空气动力学基础附面层演示文稿

空气动力学基础附面层演示文稿目前一页\总数五十六页\编于十点（优选）空气动力学基础附面层目前二页\总数五十六页\编于十点4.1边界层近似及其特征

理想流体力学在早期较成功地解决了与粘性关系不大的一系列流动问题，诸如绕流物体的升力、波动等问题，但对绕流物体阻力、涡的扩散等问题，理想流体力学的解与实际相差甚远，且甚至得出完全相反的结论，圆柱绕流无阻力的D’Alembert疑题就是一个典型的例子。（D’Alembert，法国力学家，1717-1783）那么，如何考虑流体的粘性，怎样解决扰流物体的阻力问题，这在当时确实是一个阻碍流体力学发展的难题，直到1904年国际流体力学大师德国学者L.Prandtl通过大量实验发现：虽然整体流动的Re数很大，但在靠近物面的薄层流体内，流场的特征与理想流动相差甚远，沿着法向存在很大的速度梯度，粘性力无法忽略。Prandtl把这一物面近区粘性力起重要作用的薄层称为边界层（Boundarylayer）。目前三页\总数五十六页\编于十点4.1、边界层近似及其特征

Prandtl边界层概念的提出，为人们如何计入粘性的作用开辟了划时代的途径，既挽救了理想流理论又挽救了粘流理论，因此称其为近代流体力学的奠基人。对整个流场提出的基本分区是：（1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流或位流区）和粘性流体的流动区域（粘流区）。（2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略粘性的影响，按位势流理论处理。（3）在靠近物面的薄层内粘性力的作用不能忽略，该薄层称为边界层。边界层内粘性力与惯性力同量级，流体质点作有旋运动。位流区粘流区目前四页\总数五十六页\编于十点4.1、边界层近似及其特征（2）边界层的有涡性

粘性流体运动总伴随涡量的产生、扩散、衰减。边界层就是涡层，当流体绕过物面时，无滑移边界条件相当于使物面成为具有一定强度的连续分布的涡源。以二维流动为例说明之。此时，物面上的涡源强度为：2、边界层的特征（1）边界层厚度定义严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常以速度达到主流区速度的

0.99U

作为边界层的外缘。由边界层外缘到物面的垂直距离称为边界层名义厚度，用δ表示。位流区粘流区δ目前五页\总数五十六页\编于十点4.1、边界层近似及其特征（3）边界层厚度的量级估计根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边界层的厚度。以平板绕流为例说明。设来流的速度为U，在

x

方向的长度为

L，边界层厚度为。惯性力：粘性力：

由边界层内惯性力与粘性力同量级得到

由此可见在高Re数下，边界层的厚度远小于被绕流物体的特征长度。目前六页\总数五十六页\编于十点而在的范围内，以外流的理想速度流动的理想流量是：其中，为边界层外缘速度。4.1、边界层近似及其特征（4）边界层各种厚度定义（a）边界层位移厚度假设某点P处的边界层厚度是，实际流体通过的质量流量为:上述两部份流量之差是：此处u

是边界层中距物面为y处的流速。目前七页\总数五十六页\编于十点这是设想各点均以外流速度流动时比实际流量多出来的值,这些多出来的流量必然要在主流中占据一定厚度，其流量写为从而这部分主流区增加的流体厚度是由边界层流体排挤入主流区造成的，称为排移厚度或位移厚度，作理想流场模型的外形修正时，应该加上这一位移厚度。4.1、边界层近似及其特征目前八页\总数五十六页\编于十点4.1、边界层近似及其特征（b）边界层动量损失厚度在边界层内，实际流体通过的动量为：上述两项之差表示粘性存在而损失的动量，这部分动量损失全部用理想的外流速度流动时折算的动量损失厚度δ2为：在边界层内，在质量流量不变的条件下，以理想流速度

通过的动量为：目前九页\总数五十六页\编于十点4.1、边界层近似及其特征对于不可压缩流体而言（a）边界层位移厚度（b）边界层动量厚度目前十页\总数五十六页\编于十点（5）几点说明（a）实际流动中，边界层流动与理想流动是渐近过渡的，边界层的外边界线实际上是不存在的，因此边界层的外边界线不是流线，而是被流体所通过的，允许流体穿过边界层边界线流动。相对于物面而言，流线是向外偏的，相对于边界层边界来说流线是向内偏的。

此外在许多情况下对于

和

V∞往往不加以严格区别（b）边界层各种厚度的定义式，既适用于层流，也适用于湍流。（c）边界层各种厚度的大小与边界层内流速分布有关。但各厚度的大小依次是:δ>δ1>δ24.1、边界层近似及其特征V∞δV目前十一页\总数五十六页\编于十点边界层位流区1.边界层流动图画粘性流体流经任一物体（例如机翼与机身）的问题，归结为在相应的边界条件下解N-S方程的问题。由于N-S方程太复杂，对很多实际问题不能不作一些近似简化假设，为此考察空气流过翼型的物理图画：4.2、平面不可压缩流体层流边界层方程流动分为三个区域：1.边界层：N-S化简为边界层方程

2.尾迹区：N-S方程

3.位流区：理想流Euler方程目前十二页\总数五十六页\编于十点4.2、平面不可压缩流体层流边界层方程2.平壁面上边界层方程对于二维不可压缩流动，连续方程和N-S方程为：

通过量级比较进行简化，可得到边界层近似方程。选取长度尺度L，速度尺度ue，时间尺度t=L/ue，边界层近似假定在边界层内满足下列关系：Lue目前十三页\总数五十六页\编于十点4.2、平面不可压缩流体层流边界层方程（1）法向尺度远小于纵向尺度，纵向导数远小于横向导数（2）法向速度远远小于纵向速度（3）压强与外流速度的平方成正比将这些量级关系式代入到N-S方程中，得到目前十四页\总数五十六页\编于十点右括号中第一项比第二项低2个量级可略。4.2、平面不可压缩流体层流边界层方程N-S方程组各项量级比较:两项为同一量级边界层内粘性力与惯性力同量级不可忽略，故ν的量级为:考虑到ν

的量级为δ2，因此右端的最大量级为δ目前十五页\总数五十六页\编于十点4.2、平面不可压缩流体层流边界层方程在高Re

数情况下δ较小可以忽略，同时忽略质量力，Prandtl边界层方程变为：边界条件：第三式说明，在高Re数情况下较薄的边界层内，压力沿法向不变。也就是，p与y

无关，仅是x

和t

的函数。即：目前十六页\总数五十六页\编于十点对于曲率不大的弯曲物面，上述边界层方程也近似成立。当然如果曲率过大，则沿法向压强保持不变的条件就很难满足了。综上所述，边界层基本特性可归纳为：4.2、平面不可压缩流体层流边界层方程目前十七页\总数五十六页\编于十点第一步，求位流解。这时，略去边界层与尾迹，利用第三章求解理想流体对物体绕流问题的方法，求得物体表面的速度分布（求解时可预先对表面作动量厚度的修正）。由于边界层较薄，求得的速度分布可视为边界层外边界上的切向速度分布。即在任一坐标x处：时，沿边界层外边界，伯努利方程成立：4.2、平面不可压缩流体层流边界层方程3.定常层流边界层问题解法概述

，因此，边界层内的压强分布通过位流解得到了，即（）是一个已知函数。(或非定常时有欧拉方程成立)目前十八页\总数五十六页\编于十点第二步，考察边界层方程与边界条件

物面：

边界层外缘：由于是已知函数，所以这两个方程式中只有两个未知数故问题是可解的。求解的边界条件是：

4.2、平面不可压缩流体层流边界层方程目前十九页\总数五十六页\编于十点第三步，解法思路。我们的问题就是在上述边界条件之下，求解边界层方程组。后面的Blasius解就是一个求解的范例。假设已经解出了边界层内速度分布：那么，物体表面的摩擦应力可自下式求出（层流）：有了表面摩擦应力分布之后，再通过积分就不难求出物体所受的总的摩擦阻力了。4.2、平面不可压缩流体层流边界层方程目前二十页\总数五十六页\编于十点

1908年，Prandtl的学生Blasius利用边界层速度分布的相似性求解了平板层流边界层方程。对于零压强梯度、定常、不可压缩流体平板层流绕流，边界层方程为：相应的边界条件为：由于上述方程为非线性偏微分方程，求解很难，勃拉休斯引入流函数（由连续方程）以简化方程：

目前二十一页\总数五十六页\编于十点

流函数的量纲等于速度×长度，那么流函数表为无量纲的η

的函数f(η)

时，应该在f(η)

之前将速度×长度的量纲显示出来，Blasius假设速度用层外的U∞（即ue）

，长度用δ的量纲。根据量级比较，边界层厚度的量级为:4.3、平板层流边界层的数值解

这样未知函数u,v

就从两个减少为一个ψ

。自变量本来是两个x,y,如果引用一个无量纲的变数η=y/δ,则自变量也可以减为一个，从而ψ的表达可作相应改变。

式中是的待定函数。故流函数表为：目前二十二页\总数五十六页\编于十点4.3、平板层流边界层的数值解从而，可将u、v及其相关导数化为函数f关于η

的导数：目前二十三页\总数五十六页\编于十点4.3、平板层流边界层的数值解代入边界层微分方程，化简后变为：边界条件变为：方程被简化成了常微分方程，但仍然是非线性的求解还是很难，只好设它的解为一个级数。Blasius假设：其中，为待定系数。用η＝0处边界条件，立刻可以确定：A0=A1=0目前二十四页\总数五十六页\编于十点将以上诸式代入微分方程得：

4.3、平板层流边界层的数值解从而：目前二十五页\总数五十六页\编于十点因为上式对任何η

值均须满足，故各系数必须分别等于零，即如此继续做下去，所有诸不等于零之系数A

均可以A2

来表示。而A2则是一个待定常数。令4.3、平板层流边界层的数值解整理后，得：目前二十六页\总数五十六页\编于十点则待求级数可表为一个所有系数都含A2＝a

的无穷级数：

就是我们要求的解，但其中尚有一常数待定。此常数可用:的边界条件来确定，Blasius用数值方法定得：从而所求的解完全确定。

4.3、平板层流边界层的数值解目前二十七页\总数五十六页\编于十点

由所确定的级数解确定了流函数，也就确定了速度分布，从而就确定了与此相关的其他量，如边界层厚度、剪应力、摩阻系数等。

数值结果表明尽管各个位置处的速度型是不同的，但若以η

作为自变量，则速度型是一样的。我们称这样的速度分布是相似的，这个解也被称为相似解。

当η=4.0时，u/V∞=0.9916，已经十分接近于1，从而可将此η

对应的y坐标确定为边界层厚度δ

。4.3、平板层流边界层的数值解12345678000.20.40.60.81.01.2

由上解确定的速度分布曲线如图所示，可见实验值与数值解（实线）很符合。目前二十八页\总数五十六页\编于十点4.3、平板层流边界层的数值解

由此（1）边界层厚度（）（2）边界层位移厚度

（3）边界层动量损失厚度

目前二十九页\总数五十六页\编于十点4.3、平板层流边界层的数值解（4）壁面切应力（5）壁面摩擦阻力系数

（6）平均壁面摩擦总阻力系数

郭永怀（1953年）对平板前缘点的修正，得到适用范围：

目前三十页\总数五十六页\编于十点边界层微分方程式的解析计算十分繁杂，目前仅能求解平板绕流层流边界层问题。应用较为广泛的是边界层积分方程式，又称动量方程式。它是冯·卡门根据动量定理提出的。可以适用于层流边界层和紊流边界层，以及无压力梯度和有压力梯度的情况。目前三十一页\总数五十六页\编于十点

今在边界层内任取一控制体ABCD，控制体长度为dx，控制面为Aab、Abc、Acd、Ada。现对控制体应用动量方程，边界层动量积分关系式是由Karman1921年导出的，对近似求解边界层特性具有重要作用。对层流和湍流边界层都适用。1.边界层动量积分方程因此，经过AB和CD流出控制面的静质量为：目前三十二页\总数五十六页\编于十点x目前三十三页\总数五十六页\编于十点4.4、边界层动量积分方程由AB面流入控制体的动量为因此，经过AB和CD流出控制面的静质量为：那么ABCD的动量变化为目前三十四页\总数五十六页\编于十点4.4、边界层动量积分方程考虑控制面ABCD上的作用力合力的冲量根据动量定理即目前三十五页\总数五十六页\编于十点4.4、边界层动量积分方程Karman-Pohlhausen动量积分方程对于不可压流体，密度为常数目前三十六页\总数五十六页\编于十点4.4、边界层动量积分方程Karman-Pohlhausen动量积分方程回顾Karman-Pohlhausen动量积分方程表示为是一阶常微分方程，既适用于层流也适用于湍流边界层。该方程含三个未知数

τ0、δ1和δ2

，因此需寻找两个补充关系才能求解目前三十七页\总数五十六页\编于十点4.4、边界层动量积分方程如果写成无量纲形式，有：其中对于零压强梯度的平板边界层流动，有：从而：因为动量积分方程是个常微分方程，求解边界层时相对简单，只要知道剪应力τ0与δ1、δ2之间（或与速度u分布之间）的相关关系，即可求解。目前三十八页\总数五十六页\编于十点确定系数的条件为：上述边界条件中除了壁面剪应力确定的条件适合于层流边界层之外，其余条件既适合与层流边界层也适合于湍流边界层。

如前所述，动量积分方程含有三个未知数：位移厚度、动量厚度和壁面切应力

,因此，必须寻求补充关系才能求解。对于层流边界层而言由于三个未知量都取决于边界层的速度分布，因此只要给定速度分布，就可以求解。显然，该方法的精度取决于边界层内速度分布的合理性。对于层流边界层，通常假定速度分布为：2.利用动量积分关系式解边界层问题的Pohlhausen方法4.4、边界层动量积分方程目前三十九页\总数五十六页\编于十点以平板层流边界层为例，假设速度型如下：式中待定系数由下述边界条件确定。四个系数只需四个条件。物面条件为：

边界层边界处的条件为：

由这四个条件，定得四个系数为：

4.4、边界层动量积分方程目前四十页\总数五十六页\编于十点于是，速度分布成为：由牛顿粘性定律：

下面求解积分关系式。对于平板边界层，有,积分关系式为比较简单的形式：4.4、边界层动量积分方程目前四十一页\总数五十六页\编于十点将速度分布代入动量厚度表达可得：

将上述关系代入动量积分关系式可得：边界条件为：x=0

时，δ=0，积分上式，得平板边界层的厚度δ

沿板长的变化规律是：

这个结果与勃拉休斯数值解结果(常数为4.0)相差不大。4.4、边界层动量积分方程目前四十二页\总数五十六页\编于十点作用在宽度为

b（垂直于纸面的尺寸）、长度为l的单面平板上的摩擦力为：将

及代入上式积分得：单面平板的摩阻系数为：

上述结果与勃拉休斯数值解结果(常数为1.328)相差也不大

4.4、边界层动量积分方程目前四十三页\总数五十六页\编于十点1、边界层分离现象边界层中的流体质点受惯性力、粘性力和压力的作用。其中惯性力与粘性力的相对大小决定了粘性影响的相对区域大小，或边界层厚度的大小；粘性力的作用始终是阻滞流体质点运动，使流体质点减速，失去动能；压力的作用取决于绕流物体的形状和流道形状，顺压梯度有助于流体加速前进，而逆压梯度阻碍流体运动。目前四十四页\总数五十六页\编于十点4.6.1.边界层的分离现象在分离点附近和分离区，由于边界层厚度大大增加，边界层假设不再成立。以圆柱绕流为例，边界层内流体质点要克服粘性力做功而消耗机械能，在逆压区内流体不能无损失的减速到达D点，而是在某处使速度降为零，从而造成流动从壁面分离。在分离点下游的区域，受逆压梯度的作用而发生倒流。分离点定义为紧邻壁面顺流区与倒流区的分界点。目前四十五页\总数五十六页\编于十点仅有粘性的阻滞作用而无逆压梯度，不会发生边界层的分离，因为无反推力使边界层流体进入到外流区。这说明，零压梯度和顺压梯度的流动不可能发生边界层分离。边界层分离的必要条件是：存在逆压梯度和粘性剪切层。顺压梯度时边界层变薄，不分离无压强梯度时边界层虽然变厚，但不分离4.6.1.边界层的分离现象目前四十六页\总数五十六页\编于十点只有逆压梯度而无粘性的剪切作用，同样也不会发生分离现象，因为无阻滞作用，运动流体不可能消耗动能而滞止下来。

有逆压无剪切：不分离有逆压有剪切：可能分离

在粘性剪切力和逆压梯度的同时作用下才可能发生分离。

4.6.1.边界层的分离现象目前四十七页\总数五十六页\编于十点附面层分离的条件1.内因：粘性剪切力的存在2.外因：逆压梯度的存在3.外因通过内因起作用4.相同逆压梯度下湍流边界层抵抗分离的能力强于层流边界层4.6.1.边界层的分离现象同一扩压段中层流边界层与湍流边界层流态的对比层流边界层在一定逆压下分离湍流边界层能够抵抗一定的逆压梯度而不分离(较大逆压下仍然会分离)目前四十八页\总数五十六页\编于十点现在我们可以理解，麻的高尔夫球之所以比光的高尔夫球打得更远的物理原因在于：麻面使层流边界层很快转捩成为湍流边界层，湍流的横向输运特性使其具有较饱满的速度型和抵抗逆压梯度的能力，因此麻面高尔夫球具有较小的分离尾迹和流动阻力。4.6.1.边界层的分离现象目前四十九页\总数五十六页\编于十点气流绕翼型的流动与边界层分离现象：一定迎角下，上翼面最大速度点即最小压强点后的减速增压区将出现分离，一方面改变了绕流的形状，使升力大为降低；另一方面边界层的分离造成了减速增压过程不可能像理想流一样进行，机械能有损失，实验表明分离区的压强接近分离点的压强，从而造成了较大的压差阻力，同时还存在粘性摩擦阻力。4.6.1.边界层的分离现象目前五十页\总数五十六页