函数单调性与曲线凹凸性的判别法

关于函数单调性与曲线凹凸性的判别法第1页，课件共38页，创作于2023年2月本节要点本节通过函数一阶导函数及二阶导函数的符号研究函一、函数单调性的判别法二、曲线的凹凸性的判别法数的单调性及曲线的凹凸性.第2页，课件共38页，创作于2023年2月一、函数单调性的判别法1.问题的提出设函数如果函数负,即如果函数在在上单调增加,则曲线的图形是一条沿轴正向逐渐上升的曲线,因而曲线上各点处的切线斜率非ab同样,第3页，课件共38页，创作于2023年2月由导数的定义及极限的保号性,上单调减少,则曲线的图形是一条沿轴正向逐下降的曲线,因而曲线上各点处的切线斜率非正,即由此可见,函数的单调性与其导函数的符号有密切的关系.我们可证明:ab第4页，课件共38页，创作于2023年2月若可导函数在区间上单调增加（减少）,反之,我们有定理（函数单调性的判别法）若⑴若有且则:⑵若有则对任意的有则在上单调增加;则在上单调减少.第5页，课件共38页，创作于2023年2月证仅证⑴.则由拉格朗日中又因:故由此说明函数是单调增加的.值定理,得第6页，课件共38页，创作于2023年2月例1判定函数解因我们知道,函数是的单调性.所以是单调增加的.单调增加的,但此说明一个单调增加的函数,其导函数可能有若干个零点.作为一般结论,我们有第7页，课件共38页，创作于2023年2月定理若函数在区间上可导,且在例2设则所以,函数在任何一个有限区间仅有有限个驻点,由的任何一个有限区间内仅有有限个零点,则是单调增加的.上面的定理知函数是单调增加的.第8页，课件共38页，创作于2023年2月水平切线第9页，课件共38页，创作于2023年2月例3讨论函数解因所以当即的单调性.是单调减少的;当增加的.即函数是单调可以将函数的导数符号及单调性按区间分段列表第10页，课件共38页，创作于2023年2月注此例说明了如何去讨论函数的单调性:若函数点点可导,则可根据函数的驻点将函数划分成若干个单调区间.但若函数在某些点不可导,则此方法不再适用.第11页，课件共38页，创作于2023年2月例4求函数解函数的定义域为并且在区间当从而将定义域分成三个区间:当因而函数单调增加;的单调区间.内连续.的导数为第12页，课件共38页，创作于2023年2月当因而函数单调减少;当因而函数单调增加.第13页，课件共38页，创作于2023年2月将函数的导数符号及单调性按三个区间列表如下:第14页，课件共38页，创作于2023年2月单调下降单调上升第15页，课件共38页，创作于2023年2月结合上面的两个例子,我们得到求函数单调区间的一⑴确定函数的定义域;⑵求出函数的一阶导函数,并求出函数的驻点及不可⑶根据驻点和导数不存在的点,划分区间,注意到,般方法:导点;导函数在每一个区间内的符号不会改变,从而有确定的单调性.第16页，课件共38页，创作于2023年2月应用:证明不等式.例5证明当时,有证令所以函数在区间中是单调增加的,因而则第17页，课件共38页，创作于2023年2月当时,有注从这个例中可以归纳出利用单调性证明不等式的即基本方法.第18页，课件共38页，创作于2023年2月问题证明当时有:方法⑴构造函数⑵验证从而函数在⑶由此得到:当时,有在中连续,可导;且函数给定的区间上单调增加;即第19页，课件共38页，创作于2023年2月例6证明证令所以所以在上单调增加,从而且第20页，课件共38页，创作于2023年2月由此即得第21页，课件共38页，创作于2023年2月二、曲线的凹凸性及判别法考察右图中的曲线,注意到即设点与点曲线是向下凸的,即任取曲线上两点,那么连接这两点的弦总位于这两点间的弧段的上方.是曲线上任意两点,那么介于之间的中点的函数值满足第22页，课件共38页，创作于2023年2月由此我们引入曲线凹凸性的定义.第23页，课件共38页，创作于2023年2月定义设函数在区间中连续，如果对任意的则称曲线在区间内是下凸的（或称凹弧）.都有第24页，课件共38页，创作于2023年2月如果对任意的都有则称曲线在区间内是上凸的（或称凸弧）.第25页，课件共38页，创作于2023年2月上下凸性,则称点如果函数的图形在经过点时改变了的一个拐点.是曲线第26页，课件共38页，创作于2023年2月曲线凹凸性判别法1设且导函数在内单调增加（减少）,那么曲线在内是下凸（上凸）的.证设单调增加,任取，记由微分中值定理第27页，课件共38页，创作于2023年2月从而证明了曲线是下凸的.第28页，课件共38页，创作于2023年2月即有如下的:更进一步地,如果函数在区间有二阶导数,则如果则曲线在内是下凸的；我们可以通过二阶导函数的符号来判定曲线的凹凸性.曲线凹凸性判别法2如果则曲线在内是上凸的.第29页，课件共38页，创作于2023年2月例7对函数因由判别法知曲线在定义域内是下凸的;再对函数因知曲线在定义域内是上凸的.第30页，课件共38页，创作于2023年2月例8设函数解当时,当时而当时,二阶导数不存求曲线的凹凸区间.在,从而将函数的定义域划分成三个区间:第31页，课件共38页，创作于2023年2月将函数的二阶导数符号及凹凸性按三个区间列表如下:第32页，课件共38页，创作于2023年2月当当当从而点是曲线的拐点,而不是曲线曲线如下图所示.曲线是上凸的;的拐点.曲线是下凸的;曲线是下凸的.第33页，课件共38页，创作于2023年2月第34页，课件共38页，创作于2023年2月图形经过下列点:第35页，课件共38页，创作于