高中数学高考复习第二章第11讲 导数与函数的单调性

3232第讲导与函数的单调性[学生用书P47]函数的单调性在(a，)内函数f)可导，′()在(，)任意子区间内都不恒等于f′(x)⇔f)在(，b)上为增函数．f′(x)⇔f)在(，b)上为减函数．辨明导数与函数单调性的关系(1))>0(<是f()在(，b)内单调递增或递)的充分不必要条件；(2))或≤是f()在，)内单调递增或递减)必要不充分条件．[注意]f)[，b]()，()≥，(x．函数fx)cos－x(0π上的单调性()A先增后减C．函数

B先减后增D．函D[析]因f′(x)＝－sin－1＜所以fx)在(，)上是减函数，故选D.．函数fx)xA(－1，1)C．－1，＋∞

－的调增区间是)B(－∞，D．－∞，1)，，＋∞)D[析]f)＝x－3.fx)＞0得x＜－或x＞1.单调增区间(－∞，－1)，，＋∞)，故选D.π．已知函数fx)x，xR，f，(1)，f－的大小关系为)πAf－>ff

π

32222πBf(1)>f－>fπC．ff(1)>f－πD．f－>ff5A

[解析]因为f)·sin，所以f－x)＝(－x)·sin(－x＝xsinx＝fx)．ππ所以函数fx)是偶函数，以f－＝f.3π又x∈0，时，得f′(x)sin＋cosx，以时函数是增函数．ππ所以ff(1)<f3ππ所以f－>ff，故选教材习改编函数f(x＝－x的调递增区间________．[解析]因f()＝－，以fx＝－，由fx，得e－1>0，即x>0.[答案](0，＋)．已知fx)x－在[，＋∞)是增函数，则实数a的大值是．[解析]fx)＝3x

－a≥0，即≤x

，又因为x∈[1，∞，以≤3，的最大值是3.[答案]3利用导数判断或证明函数的单调[生用书[典例引领](2017·贵市监测考试设数fx)＝xln(ax)(＞．设(x＝f函数(x)的单调性．

2

＋x)，讨论【解】fx)＝)＋，所以(＝ax＋ln()，函数F的定义域为0＋（lnax＋1∞，′)(lna)x＋＝.x①当lna0，即a≥1时恒有′(x＞0，函数F()在(0＋∞)上是增函数；

2222332222223322②当lna0，即0＜＜1时，令Fx)＞0，(ln)x＋＞，解得＜x＜－

；lna令Fx)＜0，(ln)x＋＜，解得x＞

－.lna所以函数F()在，

－

上为增函数，在ln

－

，∞上减函数．lnae(2017·河郑州二)已知函数fx)＝.讨论函数y＝x)在x∈(m＋x－∞上的单调性．[解])＝

e（x－m－（x－－1＝，（x－）（m当x∈(，＋1)，f′(x＜0，x∈(m1＋∞)时f′()＞0，所以()在m＋1)上单调递减在(m＋，＋∞)上单调递增．求函数的单调区[学生用书[典例引领](2016·高天津卷节选设数fx)＝x－ax－b∈R中∈R求(x)的单调区间．【解】由f)＝x－1)－ax－b，求导得fx)x－－下面分两种情况讨论：①当≤0时，有f′()3(x－1)－a≥恒立，所以fx)的单调递增区间(－∞，＋∞)．②当>0时，令)＝0解得x＝＋

a或x＝－.3当x变时，f(x，f(x的变化情况如下表：

＋，∞.22＋，∞.22x

(－∞

a)

1

a

－

a，1)3

＋

a

＋

a

，＋∞)f′x)

＋

－

＋()

极大值

极小值3a所以fx)单调递减区间为－，＋33

，单递增区间为－，－，设函数f(x)x－lnx，求函数f)的单调区间．x－[解]函f()的定义域为(，＋∞)，f′(x)，x当m0时f(x)＞，所以函数(x)的单调递增区间是(0，∞，单调递减区间．（x＋m（－m当m0时f(x)＝，x当＜x＜m，f′(x＜0，函数f()单调递减；当x＞m，f′(x＞，函数fx单调递增．综上：当m0时，函数f(x的单调递增区间是(0＋∞)，无单调递减区间；当m0时函数fx)的单调递增区间，∞)，单调递减区间是(，m．函数单调性的应(高频考点[学用书利用导数根据函数的单调(间)求参数的取值范围，是高考查函数单调性的一个重要考向，常以解答题的形式出现．高考对函数单调性的考查主要有下两个命题角度：(1)已知函数单调性求参数的取值围；(2)比较大小或解不等式．[典例引领](1)若函数f＝－ln在间1，＋)单调递增，则的值范围()A(－∞，－2]B(－∞，－

3exx32223exx3222xxC．，＋∞D．，∞)1(2)设fx)＝－x＋＋2.若f(x在，∞上在单调递增区间，则a的值范围2是________．州市诊断考)定义在R上的数f(x的导函数是fx)，若f(x＝－x)且当x∈(－∞1)时(x－fx＜，a＝f

(e为自然对数的底)＝2)c＝(log8)，2则a、c大小关系为_______(“＜”连)．【解析】(1)由于f)＝k－x)kx－在间(∞)单调递增f(x＝－≥(1＋∞)上恒成立．1由于k≥，而0<<1所以≥x即k的值范围为[1，＋．1(2)()＝－x＋

2

＋2ax由题意知f)＝－x

＋x＋≥0在，∞上解即≥(x－)，min2令(x)＝x－x，g)＞＝－即＞－所以的取值范围为－，＋∞(3)因为当x∈(－∞，1)时，(x－fx)＜0得f′(x)＞0所以函数在(－，上单调递增又f)＝(2－)，函数f)图象关于直线x＝对，以函数()图象上的点距离直线x＝1越函数值越大log＝38＞－＞＞1f(＞2e故c＜a＜

e

＞(log8)，2【答案(2)

－，∞

＜a若本例1)条件改为“函数()＝－在间(＋∞上单调递减”的值范围．[解]因函数fx)＝kx－，所以fx)＝k－，数在区间，∞)上单调递减则f′(x)≤0在(，∞)恒成立，即k－≤在区间(1＋∞)恒成立，

32223222故k≤在区间，∞)上恒成立，x因为在区间，∞)0＜1，故k≤x(1)利用函数的单调性求参数的取范围的解题思路[b]()f′()f(x)≤0)[]，验参数的取值能否使fx，fx)，fx)，(2)利用导数比较大小或解不等式常用技巧，[注意](1)()∈(a)(x≥0(a，bfx≠0.，(2)[题点通关]角度一已知函数单调性求参数的取值范围．已知函数()＝－＋x.2(1)若(x)(－2，－1)内为减函数，求实数a的值范围；(2)若(x)区间(－，1)内不单调，求实数的取值范围．[解]因gx)x

－＋，g(x)在(－2－1)内为减函数，所以)0，即x－＋2在(－，－1)恒成，≤，≤，所以即解之得a≤，≤0，，即实数取值范围为－，－．(2)因为(x在(－2－内不单，g()＝x

－ax＋，

2－8>0＋a，3a>0x2－8>0＋a，3a>0x22<－1，所以－2)·g－1)<0或′－）>0.由－－1)<0，得6a＋a，解．由

－1<－，Δ，得′（－），<，即2－2，解之得3<<－2，>3，即实数取值范围为－3－．角度二比较大小或解不等式．石家庄市教学质量检())fx)是奇函数f)(∈)导函数，(－＝0，当x＞0，xf′x)－f)＞0则使得fx)＞0成的的取值范围是_________________．f（x）xf′（x）－f）[解析]设g(x)(≠x)＝以当0时′x)＞0f（2）即g()在(，∞)上单调递增，又g(2)＝＝0，以fx)＞0的集－，∪，＋)．故填(－，∪，＋∞)．[答案](2，∪(2，＋∞[学生用书——类思想研究函数的单性(2016·高全国卷乙节)已知函数f＝(x－2)e＋a(x－1).论f()的单调性．【解】fx)＝(x－＋－1)＝－1)(e＋2．(1)设≥0则当∈－∞时f(x)＜0当，＋∞)时，f()0，所以f)在－∞，单调递，(，＋∞)单调递增．(2)设＜0，fx＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．

22xx222xx2e①若＝－，则f)(x－－，以f()在(－∞，＋∞)单调递增．e②若a－，则－a＜1，故当x∈－∞，ln(2∪，∞)时f′(x＞0；当x∈(ln(2a，时f′()＜0所以fx)在－∞，ln(2a))，，＋∞单调递，在(－)，单调递减．e③若＜－则ln(－a)＞故当x∈(－∞1)∪(ln(－2)∞时fx)＞当x∈(1－))时，′()＜0所以f)在(－∞，，－a)，＋∞单调递增，(1ln(a))单调递减．①fx)②f)，③，ee(2)a，a<三2已知函数f(x)ln＋x－(1).求函数fx)单调区间．－1＋a＋（x－1）（x－）[]fx)＝＋x－＋a＝＝.当≤0时，若0<x，f′(，若，fx)>0，此时函数f(x)的单调递减区间是0，，单调递增区间(，＋∞)；当0<a<1时，′()，(x的变化情况如下表：xf′(x)

，)＋

(，－

，＋∞)＋f)

极大值

极小值所以函数fx)的单调递增区间，a)，，＋∞，调递减区间(，；（x－）当＝1时，′(x＝≥，以函数fx)的单调递增区间(，＋∞)x当a>1时同0<<1时解法，可得函数f的单调递增区间(，，(，＋∞)，单调递减区间，a)．[学生用书P271(立成册)]

2x3222x322．函数y＝－x的单调递减区间()A(－1，1]B．(01]C．，＋∞D．(0，＋∞B[解析由题意知函数的定义域(，∞)，又由y＝－≤，解得＜x≤，所以函数的单调递减区间(，1]．函数fx)1＋x－sinx在(02)上的单调情况是)A增函数C．增后减

B减函数D．减增A[解析在0π上有)＝1cos0恒以fx在(0π上单调递增．．已知函数fx)－6ax＋1，≠0，则函数f()的单调递减区间为()A(－∞，＋∞B．－，＋∞)C．－∞，－a∪(，＋∞)

D．－a，a)D[析]f)＝x－＝6(x－)，当＜0时，对x∈，有f′()＞0当＞0时，由f′(x)解－a＜x＜，所以当＞0时，f(x的单调递减区间为(a，)．故选D.城模拟)已知函数y＝)的图象如图所示(其中fx)是函数f()的导函数下面四个图象中y＝fx的图象大致()C[析]由件可知当＜x＜时，xf(x)＜0所以fx)，函数递减．当x＞时′()＞0，所以fx)，函数递增，所以当＝1时，函数取极小值．当x＜－1时′(x＜0，所以fx)0函数递增，

xx＋xx＋当－＜x＜0时xf′(x)＞，所以f)＜0函数递减，所以当x＝－1时，数取得极大值．符合条件的只有C项．若函数fx)＝ke＋x在，＋∞)上是减函数，则k的范围()A≥－1C．k1B[解析)＝k＋

B≤－1D．k≤由题意得ke＋≤在(，∞)上恒成，即k≤－，∈，＋∞)．e当x∈(0，＋∞)，∈－1，0)e所以k≤－1，故选．贵阳市监考)对于R上导的任意函f()，若满足(x－3)x)≤0，则必有)Af(0)＋(6)≤f(3)C．f＋f≥f(3)

Bf(0)＋(6)f(3)D．＋f＞f(3)A[解析由题意知当≥3时f(x)所以函数f()在[3＋)上单调递减或为常数函数；当x＜时，′≥0所以函数f()在－∞上单调递增或为常数函数，所以f(0)≤(3)，(6)≤f(3)，所以f＋f(6)2f，故选．函数fx)(x－

的单调递增区间．[解析]因f()＝(－3)·e，则f(x＝e(x－2)，fx)＞0，得x＞2所以fx)的单调递增区间(2＋．[答案](2，＋)．已知函数fx)axlnx，则当＜，f(x)的单调递增区间是_，调递减区间是．[解析]由知得f(x的定义域为(0，＋∞)．因为fx)＋＝

x

，所以当x≥－时f′(x)，0＜－时fx＞0所以f(x的单调递增区间为，，单调递减区

a2222aaa2222aa1间为－，.10，－－，＋案aa9．若＋cosx，

π2

大系_＜”连析数偶，此．又＝xcosx，当∈

π2

，π时所以

π，π是减函，2所以f

π2

案＜f

π2110已知函数－x2．

＋4x－3ln在区间单调，则t的取范围是3－1－3析题意知＝个xx极值点为13，只要这两极值点有一个在区内，函数上就不单，或＋1＜1案1－a1州市实战考知＋当＜a时，x2讨论调1－a]因＋－1x1a－1ax－a所以＋－，，xxx1令分1－1a1因为＜a＜，所＞02a当，，函调；1当∈1，，数调；1当∈－1＋∞时函数调减．

x2222x2222x2222x2222x3．已知函数fx＝＋－x－，其∈，曲线y＝fx)点(1f处的切线垂直于直线y＝x.(1)求值；(2)求函数fx)的单调区间．1[解]对fx)求导得f)＝－－，由fx)点(，处切线垂直于直线y＝x知5f′(1)＝－－a＝－，解得a＝4x53(2)由(1)知f(x＝＋－x－，xx－x－5则fx)令fx)，解得x＝－或x＝5.因为x＝－1不fx)定义域0＋内，故舍去．当x∈(0，时f′(，f()在(，5)为减函数；当x∈(5，＋∞)时f′，f)在(5＋∞内为增函数．故函数fx)的单调递增区间，∞，单调递减区间为(，．．南省第一次统一检)已知函数fx＝x－

x＋x(1)求证：(x在区间(，＋∞上单调递增；(2)若f[x－2)]<，求数x的值范围．[解]证明：已知得fx)的定义域为0，∞)．x因为fx)＝x－，＋x1＋2－x4x＋x＋1所以fx)－＝.（12）x（1＋x）因为x>0，所以＋3＋1>0＋x)所以当x>0时，′(x)>0.所以fx)在(，＋∞上单调递增．x1(2)因为f)＝－，以f(1)＝1－＝.＋x＋×3

233223223322322332222由f[x－2)]<得f[(3x－2)]<f(1)>0由(1)得解－<<0或<<1所以实数x的取值范围为－，0∪，．已知函数f()＝ax＋x(aR在x－处取极值．(1)确定的值；(2)若(x)f(x)e，论gx)的单调性．[解]对fx)求导得f)＝3＋x，因为fx)在x＝－处得极值，所以f－＝0即a

16a＋－＝－＝，解得a(2)由(1)得g(x＝＋x

e

，1故x＝x＋x＋x＋

e5＝x＋＋2x

e

＝x(＋1)(＋4)e

令x＝0解得x＝0或x＝－1或x＝－当x＜－4时g′x)＜，gx为减函数；当－＜x＜－1时′)，g(x为增函数；当－＜x＜0时′)＜0故gx)为减函数；当x＞0时，′(x)＞0，故()为增函数．综上知，g(x)－，－4)和(－10)内为减函数，在－4，－1)和(，＋∞)内为增函数．．已知函数f()＝ax＋bxln(a，bR)．a≥，求f的单调区间．[解]由(x)＋－，∈(0＋∞)，ax＋bx－1f′(x)xbx－(1)当＝0时，′()＝.x①若≤0，当x＞0时，f(x)＜0成立

2222222222222222所以函数fx)的单调递减区间，＋∞)．②若＞0，当＜x＜时，f(x＜，数f(x单调递减；当x＞时，f′(x＞，函数fx)单调递增．所以函数fx)的单调递减区间是0，，单调递增区间是，∞.(2)当＞0时，令f′(x)0得2ax＋－10.由＋a＞，－bb＋－＋＋ax＝，＝.14aa显然x＜，x＞1当＜x＜时f(x＜，函数fx)单调递减；2当x＞x时，f(x＞，数fx)调递增．2－＋＋所以函数fx)的单调递区间是a

，