热力学与统计物理期末复习题

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1、请给出炳、恰、自由能和吉布斯函数的定义和物理意义

解：爛的定义：SB-SA=f￥=>dS=￥

沿可逆过程的热温比的积分，只取决于始、末状态，而与过程无关，与保守力作功类似。因而可认为存在一个态函数，定义为爛。

熔的定义：H=U+pV

焰的变化是系统在等斥可逆过程中所汲取的热量的度量。

自由能的定义：F=U—TS

￡1由能的减小是在等温过程中从系统所获得的最大功。

吉布斯函数的定义：G=F+pV=U-TS+pV

在等温等压过程中，系统的古布斯函数永不增强。也就是说，在等温等压条件下，系统中发生的不行逆过程总是朝着吉布斯函数削减的方向举行的。

2、请给出热力学第零.第一.其次.第三定律的完整表述

解：热力学第零定律：假如两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡（温度相同），则它们彼此也必然处于热平衡。

热力学第一定律：自然界一切物体都具有能量，能量有各种不同形式，它能从一种形式转化为另一种形式，从一个物体传递给另一个物体，在转化和传递过程中能量的总和不变。热力学其次定律：

克氏表述：不行能把热星从低温物体传到高温物体而不引起其他变化；

开氏表述：不行能从单一热源吸热使之彻低变成实用的功而不引起其他变化。

热力学第三定律：

能氏定理：凝结系的埔在等温过程中的转变随热力学温度趋于零，B|Jlim^o（AS）r=O肯定零度不能达到原理：不愿能通过有限的步骤使一个物体冷却到热力学温度的零度。通常认为，能氏定理和肯定零度不能达到原理是热力学第三定律的两种表述。

3、请给出定压热容与定容热容的定义，并推导出抱负气体的定压热容与定容热容关系式:Cp—Cy=llR

解：定容热容：5_（为V表示在体积不变的条件下内能随温度的变化率;

定压热容：Cp=（g）-P（罟）p=（等）p表示在压强不变的状况下的埔增;对于抱负气体，定容热容G的偏导数可以写为导数，即

(1)

定压热容Cp的偏导数可以写为导数，即

(2)

抱负气体的爛为H=U+pV=U+nRT（3）

由（1）（2）（3）式可得抱负气体的定圧热容与定容热容关系式:

4、分离给出体涨系数a,压强系数"和等温压缩系数叼的定义，并证实三者之间的关系:

解：体涨系数：a=a给出在圧强不变的条件下，温度上升1K所引起的物体的

体积的相对变化；

压强系数：“=*（寻），"给出在体积不变的条件下，温度上升1K所引起的物体的体积的相对变化；

等温斥缩系数：叼=-右（詈）j叼给出在温度不变的条件下，增强单位圧强所引起的物体的

体积的相对变化；

因为0V.7三个变量之间存在函数关系f（p,T,K）=0,其偏导数存在以下关系：

（养）丁69”（轨=t

因此a,B,叼满足a=衍旳

5、分离给出内能，焙，自由能，吉布斯函数四个热力学基本方程及其对应的麦克斯韦关系式

解：内能的热力学基本方程：6U=TdS-pdV

对应的麦克斯韦关系式：（亂=-（轨

焙的热力学基本方程：dH=T6S+Vdp

对应的麦克斯韦关系式：（g）s=?p

自由能的热力学基本方程：dF=-SdT+Vdp

对应的麦克斯韦关系式：（勒=（轨

吉布斯函数的热力学基本方程：dG=-SdT一pdV

对应的麦克斯韦关系式：（g）r=~Op

6、挑选T,P为自立变量，证实：5=丁（亂，（鈴）T=T?V-P

证实：挑选7,卩为自立变量，内能〃的全微分为

心（黑严+（轨di/⑴

又己知内能的热力学基本方程dU=TdS-pdV（2）

以T，卩为自变量时，爛S的全微分为

4$=僚）严+（篇）严⑶

将（3）式代入（2）式可得

僚）严+P（紡-P]d「（4）

将（4）式与（1）式比较可得

H（孰⑸

（S）r=TOv-P⑹

7、简述节流过程制冷，气体绝热膨胀制冷，磁致冷却法的原理和优缺点

解：节流过程制冷：

原理：让被床缩的气体通过一绝热管，管子的中间放置一多孔塞或颈缩管。因为多孔塞的作用，气体在它的两侧形成压强差，气体从高压侧缓慢流到低压侧，并达到稳恒状态，这个过程被称为节流过程。

优点：（1）装置没有移动的部分，低温下移动部分的润滑是非常困难的问题；

（2）在一定的斥强降临下，温度愈低所获得的温度降临愈大。

缺点：节流过程降温，气体的初始温度必需低于?反转温度。

绝热膨胀制冷：

原理：能量转化的角度看，系统对外做功，内能削减，膨胀分子间半均距离增大，分子间互相作用势能增强，分子的平均动能必削减，温度必降低。

优点：不必经过预冷；

缺点：膨胀机有移动的部分，温度愈低降温效应愈小。

磁致冷却法：在绝热过程中顺磁性固体的温度随磁场的减小而下降。

优点：可以获得更低的温度：

缺点：磁致冷却过程是单一循环，不能延续工作。

8、挑选T,了为自立变量，推导出吉布斯一亥姆霍兹方程

解：（1）已知自由能的全微分表达式为

dF=-SdT一pdV

因此s=-冷P=-￡

假如已知尸（几D,求尸对T的偏导数即可得出爛S（7；K）；求尸对卩的偏导数即可得出压强pIT,F）,这就是物态方程。按照自由能的定义，F二卜TS,有

dF

U=F+TS=F-T—

dT

即为吉布斯一亥姆霍兹方稈：

（2）已知吉布斯函数的全微分表达式为

dG=-SdT+Vdp

因此S=_筹，P=_券

假如己知GIT,D,求&对7的偏导数即可得出爛S（7,K）；求尸对卩的偏导数即可得出压强plT,K）,这就是物态方程。按照吉布斯函数的定义，G=U-TS^pV,有

dGdG

U=G^TS.pV=G.T_.p_

由焙的定义H=〃+pU,得

dG

H=G-T—

dT

即为吉布斯一亥姆霍兹方程。

9.推导出克拉珀龙方程和抱负气体的蒸汽压方程

解：设（T,p）和（7'七7；戸七7'）是两相平衡曲线上接近的两点，在这两点上，两相的化学势都相等：

讥八p）=/（T,p）

lia{T+dT,p+dp)=p0(T+d7\p4-dp)

两式相减的dr=d“0（1）

表示当沿着平衡曲线由（7,p）变到（7*七7；戸七7'）时，两相的化学势的变化相等。化学势的全微分为

dM=-SmdT4-Vmdp（2）

Sm和Kn分离表示摩尔爛和摩尔体积,将（2）式代入（1）式得

—S%dT4-v^dp=-S^dT十啾dp

以厶表示lmol物质由a相改变到B相所汲取的相变潜热，由于相变时物质的温度不变，则

即为克拉珀龙方程;

在(5)式中略去并把气相看作抱负气体=则(5)式可化简为

ldP_L

万而=丽(6)

假如更进一步近似地认为相变潜热与温度无关，将(6)式积分可得

L

lnp=-丽+力(7)

即为蒸汽压方程的近似表达式。

10、简述一级相变和二级相变的特点

解：一级相变：在相变点两相的化学式延续，但化学式的以及偏导数存在突变。在一级相变中两相有各口的非奇妙的化学式函数，相变点是两和化学势函数的交点：在和变点两相的化学势相等，两相可以平衡共存，但是两相化学势的一级导数不等，改变时有潜热和比体积突变；在相变的两侧，化学势较低的相是稳定相，化学势较低的相可以作为亚稳态存在。二级相变：在相变点两相的化学势和化学势的一级偏导数延续，但化学势的二级偏导数存在突变。二级相变没有相变潜热和比体积突变，但是定压比热、定压膨胀系数和等温压缩系数存在突变。

11＞简述你对吉布斯佯谬的理解

解：假设有两气体，物质的量各为力，令他们在等温等压下混合，则由C=-R^ini\nxi(1)可知，混合后的埔增为C2加?Ln2(2),这结果与气体的详细性质无关。不过应强调，因为在推导抱负气体的吉布斯函数G时用了膜平衡条件，式中的为是对不同气体的求和,因而(1)式(2)式仅适用于不同气体，对于同种气体，由爛的广延性可知，“混合”后气体的爛应等于“混合”前两气体的墻之和。因此，由性质随意临近的两种气体过渡到同种气体，爛由2nKln2突变为零。这成为吉布斯佯谬。

12、给出吉布斯相率的数学表达式并具体解释其含义和物理意义

解：吉布斯相率的数学表达式：f=k+2—＜p；

f称为称为多元相系的白由度，式多元复相系可以自立转变的的强度变量的数目，

卩表示多元复相系有卩个相，k表示每个相有"个组元，2表示外界因素n,多数取n=2,代表压力和温度；

物理意义：吉布斯相律说明白平衡体系中，系统的|'1由度与相数、组元数Z间的关系。13＞简述热力学和统计物理学的区分和联系

解：热力学是用宏观的办法讨论热现象，统计物理学是用微观的办法讨论热现象。虽然两者都是讨论热现象的，但理论体系是彻低不一样的；热力学是一门极其柔美的理论，只使用最容易的数学办法，通过四大基本定律，也就是热力学第零定律、热力学第一定律、热力学其次定律、热力学第三定律，彻低不依赖试验，仅从四大基本定律推导出囫囵理论体系。统计物理学则要使用复杂的数学办法，还要依赖试验：是由微观到宏观的桥梁，它为各种宏观理论提供依据，已经成为气体、液体、固体和等离子体理论的基础，并在化学和生物学的讨论中发挥作用；统计物理为热力学提供了清楚的物理图像和定量的解释。

14.分离给出玻尔兹曼统计分布，波色一爱因斯坦分布，费米一狄克拉公式，并简述三种分布之间的关系

解：玻尔兹曼统计分布：卬=3违一"0习(4)

将(4)式代入(3)式可得

dpL

而_T(瞪_*)

(5)

波色一爱因斯坦分布：?=諾二费米一狄克拉分布：?=諾石

三者之间的关系：玻耳兹曼系统遵从玻耳兹曼分布。（如顺磁固体等定域系统）：玻色系统遵守玻色分布：费米系统遵守费米分布：满足经典极限条件时，玻色系统和费米系统都满足玻耳兹曼分布。

16、给出定域系统下满足玻尔兹曼统计的粒子配分函数，并用其表达出内能、广义力和爛解：定域系统下满足玻尔兹曼统计的粒子配分函数为：

内能的统计表达式:

广义力的统计表达式:

埔的统计表达式:

解：能量均分定理：对于处在温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的半均值级「

对于单?原子分子，定压热容与定容热容之比y=?=[=1.667,此理论结果与试验结果符53

合的很好，但是在研究中是将原子看作一个质点，彻低没有考虑原子内电子的运动，原子内的电子对热容没有贡献是经典理论所不能解释的，要用屋子理论才干解释。（没有考虑原子内的电子运动）；

对于双原子分子，定圧热容与定容热容之比y-^-1.40,除了在低温之下的氢气以外，试验结果与理论结果都符合。氢气在低温下的性质经典理论不能解释。此外不考虑两原子的相对运动也缺乏按照。更为合理的假设是两原子保持一定的平均距离做相对简谐振动。但是，假如实行这个假设，双原子分子的能量将有七个平方项，能量均分定理给出的结果将与试验结果不符。这一点也是经典理论所不能解释的。（不能解释低温氢气的性质和柔性衔接状况）；对于固体，Cv=3Nk,将理论结果与试验结果相比较，在室温范围内符合的很好，但在低温范币内，试验发觉固体的热容随温度降低的很快，当温度趋紧肯定零度时，热容趋近于零。这个结果经典理论不能解释。此外金属中存在自由电子，假如将能量均分定理应用于电子，自由电子的热容与粒子振动的热容将具有相同的能级。试验结果是，在3K以上自由电子的热容与粒子振动的热容相比，可以忽视不计，这个事实经典理论也不能解释。（不能解释全部抱负固体有相同的热容最）。

17、给出普朗克公式，并研究其在低频和高频内的结果

解：普朗克公式：

现在研究普朗克公式在高频和低频范围内的极限结果

:

U=—N訥

為

在方0/kTvvl的低频范围，e^-l+—,普朗克式可近似为

kT

V,

U(°T)d0=.ekTd/y

7VC

得到瑞利一金斯公式：

在方0/kT>>1的高频范围内有e^/kT?1,可将普朗克公式分母中的-1忽视而得

U(^T)d^=力^se-^/kTd^

7TC

得到维恩公式：

由上式可以看出