数学九年级下册27.2.1 第2课时 三边成比例的两个三角形相似

27.2.1相似三角形的判定第二十七章相似第2课时三边成比例的两个三角形相似2.证明三角形全等有哪些方法？你能从中获得证明三角形相似的启发吗？1.什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有其缺点和局限性？ABCDE复习引入3.类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？三边成比例的两个三角形相似合作探究

任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使它的各边长都是原来△ABC的各边长的

k倍，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？A′B′C′CBA

通过测量不难发现∠A

=∠A'，∠B

=∠B'，∠C

=∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以△ABC∽△A′B′C′.下面我们用前面所学过的定理证明该结论.A′B′C′CBA∴CBA证明：在线段A′B′

(或延长线)上截取A′D

=

AB，过点D作DE∥B′C′，交

A′C′

于点E.∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.∴DE

=

BC，A′E

=

AC.∴△ABC∽△A′B′C′.B′C′A′E又

，A′D

=

AB，∴

，.

∴

△A′DE≌△ABC.D由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．归纳：∵，∴△ABC∽△A′B′C′.符号语言：例

1根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：AB

=4cm，BC=6cm，AC=

8cm；A′B′=12cm，B′C′=18cm，A′C′=

24cm.典例精析解：相似.理由如下：∵∴∴△ABC∽△A′B′C′.

已知△ABC和△DEF，根据下列条件判断它们是否相似.(2)AB＝

4，BC＝8，

AC＝10，DE＝

20，

EF＝16，DF＝8.(1)AB＝3，BC＝4，AC＝6，DE＝

6，EF＝

8，DF＝

9；是否练一练例

2判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．ABC33.54DFE1.82.12.4解：在△ABC

中，AB>BC>CA；

在

△DEF中，DE>EF>FD.∴△ABC∽△DEF.

∵，，

，∴.

方法总结：判定三角形相似的方法一：如果题中给出了两个三角形的所有边长，可分别计算出三条对应边的比值，看是否相等.注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.例

3

如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′

=90°，且求证：△A′B′C′∽△ABC.

【分析】要运用三边成比例判断相似，而题目只给出2组边成比例和90°

的角，那么可以通过“勾股定理”得到第三组边的比，进而求解.证明：由已知条件得AB=2A′B′，AC=2A′C′，

∴BC2=AB2－AC2=(2A′B′)2－(2A′C′)2=4A′B′2－4A′C′2

=4(A′B′2－A′C′2)=4B′C′2=(2B′C′)2.∴△A′B′C′∽△ABC.∴BC=2B′C′，∴∠BAC=∠DAE．∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE．∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°．∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).例

4

如图，在△ABC和△ADE中，

∠BAD=20°，求∠CAE的度数.ABCDE解：∵1.根据下列条件，判断△ABC

与△A′B′C′是否相似，并说明理由：AB=5cm，BC=7cm，AC=8cm，A′B′=15cm，B′C′=21cm，A′C′=23cm.解：不相似.理由如下：∵∴△ABC与△A′B′C′的三边不成比例.∴△ABC与△A′B′C′不相似.2.如图，在大小为4×4的正方形网格中，有两个三角形，它们是否相似？请说明理由.①②解：相似，理由如下：

图①中的三角形三边分别为，2，；

图②中的三角形三边分别为2，2，2.∵

∴这两个三角形相似.3.如图，∠APD=90°，AP

=

PB

=

BC

=

CD

=

1，求证：△ABC∽△DBA.ACBPD∵

AB:BC

=BD

:AB

=AD

:AC，∴△ABC∽△DBA.证明：∵∠APD

=

90°，AP

=

PB

=

BC

=

CD

=

1，∴AB=，AC=，AD=.4.如图，△ABC

中，点D，E，F分别是AB，BC，CA

的中点，求证：△ABC∽△EFD．∴△ABC∽△EFD.证明：∵△ABC中，点

D，E，F分别是

AB，BC，CA的中点，∴∴5.如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知AB=14千米，AD=28千米，BD=21千米，

DC=31.5千米，公路