数列求和及极限

数列求和及极限【知识及方法归纳】1、 数列求和主要有以下几种常见方法：（1）公式法；（2）通项转移法；（3）倒序相加法；（4）裂项相消法；（5）错项消法；（6）猜想、证明（数学归纳法）。2、 能运用数列极限的四则运算法则求数列的极限；求无穷等比数列各项的和。【学法指导】1、在公式法求和中，除等差、等比的求和公式外，还应掌握自然数方幕数列的求和公式，如：12+22+32+•••+n2=n（n+1）（2〃+D；2、对于形式比较复杂而又不能直接用公式求和的6数列，可通过对数列通项结构特点的分析研究，将2其分解为若干个易求和的新数列的和、差；3、将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项易求和，这样的数列常用倒序相加，如课本中等差数列的求和公式就是用这种办法得到；4、利用裂项变换改写数列的通项公式，通过消去中间项达到求和的目的；5、若通项是由一个等差数列与一个等比数列相乘而得的数列，其求和的方法类似于推导等比数列前n项和公式的方法，通过乘于等比数列的公比，在错位相减，转化为等比数列的求和问题；6、通过对5］、、、53…进行归纳，分析，寻求规律，猜想出5〃，然后再用数学归纳法给予证明。 1【典型例题】 ”例1求和：12+32+52+…+^〃—1）2【分析】这是一个通项为（2n—1）2的数列求前n项和，对通项公式展开可得：a=4n2+4n+1，n所以对原数列求和分解为3个新数列求和，可用方法2求和。【简解】12+32+52+…+⑴—1）2=（4・12—4・1+1）+（4•22—4•2+1）+•+（4n2—4n+1）n(n+1)(2n+1)6 —=4(12+22+32+•••+n2)-4•n(n+1)(2n+1)6 —.n(n+1) n(2n—1)(2n+1)TOC\o"1-5"\h\z4• +n=2例2求和：1+4+二+-10•••+3n二2525125 5n-1【分析】这是一个通项为担2的数列求前n项和，观察通项，不难发现它是一个等差数列5n—1与一个等比数列的积，可用方法5求和。【简解】设5=1+4+土+堤…+却些，则%=|+£+…+业芸+3n—l，所以n525125 5n—1 5n525 5n—1 5n(1—与5 =1+3+* +…+——3^-2 =1+3(1+』+工+ …+^—)5n552 5n—1 5n 5 552 5n—2「- -1—(4n—1 一--£2=1+3•一5 -3^2=7—蚣心，所以5=35-12n+7。5n 5 1—1 5n 44・5n n1616•5n-15

，…的前n项和例3 求―,―，…的前n项和1212+2212+22+32【分析】先写出此数列的通项〃=—2n±1一=—2n±1—=—^=6(]-^)，它属n12+22+...+n2 n(n+1)(2n+1)n(n+1) nn+16于用方法4，即裂项求和。【简解】因为a= 2n+1 = 6(：：：1)=6 6(】—1)，所以S=6[(1-1)+TOC\o"1-5"\h\zn12+22+ +n2 n(n+1)(2n+1)n(n+1) nn+1 n2(匚1)+•••+(m)]=住。23 nn+1 n+1例4 若an=(—1)n(5n—3)，【分析】由于所求的和Sn与n的奇偶有关，所以按n的奇偶分两类分别求和。【简解】S=-2+7-12+17-22+27-•••+（-1）n（5n—3），当n为奇数时，S=（〃一访5-5〃+3=5^n n2 2当n为偶数时，S=n.5=*。n2 2例5在等比数列｛a｝中，lim=（Q］+a2+a3+ +a）=1,则。］的取值范围是多少？n nT8 ' 23 n 4 '【分析】无穷等比数列的各项和是指前n项和的极限limS〃。当IqlV1时，limS〃=岂；ns ns 1q当IqlA1时，这一极限不存在。即在无穷等比数列中，IqIV1（q尹0）是limS〃存ns在的充要条件。所以特别要注意公式S=limS=/1的含义及适用范围。因此由nFn1—q-1a-=4可得：q=1-4ay因为0<IqI<1，所以0VI1-4aJVL即：0<a1<2，【简解】得a］的取值范围是（0，4）U（4，2）。【复习练习】一、选择题1、 等差数列｛a｝、｛b｝的前n项和分别为S与T，若已=*，则lim%等于（）TOC\o"1-5"\h\znn nn九3n+1 …«A、1 B、云 C、2 D、43 3 92、等差数列｛a〃｝的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 （ ）A、130 B、170 C、210 D、2603、 等比数列｛气｝中，a1>1，且前n项和S〃满足limS〃=X，则。］的取值范围是（）ncs aA、（A、（1、+8）B、（1、4）C、（1、2） D、（1、3）4、根据时常调查结果，预测某种家用商品从年初开始的几个月内累积的需求量5〃（万件）近似地满足5广部21〃-〃2-5）d2,…，12）。按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是A、5月、6月B、6月、7月C、7月、8月D、8月、9月5、若一个等差数列的前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390，则这个数列有 （ ）A、13项 B、12项 C、11项 D、10项二、填空题1、设a>1,则lim卜"+1=ns1+an+12、 已知等差数列｛a｝的公差d >0，首项a >0, S= —1 ，^0 limS= 。n 1 nz=1aiai+1 …n 3、 已知等比数列｛a｝(aER),a1+a2=9,a1•a2•a3=27,且S=a1+a2+a3+ +a(n=1、2…)，则limS= 。ns4、设0VaVb,^0lim 4bnnT8an-bn5、若数列｛5、若数列｛an｝的通项为；三、解答题1、已知数列-8土，£-12.32 32•52(nEN),则lim(a1+n2a)= 。nT8(2[J%1)2，…Sn为其前n项的和，计算得S1=9,vv_24v_4^v_80

，2一25，53一49，54一81观察上述结果，推测计算Sn的公式，并用数学归纳法证明。2、设数列｛a」的前n项和为Sn,若对所有的正自然数n,都有S〃=*气）。证明：｛a」是等差数列。3、 ｛an｝是正数组成的数列，前n项和为Sn，且对所有nEN*,a”与2的等差中项等于S〃与2的等比中项。（1）写出数列｛an｝的前3项；（2）求数列｛an｝的通项公式（写出推证过程）；（3）令b=2（—n+1+-—^）（nEN*）,求lim（b1+b2+…+b-n）。n n+14、 设｛a〃｝是正数组成的等比数列，前n项和为S〃。（1）证明：恒Sn+；gSg2<lgs明；（2）

是否存在常数C>0,使得lg（Sn—C+；g（Sn+2—=lg（S“]-c）成立？并证明你的结论。5、设｛a｝为