全等三角形中的常用辅助线方法全面含分层训练

三角形中的常用辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。例1：如图，AABC是等腰直角三角形，NBAC=90°,BD平分/ABC交AC于点D,CE垂直于BD,交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。要求证BD=2CE,可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分NABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。例2：如图，已知AABC中，AD是NBAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：AABC是等腰三角形。1

(3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。C因为AC是/8人口的平分线，所以可过点C作NBAD的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。解题后的思考：②见中点即联想到中位线。例3：已知，如图，人(3平分/8人口,CD=CB,AB>AD。求证：NB+NADC=180°。C因为AC是/8人口的平分线，所以可过点C作NBAD的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。解题后的思考：②见中点即联想到中位线。例4：如图，AABC中，AB=AC,E是例4：如图，AABC中，AB=AC,E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D,若EB二CF。求证：DE二DF。利用等腰三角形的性质解题后的思考：，使问题得以解决。此题的辅助线还可以有以下几种作法：A Aft /agF F因为DE、DF所在的两个三角形ADEB与ADFC不可能全等，又知EB=CF,所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过E作EG//CF,构造中心对称型全等三角形，再2(4)过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”BD CBD C例5：AABC中，NBAC=60°,NC=40°,AP平分/BAC交BC于P,8（3平分/ABC交AC于Q,求证：AB+BP=BQ+AQ。本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过O作BC的平行线。得△ADO2△AQO。得到OD=OQ,AD=AQ,只要再证出BD=OD就可以了。解题后的思考：(1)本题也可以在AB上截取AD二AQ,连OD,构造全等三角形，即“截长法”。(2)本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：①如图(2),过O作OD〃BC交AC于D,则AADO2AABO从而得以解决。ABp C图⑶③如图⑷，过P作ABp C图⑶③如图⑷，过P作PD//BQ交AB的延长线于D,则也取口必也取©从而得以解决口D/④如图（5）,过P作PD〃BQ交AC于D,BP图⑸则4ABP24ADP从而得以解决。3②如图⑶，过口作DE//BC交AB于口，交AC于E,则空々AQd△AB□季也研口从而得以解决口小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。(5)截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例6：如图甲，AD〃BC,点E在线段AB上，NADE二NCDE,NDCE二NECB。求证：CD=AD+BC。图甲结论是CD=AD+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF二CB,只要再证DF二DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。在△尸GE与中EF=CB$ =ZBCECS=CE

解题后的思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补知法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。小结：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角形。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。同步练习BC>AB,AD=DC,8口平分/人8以1BC>AB,AD=DC,8口平分/人8以2、已知，如图2,N1=N2,P为BN上一点，且PDLBC于点D,AB+BC=2BD。求证：NBAP+NBCP=180°。图23、已知，如图3、已知，如图3,在AABC中，NC=2NB,N1=N2。求证：AB=AC+CD。4.已知，如图4,D、E为△ABC内两点，求证：AB+AC>BD+DE+CEn

K旋转半角胭三、旋转全等随说明：放转半角的特征是^聆日等2排殳所成角含一个二分之一角，通过潮专将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。半角：有一个角含K旋转半角胭三、旋转全等随说明：放转半角的特征是^聆日等2排殳所成角含一个二分之一角，通过潮专将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。半角：有一个角含1Z2角及相令移戋段自旋转：有一对相令陛线段，需要构造旋H全等共解专：有两对相令降线段，直接寻找诲专全等（共顶点）中点旋转：倍长中点相关当舞殳转换成旋聿姓等问题（:专题七）2.自旋转题构造方法:遇6。度旋602.自旋转题构造方法:遇6。度旋60度，造等边三角形遇90度旋随度％造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋^全等遇中点旋180度"造中心对称73、共旋转强3、共旋转强说明：旋转中所成的哈等三角形、第三边所成的角是T.经常考察的事,通过名字模型可以证明。组才聆日等线殿,分组组成三角形证全等。说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形混用。当避I］复杂图形找衣组才聆日等线殿,分组组成三角形证全等。说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形混用。当避I］复杂图形找衣11旗转全等时，失找两个正多边形或者等腰二角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两（接上--•一共旋转眦）曙变形证日月另外两个顶点与中点所成图形为等月要直角三角形4、中点旋转;说明::中点模型用长中抬谓中点向造中也端<ah访两》中证日月另外两个顶点与中点所成图形为等月要直角三角形4、中点旋转;说明::中点模型用长中抬谓中点向造中也端<ah访两》中Q境两个正方形、两个等月蜻角三角形或者一个正方琅一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点、证明方法是信长所要证等腰直角三角形的一直角边,:转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形；（或者正方形〕公旋转顶点，.通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证&分层练习:（A层）1,把含时角的「今板ABC,绕点E逆时针旋转90.到二角板DBE位置〔如图所示），则sliiZ/LDE=i2.点口是等边2.点口是等边△ABC内一点，£PA-L3,PB=5,PC-12；3.如图所示，把正方形ABCD绕点丸按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与EC交干点H.11）线段HC/线段HB相等吗？证明你的猜想.（2）若旋转角为30,AB="，求雌HG的长.（B层）L如图，若把^ABC绕