直FA与

O

相切．已：如图，以等边三角形边AB为径的⊙O与AC、分交于点D、E，过点作DF⊥，垂足为F．

（1求证DF为⊙O的线；

F（2若等边三角形的边长为，求DF的；（3求图中阴影部分的面积．

D

E

）明：连接DO.∵

ABC

是等边三角形，∠=6°，=6°，∵OAOD∴

是等边三角.∴ADO0.∵DF，=3°∴∠=18°∠ADO∠=0°.∴DF为⊙O的.（2∵

是等边三角形，=ADAO

12

=2Rt

中，∠CDF0°，∴=

12

CD∴DF

23

.（3连接OE由（）同理可知ECB中，∴.∵

，∴

EF

C∴

FDOE

133(EFOD)2

．

FDE∴

S

扇形DOE

603603

．

A

B∴

DOE

D

3223

．、如图，已知圆O直径

AB

垂直于弦

于点

E

，连接

CO

并延长交

AD

于点

F

，且

AD

．（1）请证明：

E

是

OB

的中点；（2）若求长．）明：连接AC如图CF，AECD且CF，过心ACAD

，

AC

，

eq\o\ac(△,)

是等边三角形．FCD在eq\o\ac(△,Rt)COE，OE

OC

，点E为的中（2）解：在

tOCE

中

AB，OC

AB又

，CE22

DE3．如图，AB是的径点在⊙O上∠=60是OB上一点，过作AB的线与的延长线交于点Q，连结OC过点C作交PQ于D

（1）求证：CDQ等腰三角形；（2）如果△CDQ△，求BP:的．．（）证明：由已知得∠=90°，∠°，∴∠Q°，∠=∠°∵CD⊥，∴∠∠=30°，∴∠DCQ=Q∴△CDQ是腰三角（2解设⊙O的半径为则=1=

=∵等腰三角形与腰三角形COB全，∴=BC=3.∵AQ+CQ，AP=

3，2∴BP=－=∴BPPO3

33=AP－AO，22．已:如图半圆O的径是BD延线的一点BC⊥交的延长线于点C,交半圆O于E，且E

DF

的中点

（1）求证：是圆O的线；

F（2）若

，2，BC的长．

D

5.解）接,∵为

DF

的中点，∴

DE

．∴OBECBE.∵OE，∴OEB.CBE∴OE∥BC.∵⊥，∴∠C=90.∴∠=∠C=90°.即OE⊥AC又OE为圆O的径，∴是圆O的线（2）设

O

的半径为

，∵⊥，(x

2)

.∴.∴ADOB.∵∥BC，∴∽△.

AOOE9.即ABBCBC

∴BC..如图，内于⊙，过点A的直线交⊙于P交的长线于点D，ABADABAC（）证：ABC（）果求AD的长

；，⊙O的径为，为AC的中点，

A

O

22222.解）证明：联结．22222AD∵=AP·AD，=．∵∠BAD=∠PAB∴△∽△APB∴∠ABC=∠APB∵∠ACB=∠，∴∠ABC=∠．AB=AC.

B

AO

D（）（）AB=AC∵∠ABC=60°∴ABC是边三角形．∴∠BAC=60°∵为弧AC中点，∴∠∠PAC=∠ABC=30°∴∠，∴BP是O的直，∴BP=2∴=，在eq\o\ac(△,Rt)PAB，由勾股定理得=BP，∴AD==3．．如图，在ABC，C=90°,ADBAC的分线，O是上点以OA半径的O过点.（1求证：是O切；（2若BDDC=3,求的.

AB

OD

C（1）证明如，连接OD∵OAOD,AD平∠∴∠ODA∠,∠OAD∠CAD∴∠ODA∠.∴ODAC.∴∠ODB∠C∴BC⊙O切.

OD图1

C（2）解法一如2，过作DE于E∴∠=C又∵AD,∠=,

A∴△≌△.∴AE=,DEDC=3.

E

O在eq\o\ac(△,Rt)BED中∠=90股定理，得

BC=BD

DE

.

图设AC=（x）,则=x.在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠CBC=BDDC=8,=由股定理，得x

+8

2

=(x

2

解得x=6.即AC=6.解法二如图，延长AC到，使得=AB.∵=AD∠EAD=∠,∴△≌△ABD∴=BD=在eq\o\ac(△,Rt)DCE中∠DCE由股定理得=DE2.……分

OBD图

AE

22222222在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠=90+DC=8,由股定理，得AC+BCAB.即AC=(解得22222222．如图，AB是的径是⊙O的条弦，且CD⊥于，连结AC、OC、（1求证：∠∠；（2若BE=2，AB和AC的长.、证明）结BD，∵AB是的径⊥AB∴．∴∠A=∠2．又∵，∴∠∠A．∴∠１＝∠2．即：∠∠．解）（1）问可知，∠∠，∠AEC=∠∴△ACE∽△CBE∴

CEAE

∴CE=BE·AE又，CE=DE=4．AE=8∴AB=10．∴AC=

AE80．图，已知为O的直径点、F⊙O上，足为D，BF交AD于，AE

．（1求证：AB；（2如果

sin

35

，

5

，求

AD

的长．．解）长AD与⊙O交点G∵直BC弦AG于D，∴AB=GB

．∴∠AFB∠BAE．∵AE=BE，∴∠=∠．∴∠=．∴AB=AF．（2在eq\o\ac(△,Rt)中，∠FBC=

3

．设ED，BE，则，AD=8x，在eq\o\ac(△,Rt)中由勾股定理得BD=4x．在eq\o\ac(△,Rt)ADB中由勾股定理得BD+AD=AB．∵AB=4

，∴

(4x)x)5)

．

∴x=1（舍=8=8．图，已知直径与等圆O相于点、G

的高相等的圆O分别与边ABBC相于点D，边AC过心O与A（1）求证：AC；（2）若的长为，求

ECG

的面积

D

GB

O10.

是等边三角形,

B

、BC是的线DE是切点，BD=BE

A有DE//AC.分别连结OD,作EHAC于是O的线DE是切点O是心，

D

OD=OEAD=EC1CEO有2

B

E

HC

圆的径等于ABC高,半径OG

1,=a.24OCC

COE

EH=

.S

12

1CG=(+a)·a228

ECG

3322=

2

11．如图，在中，∠°，以BC为径的⊙O交AB点P，Q是的中点．（1请你判断直线PQO位置关系，并说明理由；（2若A＝30°=

，求⊙O半的.

BPCQ

11解）线PQ与切.连结OP、CP∵是⊙O的径，∴∠＝又∵是AC的点，∴PQCQ=AQ.∴∠3＝.∵∠BCA°，∴∠∠4=90°∵∠1＝，∴∠1+∠0°即∠=90°∴直PQ与相切.（）∠A＝30°，=3，∴在eq\o\ac(△,Rt)APC中，可求AC=443.∴在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，可求BC=3223.3.∴⊙O半的长为∴BO33⊙MN

AC

12

OB

P⊙O∠

OBA30

AB

APC.C

OAB

M

NO=60°OA=AC=OOEACEEOFP(F)E△OAE=2=30°

PE3

S

AC2

．图，等eq\o\ac(△,腰)ABC中AB=13，=10，以AC为径作⊙D作的线交于，交AC的延长线与点F.（1）求证：EF⊥；（2）求s∠的.

O

交于D，交AB于点G过点AOGEBDF第题图

13.证：（1联结OD∵=OD∴∠ODC∠OCD

A又∵=AC∴∠=∠B

O∴∠ODC∠∴ODAB∵⊙的线OD是

O

的半径

GE∴⊥∴AB⊥EF（2联结AD、CG

BD第13图

F∵⊙

O

的直径∴∠=∠=90°∵⊥EF∴DECG∴∠=∠GCA

A∵AC

∴=

12

BC=5

G

Oeq\o\ac(△,t)ADC中AD∵=

CD

EB

BC120∴=13eq\o\ac(△,t)中，∠=120∴c∠169

GC120AC

F⊙OAB=AC⊙O:OAE(2)(1)AEAF

.OC

BA

C

F∠=°△ABO△ACO=ACOB=OC△≌△∠==90∠∠OBA°∠BAC=120°

∠=∠°

AC

13

AF

∠OAC=60

3

BC的

二、圆与相似综合

r，=r，=r．知：如图，O的接△ABC中∠=45°，∠°，AD并的长线于D，OC交于.r，=r，=r（1）求∠的数；（2求证：AD；（3求

CD

的值.）：如图，连结OB∵⊙O的内接ABC中∠=45°，∴∠=2∠=90.∵OB=OC，∴OCB=45°.

∵AD∥OC，∴∠=OCB°（2证明：∵∠BAC=45°，D=°，

∴∠BAC=∠D.∵AD∥OC，∠=∠.∴△ACE∽．

C图3

D∴

CEDAAC

．∴AC

AD．（3解法一：如图，延长交的延长线于F，连结.∵AD∥OC，∠F=∠BOC=90°∵∠°，

F∴∠OBA=－∠=30°

∵=OB，∴∠=∠OBA∠=60°，∠=30°

1∴.2

图4

C

D∵AD∥OC，△∽△．∴

BOOA．，BDBFOFOFCD

的值为.解法二：作OM⊥BA于，⊙的径为r，得

r

，OM，MOE2

，ME

3r63

，所以2CDEA

.．图⑴，⊙O的径为AB，半径的中点作AB，CB上一点D，别作直线CD，直线于F、⑴求

COA

和

的度数；⑵求证：

FDM

∽

；⑶如图⑵，若将垂足

G

改取为半径

上任意一点，点

D

改取上，仍作直线

CD

，分别交直线

AB

于点

F、M

试判断：此时是否仍有

FDM

∽

成立？若成立请证明你的结论；若不成立，请说明理由。

（1）（16题（）16．解）AB为径，

AB

，∴

，

CGEG

.在

RtCOG

中，∵

1OGOC2

，∴

30

.∴

COA

.又∵

CDE的度数

12

的度数AC的度数COA度数60

o

,∴

FDM180

CDE

.（）明：∵

180

COA120

,∴

COMFDM

.GM在RtCGM和EGM中CG

，∴Rt≌Rt.∴GMCME

.又∵

DMF

，∴

.∴

FDM

∽

COM（3）结论仍成.证明下：∵

FDM180

，又∵

1的度数的度数CA的度数的度数2

，∴

FDM

COACOM

.∵AB为径，

AB

，在

和

Rt

中，GMCG

，∴

CGM

≌

RtEGM

.∴

GMCM

.∴

FDM

∽

.三、圆与三角函数综合．知O过D（4，），点H与D关

y

轴对称，过H作⊙O的线交

y

轴于点（如图）。⑴求⊙O半径；⑵求

sin

的值；⑶如图，设⊙O与y轴半轴交点P，、F线段上动点（与P点不重合），联结并延长DE、交于B、C，直线BC交轴点，DEF是EF为底的等腰三角形，试探索sin

的大小怎样变化？请说明理由。

y

y

GB

E

F

x

CO

x图

图2．点

在⊙O上∴⊙的径

rOD

。（2）如图1联结HD交OA于，HD⊥OA。联结OH，OHAH。∴∠∠。∴

sinHAOsin

OQOH

。（3）如图2设点D关轴对称点为H，结HD交OP于，HD。又DE=DF∴DH平。∴CH。∴联，OH⊥BCy

yAP

PH

Q

D(4,3)

H

D(4,3)FO

x

C

x图1∴∠CGO=∠OHQ。sinCGOOHQ∴

OQOH5

图2四、圆与二次函数（或坐标系）综合、图，M的心在

轴上，与坐标轴交于A（0，

（－10物线

33

经过AB两．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设抛物线的顶点为．判断点与M的位置关系，并说明理由；

222（3）若⊙M与222多少？

轴的另一交点为D则由线段、线段PD及弧ABD围成的封闭图形PABD的积是．）抛物线经过点AB，∴

0.3

,解得3.

∴

323x3（2）由

323x3得

33(x.∴顶点P的标为（133

在eq\o\ac(△,Rt)中MA－MO=OA,OA=3MA－－=3,∴MA=2.∴MB=2,MO=1,即点的标为（1，0∴

433

＞2.∴点P在外；（３）连结D，∵点M抛物线的对称轴上∴M∥轴∴

PAD

∴由线段、线段及形的封闭图形PABD的面积=扇形OAD的积∵在eq\o\ac(△,Rt),si∠AMO=

32

∴∠AMO=60°∴封闭图形面积=

12042360．图，在平面直角坐标系中是点，以点（）为圆心2为半径作圆，交轴AB两，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点在⊙C上（1求大小；（2写出B两的坐标；（3试确定此抛物线的解析式；

（4）在该抛物线上是否在一点D使线段CD互平分？若存在，求出点D的坐标若不存在，请说明理由．．：（1）作CHxH为足．∵CH=1，半径CB=2，∴∠HBC°．∴∠BCH°．∴∠=120．（2∵=1，半径=2∴

3，A，

．（3由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点的标为（，设抛物线解析式为

y

，把点

B

代入解析式，解得

a

．所

2

．（4假设存在点D

使线段

OP

与

CD

互相平分，则四边形

OCPD

是平行四边形．所以

且

PC

．∵PC∥y

轴，∴点D

在

轴上．∵，，即D(0．∵

D(0满

2

x

，∴点D在抛物线上．∴存

D(0

使线段

与

CD

互相平分．为幌子，二次函数为主的代几综合题）如图，半径1的与x轴于A、两点，圆心

的坐标为(2，次函数

y

2

的图象经过、点，其顶点为F．（1）求

，c

的值及二次函数顶点

的坐标；（2）将二次函数

y

的图象先向下平移1个位，再向左平移2个位，设平移后图象的顶点为C，经过点和上否在一点P，PAC的长最小，若存在，求出点P

的坐标；若不存在，请说明理

1P1P5y21

O

O

45

x20.解）题意得，

A

B

.，则有

4,解得c∴二次函数的解析式为

2

x

．顶点F的坐标为，1（2）将

y

平移后的抛物线解析式为

y

，其顶点为(0,0).∵直线l经点（30）和点D（0-3直l的析式为

x

．作点

A

关于直线

l

的对称点

，连接

、

，∴AAl，垂足为，有

，由题意可知，

ABE45AB

，∴

EBA．∴

.过点

作

的垂线，垂足为

,∴四边形

CFA

为矩形．FA

．∴

．∴直线CA为

y

23

x

.

2y,3y

的解为

9x56y5

∴直线

与直线

l

的交点为点

6五、以圆为背景的探究性问题．图图是一个扇形OAB，将作如下划分：第一次划分：如图2)所示，以OA的半OA的为半径画弧交OA于A，OB于，再作11∠的分线，交AB于C交

B1

于点，得到扇形的总数为6，分别为：扇OAB、扇形1OAC扇形OCB、形OAB、扇形OAC、形OCB；1111第二次划分：如3)示，在扇形B中，按述划分方式继续划分，即以OC的一半OA的112长为半径画弧交于A，交OB于点，作B的分线，交11211

C1

于点D，交1

AB22

于点D，可以得到扇形的总数为11个2第三次划分：如图(4)示，按上述划分方式继续划分；

2……2依次划分下.根题意,完右边的表格根右边的表请判断按上述划分方,能得到扇形的总数为2个为什么若(中的扇形的圆心角°，且扇形的半径OA的为．我们把图(第次分的图形中，扇形

OAC（扇形OCB1111

）称为第一次划分的最小扇形，其面积记为S；图第二次划分的最小扇形面积记为1；……，把第n次分的最扇形面积记为.求2n.．）划分扇形总个次数数……5n+1

nn

的值（2）不能得到个扇形，因为满足的正整数n不在；S（3nS

R