七年级数学轴对称小结与复习华东师大版知识精讲

初一数学轴对称小结与复习华东师大版【本讲教育信息】一、教学内容：轴对称小结与复习二、知识要点1.知识点概要（1）认识轴对称以及轴对称图形的概念，并能判断图形是否是轴对称图形.（2）掌握轴对称的性质，能够应用它画对称轴，画轴对称图形.（3）掌握线段的垂直平分线和角平分线的性质及其应用.（4）掌握等腰三角形的性质和判定以及运用.2.重点难点（1）重点：判断图形是否是轴对称图形，线段垂直平分线、角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定及其应用.（2）难点：灵活运用上述性质解决问题；轴对称图案的设计.三、考点分析1.知识点梳理2.重要知识点回顾（1）轴对称和轴对称图形既有区别又有联系：区别：轴对称图形是针对一个图形而言,它是指某一个图形所具有的对称性质,而轴对称则针对两个图形而言,它描述的是两个图形的一种位置关系；轴对称图形沿对称轴对折后,其自身的一部分和另一部分重合,而轴对称的两个图形沿对称轴对折后,一个图形与另一个图形重合.联系：当我们把轴对称的两个图形看成一个整体时,它就成为一个轴对称图形.轴对称图形与轴对称都具有的性质：对应线段相等,对应角相等.说明：轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置,变换后的图形和原图形在一起组成的新图案都具有对称性.（2）轴对称或轴对称图形的性质：①关于某直线对称的两个图形是全等图形.②若两个图形关于某直线对称，则对称轴是对应点连线的垂直平分线.③若两个图形对应点连线被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称.④两个图形关于某直线对称，若它们的对应线段或延长线相交，则交点在对称轴上.⑤两个对称点到对称轴的距离相等.（3）熟悉常见的几个轴对称图形，会画出它们的对称轴，并掌握其性质①线段：线段是轴对称图形，对称轴是线段中垂线和本身所在直线.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等.到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.②角：是轴对称图形，对称轴是角平分线所在直线.角平分线上的点到角两边的距离相等.到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上.3.等腰三角形（1）等腰三角形是轴对称图形，常用的辅助线有三种：作等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线.（2）若三角形的三线中有两线重合，则可得到此三角形是等腰三角形.这可作为等腰三角形的一种识别方法.（3）在有关三角形问题的条件中出现了高、中线或角平分线时，有时可以延长某些线段以构造等腰三角形，然后再用“三线合一”性质去解题.【典型例题】例1.下列图案中是轴对称图形的有：（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个解析：本题考查轴对称图形的识别，判断一个图形是否是轴对称图形，根据其概念，看是否可以存在一条直线，使得这个图形的一部分沿着这条直线折叠，能够和另一部分互相重合.所以第2个、第3个、第4个都是轴对称图形，应选C.例2.如图，△ABC与△A＇B＇C＇关于直线l对称，∠A=30°，∠B＇=50°.则∠C的度数为（）A.30°B.50°C.90°D.100°解析：根据条件和轴对称的性质知：∠B=∠B＇=50°.因为∠A=30°，所以∠C=180°-∠A-∠B=100°.故选D.例3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则其顶角为________度.解析：三角形高可能在三角形的外部，也可能在内部，注意分类讨论.画出如下两个图，即可求得其顶角为30°或150°.例4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝20cm，BD∶CD＝3∶2，求点D到AB的距离．分析：求点D到AB距离必须先作出垂线段．过点D作DE⊥AB，则DE长即为欲求距离．由于AD为角平分线，则有：DE＝CD.而CD由已知条件可求.解：过点D作DE⊥AB交AB于点E，∵AD为角平分线且∠C＝90°，即DC⊥AC，∴DE＝DC．而，∴DE＝8cm，即点D到AB的距离为8cm．例5．如图，已知D、E两点在线段BC上，AB＝AC，AD＝AE．你能判断线段BD与EC的大小关系吗？并简述理由.（1）（2）分析：由已知，两个等腰三角形的底在同一直线上，BD与EC都在其底边上，联想到等腰三角形的“三线合一”性质，通过画辅助线构造基本图形，如图（2），问题得解.解：BD＝EC.理由：如图（2），作AF⊥BC于F，由等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合，得BF＝CF，DF＝EF，所以BF-DF＝CF-EF，即：BD＝CE例6.如下图，在Rt△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC，若BC＝10cm，求△DCE的周长.分析：题目中出现角平分线与垂直条件，注意由角平分线的性质得线段相等.本题要求△DCE的周长，具体的边长不能求解，要善于运用整体思想.解：∵Rt△ABC，AB＝AC，∴∠C＝45°．又BD平分∠B，DE⊥BC，DA⊥AB，∴AD＝ED，∠ADB＝∠EDB，∴AB＝BE．∴△DCE周长＝DE＋EC＋CD＝AD＋CD＋EC＝AC＋EC＝AB＋EC＝BE＋EC＝BC＝10cm.例7.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长．分析：△ABC的周长等于线段AB＋BC＋AC，而线段BC＝BD＋CD，因为DE是AC的垂直平分线，则有CD＝AD，所以BC＝BD＋AD，从而求出AB＋BC，于是求得△ABC的周长．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm．又∵△ABD的周长＝AB＋BD＋AD＝13cm，∴AB＋BD＋CD＝13cm即AB＋BC＝13cm．∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝13＋6＝19（cm）．例8.如图，在△ABC中，∠ACB、∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作OE∥AB，OF∥AC分别交BC于点E、F，若BC＝8cm，试求△OEF的周长.分析：已知条件中出现平行与角平分线即存在等腰三角形.注意这一基本图形的运用.解：∵OB平分∠ABC，∴∠ABO＝∠EBO．又∵OE∥AB，∴∠EOB＝∠ABO，∴∠EBO＝∠EOB，∴EO＝EB.同样道理可得：FO＝FC，∴△OEF周长是OE＋FF＋OF＝BE＋EF＋FC＝BC＝8cm例9.如图，A、B、C三点不在同一条直线上，求作一点O，使OA＝OB＝OC．分析：由于OA＝OB＝OC，则可得OA＝OB，OB＝OC，由垂直平分线的性质可知，点O应在AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点处．解：（1）作出BC的垂直平分线l1；（2）作出AB的垂直平分线l2；l1与l2交于点O．则点O为所求的点．例10.世界上因为有了圆，万物才显得富有生机，以下来自现实生活中的图形都有圆，如图（1）、（2）、（3），它们看上去多么美丽和谐，这正是因为圆具有轴对称的性质，请你在图（4）、（5）的两个圆中，分别画出与图（1）、（2）、（3）不重复的轴对称图形，但要尽可能准确美观．解析：按要求画出轴对称图形,以下供参考.例11.两个完全一样的三角形，可以拼出各种不同的图形．如下图已画出其中一个三角形，请你分别补画出另一个与其一模一样的三角形，使每个图形分别构成不同的轴对称图形（所画三角形可与原三角形有重叠部分）．解析：按要求画出与其一模一样的三角形，并与其构成轴对称图形,以下供参考.五、本讲数学思想方法的学习1.做好重要知识点的梳理.通过复习，熟练掌握轴对称与轴对称图形的性质及轴对称知识在生活中的应用，进一步掌握等腰三角形的性质与识别.2.思想方法是数学的灵魂，在复习时要注意数学思想的体会与应用.如运用转化思想线段或角进行位置的转移；运用方程思想设未知数列方程求解；在计算等腰三角形的角度或边长时是分类思想的运用等等.【模拟试题】（答题时间：100分钟）一、填空题（2分×15＝30分）1、线段是轴对称图形，它的对称轴是___________；角是轴对称图形，它的对称轴是___________.2、成轴对称的两个图形的对应___________相等，对应___________相等.3、角平分线上的任意一点到这个角的两边的___________相等.线段中垂线上的点到___________的距离相等.4、若三角形三个内角之比为1∶1∶2，该三角形是___________三角形.5、举一个有无数条对称轴的轴对称图形是___________.6、计算器屏幕上显示0到9这十个数字中，其中成轴对称图形的有___________个.7、有一个角是60°的等腰三角形，腰长为4，则它的周长是___________.8、等腰△ABC中，AB＝2AC，周长是20，则腰长为___________.9、如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，则∠AED是___________度.10、如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，且AD＝BD＝BC，则∠ABD＝___________.*11、等腰三角形的顶角是x°，则一腰上的高与底边的夹角等于___________.*12、如图，∠MAN＝15°，B、D、F在AN上，C、E在AM上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠MEF＝___________.二、选择题（3分×10＝30分）13、下列几何图形中：角，线段，等边三角形，长方形，直角三角形，梯形，其中一定是轴对称图形的有（）A.3个 B.4个 C.5个 D.6个14、下图中的图形中是轴对称图形的是（）15、下图的图形中不是轴对称图形的是（）16、下列说法正确的有（）①轴对称图形的对应线段相等，对应角相等；②成轴对称的两条线段必在对称轴的同侧；③轴对称的对应点的连线被对称轴垂直平分；④成轴对称的对应线段若相交，则交点必在对称轴上.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个*17、等腰三角形一边长是4，另一边长是9，则它的周长是（）A.17 B.22 C.17或22 D.*18、等腰三角形的周长是24，其中一边长是10，则腰长是（）A.10 B.7 C.10或7 D.*19、等腰三角形一个角等于70°，则它的底角是（）A.70° B.55° C.70°或55° D.60°20、△ABC与△MNP关于直线l对称，且l垂直平分AN，那么有（）A.∠C＝∠M B.∠B＝∠PC.∠A＝∠N D.∠A＝∠P21、到三角形三个顶点距离相等的点是（）A.三边高线的交点B.三条中线的交点C.三边中垂线的交点D.三条内角平分线的交点*22、平面上有A、B两个点，以AB为一边作等腰直角三角形能作（）A.3个 B.4个 C.5个 D.6个三、作图题（16分）23、求作图中△ABC关于直线l的对称图形.24、如图，点C、D在∠AOB内部，在∠AOB内部找一点P，使得P到OA、OB的距离相等，并且使得PC＝PD.四、解答题（8分×3＝24分）25、如图，BC＝20cm，DE是线段AB的中垂线，与BC交于点E，AC＝12cm，求△ACE的周长.*26、如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，EF、GH分别是AB、AC两边的中垂线，与BC边交于点E、G，求∠EAG的度数.*27、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE是AB的垂直平分线，且∠CAE∶∠EBA＝4∶1，求∠AEC的度数.

【试题答案】一、填空题：1、线段本身所在线段的中垂线，角平分线所在的直线2、角，线段3、距离，线段两个端点4、等腰直角5、圆6、47、128、89、10510、36°11、12、75°（提示：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∴∠A＝∠BCA，∠CBD＝∠CDB，∠DCE＝∠DEC，∠EDF＝∠EFD，∴∠CBD＝∠A＋∠BCA＝30°，∠DCE＝∠A＋∠CDB＝45°，∠EDF＝∠A＋∠CED＝15°＋45°＝60°，∠MEF＝∠A＋∠DFE＝75°）二、选择题：13、B14、A15、B16、C17、B18、C19、C20、C21、C22、D三、作图题：23、如图.分别作点A，点B，点C关于l的对称点A′、B′、C′，然后连接A′B′，A′C′，B′C′.24、如答图.分别作线段CD的中垂线，∠AOB的角平分线，交于P