高一数学教案教学反思2023

第高一数学教案教学反思2023

高一数学教案教学反思20231

教学目的：

(1)使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法

(2)使学生初步了解“属于”关系的意义

(3)使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义

教学重点：集合的基本概念及表示方法

教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示

一些简单的集合

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

1.集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解集等;在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础

把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑

本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子

这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念

集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念的描述性说明

教学过程：

一、复习引入：

1.简介数集的发展，复习公约数和最小公倍数，质数与和数;

2.教材中的章头引言;

3.集合论的创始人——康托尔(德国数学家)(见附录);

4.“物以类聚”，“人以群分”;

5.教材中例子(P4)

二、讲解新课：

阅读教材第一部分，问题如下：

(1)有那些概念是如何定义的

(2)有那些符号是如何表示的

(3)集合中元素的特性是什么

(一)集合的有关概念：

由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.

定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合.

1、集合的概念

(1)集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合(简称集)

(2)元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素

2、常用数集及记法

(1)非负整数集(自然数集)：全体非负整数的集合记作N，

(2)正整数集：非负整数集内排除0的集记作N-或N+

(3)整数集：全体整数的集合记作Z,

(4)有理数集：全体有理数的集合记作Q,

(5)实数集：全体实数的集合记作R

注：(1)自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括

数0

(2)非负整数集内排除0的集记作N-或N+Q、Z、R等其它

数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0

的集，表示成Z-

3、元素对于集合的隶属关系

(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作

4、集合中元素的特性

(1)确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，

或者不在，不能模棱两可

(2)互异性：集合中的元素没有重复

(3)无序性：集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出)

5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……

元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……

⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写

三、练习题：

1、教材P5练习1、2

2、下列各组对象能确定一个集合吗

(1)所有很大的实数(不确定)

(2)好心的人(不确定)

(3)1，2，2，3，4，5.(有重复)

3、设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__

4、由实数x,-x,|x|,所组成的集合，最多含(A)

(A)2个元素(B)3个元素(C)4个元素(D)5个元素

5、设集合G中的元素是所有形如a+b(a∈Z,b∈Z)的数，求证：

(1)当x∈N时,x∈G;

(2)若x∈G，y∈G，则x+y∈G，而不一定属于集合G

证明(1)：在a+b(a∈Z,b∈Z)中，令a=x∈N,b=0,

则x=x+0-=a+b∈G,即x∈G

证明(2)：∵x∈G，y∈G，

∴x=a+b(a∈Z,b∈Z),y=c+d(c∈Z,d∈Z)

∴x+y=(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d)

∵a∈Z,b∈Z,c∈Z,d∈Z

∴(a+c)∈Z,(b+d)∈Z

∴x+y=(a+c)+(b+d)∈G，

又∵=

且不一定都是整数，

∴=不一定属于集合G

四、小结：本节课学习了以下内容：

1.集合的有关概念：(集合、元素、属于、不属于)

2.集合元素的性质：确定性，互异性，无序性

3.常用数集的定义及记法

五、课后作业：

六、板书设计(略)

七、课后记：

高一数学教案教学反思20232

教学目的：

(1)使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法

(2)使学生初步了解“属于”关系的意义

(3)使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义

教学重点：集合的基本概念及表示方法

教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示

一些简单的集合

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

1.集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解集等;在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础

把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑

本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子

这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念

集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念的描述性说明

教学过程：

一、复习引入：

1.简介数集的发展，复习公约数和最小公倍数，质数与和数;

2.教材中的章头引言;

3.集合论的创始人——康托尔(德国数学家)(见附录);

4.“物以类聚”，“人以群分”;

5.教材中例子(P4)

二、讲解新课：

阅读教材第一部分，问题如下：

(1)有那些概念是如何定义的

(2)有那些符号是如何表示的

(3)集合中元素的特性是什么

(一)集合的有关概念：

由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.

定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合.

1、集合的概念

(1)集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合(简称集)

(2)元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素

2、常用数集及记法

(1)非负整数集(自然数集)：全体非负整数的集合记作N，

(2)正整数集：非负整数集内排除0的集记作N-或N+

(3)整数集：全体整数的集合记作Z,

(4)有理数集：全体有理数的集合记作Q,

(5)实数集：全体实数的集合记作R

注：(1)自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括

数0

(2)非负整数集内排除0的集记作N-或N+Q、Z、R等其它

数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0

的集，表示成Z-

3、元素对于集合的隶属关系

(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作

4、集合中元素的特性

(1)确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，

或者不在，不能模棱两可

(2)互异性：集合中的元素没有重复

(3)无序性：集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出)

5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……

元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……

⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写

三、练习题：

1、教材P5练习1、2

2、下列各组对象能确定一个集合吗

(1)所有很大的实数(不确定)

(2)好心的人(不确定)

(3)1，2，2，3，4，5.(有重复)

3、设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__

4、由实数x,-x,|x|,所组成的集合，最多含(A)

(A)2个元素(B)3个元素(C)4个元素(D)5个元素

5、设集合G中的元素是所有形如a+b(a∈Z,b∈Z)的数，求证：

(1)当x∈N时,x∈G;

(2)若x∈G，y∈G，则x+y∈G，而不一定属于集合G

证明(1)：在a+b(a∈Z,b∈Z)中，令a=x∈N,b=0,

则x=x+0-=a+b∈G,即x∈G

证明(2)：∵x∈G，y∈G，

∴x=a+b(a∈Z,b∈Z),y=c+d(c∈Z,d∈Z)

∴x+y=(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d)

∵a∈Z,b∈Z,c∈Z,d∈Z

∴(a+c)∈Z,(b+d)∈Z

∴x+y=(a+c)+(b+d)∈G，

又∵=

且不一定都是整数，

∴=不一定属于集合G

四、小结：本节课学习了以下内容：

1.集合的有关概念：(集合、元素、属于、不属于)

2.集合元素的性质：确定性，互异性，无序性

3.常用数集的定义及记法

五、课后作业：

六、板书设计(略)

七、课后记：

八、附录：康托尔简介

发疯了的数学家康托尔(GeorgCantor，1845-1918)是德国数学家，集合论的

1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷

康托尔11岁时移居德国，在德国读中学

1862年17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年入柏林大学，主修数学，1866年曾去格丁根学习一学期

1867年以数论方面的论文获博士学位

1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授

由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度

在1874—1876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战

他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应

这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论

康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂

有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”

来自数学-们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神-症，被送进精神病医院

真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩

1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作

”可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦

1918年1月6日，康托尔在一家精神病院去世

集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣

康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础

康托尔创立了集合论作为实数理论，以至整个微积分理论体系的基础

从而解决17世纪牛顿(I.Newton，1642-1727)与莱布尼茨(G.W.Leibniz，1646-1716)创立微积分理论体系之后，在近一二百年时间里，微积分理论所缺乏的逻辑基础和从19世纪开始，柯西(A.L.Cauchy，1789-1857)、魏尔斯特拉斯(K.Weierstrass，1815-1897)等人进行的微积分理论严格化所建立的极限理论

克隆尼克(L.Kronecker，1823-1891)，康托尔的老师，对康托尔表现了无微不至的关怀

他用各种用得上的尖刻语言，粗暴地、连续不断地攻击康托尔达十年之久

他甚至在柏林大学的学生面前公开攻击康托尔

横加阻挠康托尔在柏林得到一个薪金较高、声望更大的教授职位

使得康托尔想在柏林得到职位而改善其地位的任何努力都遭到挫折

法国数学家彭加勒(H.Poi-ncare，1854-1912)：我个人，而且还不只我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西

集合论是一个有趣的“病理学的情形”，后一代将把(Cantor)集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了

德国数学家魏尔(C.H.Her-mannWey1，1885-1955)认为，康托尔关于基数的等级观点是雾上之雾

菲利克斯.克莱因(F.Klein，1849-1925)不赞成集合论的思想

数学家H.A.施瓦兹，康托尔的好友，由于反对集合论而同康托尔断交

从1884年春天起，康托尔患了严重的忧郁症，极度沮丧，神态不安，精神病时时发作，不得不经常住到精神病院的疗养所去

变得很自卑，甚至怀疑自己的工作是否可靠

他请求哈勒大学-把他的数学教授职位改为哲学教授职位

健康状况逐渐恶化，1918年，他在哈勒大学附属精神病院去世

流星埃.伽罗华(E.Galois，1811-1832)，法国数学家

伽罗华17岁时，就着手研究数学中最困难的问题之一一般π次方程求解问题

许多数学家为之耗去许多精力，但都失败了

直到1770年，法国数学家拉格朗日对上述问题的研

究才算迈出重要的一步伽罗华在前人研究成果的基础上，利用群论的方法从系统结构的整体上彻底解决了根式解的难题他从拉格朗日那里学习和继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来，并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化成或者归结为置换群及其子群结构的分析上同时创立了具有划时代意义的数学分支——群论，数学发展作出了重大贡献1829年，他把关于群论研究所初步结果的第一批论文提交给法国科学院科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会然而，第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，并未介绍伽罗华的著作1830年2月，伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了以参加科学院的数学大奖评选，论文寄给当时科学院终身秘书J.B.傅立叶，但傅立叶在当年5月就去世了，在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿1831年1月伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作当时的数学家S.K.泊松为了理解这篇论文绞尽了脑汁尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗华所要证明的论断是正确的，但最后他还是建议科学院否定它1832年5月30日，临死的前一夜，他把他的重大科研成果匆忙写成后，委托他的朋友薛伐里叶保存下来，从而使他的劳动结晶流传后世，造福人类1832年5月31日离开了人间死因参加无意义的决斗受重伤1846年，他死后14年，法国数学家刘维尔着手整理伽罗华的重大创作后，首次发表于刘维尔主编的《数学杂志》

高一数学教案教学反思20233

一、教学目标

1.知识与技能：(1)通过实物操作，增强学生的直观感知。

(2)能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

(3)会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。

(4)会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。

2.过程与方法：

(1)让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。

(2)让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

3.情感态度与价值观：

(1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。

(2)培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

二、教学重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

三、教学用具

(1)学法：观察、思考、交流、讨论、概括。

(2)实物模型、投影仪。

四、教学过程

(一)创设情景，揭示课题

1、由六根火柴最多可搭成几个三角形(空间：4个)

2在我们周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗这些建筑的几何结构特征如何

3、展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体。

问题：请根据某种标准对以上空间物体进行分类。

(二)、研探新知

空间几何体：多面体(面、棱、顶点)：棱柱、棱锥、棱台;

旋转体(轴)：圆柱、圆锥、圆台、球。

1、棱柱的结构特征：

(1)观察棱柱的几何物体以及投影出棱柱的图片，

思考：它们各自的特点是什么共同特点是什么

(学生讨论)

(2)棱柱的主要结构特征(棱柱的概念)：

①有两个面互相平行;②其余各面都是平行四边形;③每相邻两上四边形的公共边互相平行。

(3)棱柱的表示法及分类：

(4)相关概念：底面(底)、侧面、侧棱、顶点。

2、棱锥、棱台的结构特征：

(1)实物模型演示，投影图片;

(2)以类似的方法，根据出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念、分类以及表示。

棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形。

棱台：且一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。

3、圆柱的结构特征：

(1)实物模型演示，投影图片——如何得到圆柱

(2)根据圆柱的概念、相关概念及圆柱的表示。

4、圆锥、圆台、球的结构特征：

(1)实物模型演示，投影图片

——如何得到圆锥、圆台、球

(2)以类似的方法，根据圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示。

5、柱体、锥体、台体的概念及关系：

探究：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点三者的关系如何当底面发生变化时，它们能否互相转化

圆柱、圆锥、圆台呢

6、简单组合体的结构特征：

(1)简单组合体的构成：由简单几何体拼接或截去或挖去一部分而成。

(2)实物模型演示，投影图片——说出组成这些物体的几何结构特征。

(3)列举身边物体，说出它们是由哪些基本几何体组成的。

(三)排难解惑，发展思维

1、有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱(反例说明)

2、棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗

3、圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到如何旋转

(四)巩固深化

练习：课本P7练习1、2;课本P8习题1.1第1、2、3、4、5题

(五)归纳整理：由学生整理学习了哪些内容

高一数学教案教学反思20234

一、教学目标

1.知识与技能：掌握画三视图的基本技能，丰富学生的空间想象力。

2.过程与方法：通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。

3.情感态度与价值观：提高学生空间想象力，体会三视图的作用。

二、教学重点：画出简单几何体、简单组合体的三视图;

难点：识别三视图所表示的空间几何体。

三、学法指导：观察、动手实践、讨论、类比。

四、教学过程

(一)创设情景，揭开课题

展示庐山的风景图——“横看成岭侧看成峰，远近高低各不同”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体。

(二)讲授新课

1、中心投影与平行投影：

中心投影：光由一点向外散射形成的投影;

平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影。

正投影：在平行投影中，投影线正对着投影面。

2、三视图：

正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图;

侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图;

俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图。

三视图：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。

三视图的画法规则：长对正，高平齐，宽相等。

长对正：正视图与俯视图的长相等，且相互对正;

高平齐：正视图与侧视图的高度相等，且相互对齐;

宽相等：俯视图与侧视图的宽度相等。

3、画长方体的三视图：

正视图、侧视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察到有几何体的正投影图，它们都是平面图形。

长方体的三视图都是长方形，正视图和侧视图、侧视图和俯视图、俯视图和正视图都各有一条边长相等。

4、画圆柱、圆锥的三视图：

5、探究：画出底面是正方形，侧面是全等的三角形的棱锥的三视图。

(三)巩固练习

课本P15练习1、2;P20习题1.2[A组]2。

(四)归纳整理

请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图

(五)布置作业

课本P20习题1.2[A组]1。

高一数学教案教学反思20235

教学目标：

(1)理解子集、真子集、补集、两个集合相等概念;

(2)了解全集、空集的意义，

(3)掌握有关子集、全集、补集的符号及表示方法，会用它们正确表示一些简单的集合，培养学生的符号表示的能力;

(4)会求已知集合的子集、真子集，会求全集中子集在全集中的补集;

(5)能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号及图形(文氏图)准确地表示出来，培养学生的数学结合的数学思想;

(6)培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力.

教学重点：子集、补集的概念

教学难点：弄清元素与子集、属于与包含之间的区别

教学用具：幻灯机

教学过程设计

(一)导入新课

上节课我们学习了集合、元素、集合中元素的三性、元素与集合的关系等知识.

【提出问题】(投影打出)

已知，，，问：

1.哪些集合表示方法是列举法.

2.哪些集合表示方法是描述法.

3.将集M、集从集P用图示法表示.

4.分别说出各集合中的元素.

5.将每个集合中的元素与该集合的关系用符号表示出来.将集N中元素3与集M的关系用符号表示出来.

6.集M中元素与集N有何关系.集M中元素与集P有何关系.

【找学生回答】

1.集合M和集合N;(口答)

2.集合P;(口答)

3.(笔练结合板演)

4.集M中元素有-1，1;集N中元素有-1，1，3;集P中元素有-1，1.(口答)

5.，，，，，，，(笔练结合板演)

6.集M中任何元素都是集N的元素.集M中任何元素都是集P的元素.(口答)

【引入】在上面见到的集M与集N;集M与集P通过元素建立了某种关系，而具有这种关系的两个集合在今后学习中会经常出现，本节将研究有关两个集合间关系的问题.

(二)新授知识

1.子集

(1)子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。

记作：读作：A包含于B或B包含A

当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作：AB或BA.

性质：①(任何一个集合是它本身的子集)

②(空集是任何集合的子集)

【置疑】能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合

【解疑】不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合.

因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的.空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元素.由此也可看到，把A是B的子集解释成A是由B的部分元素组成的集合是不确切的.

(2)集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。

例：，可见，集合，是指A、B的所有元素完全相同.

(3)真子集：对于两个集合A与B，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：(或)，读作A真包含于B或B真包含A。

【思考】能否这样定义真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集.”

集合B同它的真子集A之间的关系，可用文氏图表示，其中两个圆的内部分别表示集合A，B.

【提问】

(1)写出数集N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示。

(2)判断下列写法是否正确

①A②A③④AA

性质：

(1)空集是任何非空集合的真子集。若A，且A≠，则A;

(2)如果，，则.

例1写出集合的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.

解：集合的所有的子集是，，，，其中，，是的真子集.

【注意】(

)子集与真子集符号的方向。

(2)易混符号

①“”与“”：元素与集合之间是属于关系;集合与集合之间是包含关系。如R，{1}{1，2，3}

②{0}