第三讲多属性决策分析

第三讲多属性决策分析

第一页，共五十八页。多属性多指标综合评价特点指标间的不可公度性，指标之间没有统一量纲，难以用同一标准进行评价；指标之间可能存在一定的矛盾性，某一方案提高了这个指标，却可能损害另一指标。上述问题即为多属性决策方法研究的问题。第二页，共五十八页。基本概念由多个相互联系、相互依存的评价指标，按照一定层次结构组合而成，具有特定评价功能的有机整体，称为多属性决策的指标体系。第三页，共五十八页。准备工作和方法决策指标的标准化决策指标权重的确定加权和法加权积法Topsis法第四页，共五十八页。第一节多属性决策的准备工作

多属性决策的准备工作包括：决策问题的描述、相关信息的采集（即形成决策矩阵）、决策数据的预处理和方案的初选（或称为筛选）。一、决策矩阵经过对决策问题的描述（包括设立多属性指标体系）、各指标的数据采集，形成可以规范化分析的多属性决策矩阵。(困难，列方程和解方程的关系，理论和实践之间的关系)

设有n个决策指标fi（1≤j≤n），m个备选方案ai1≤i≤m），m个方案n个指标构成的矩阵

X=(xij)m×n

称为决策矩阵。决策矩阵是规范性分析的基础。决策指标分两类：效益型（正向）指标，数值越大越优；成本型指标（逆向指标），数值越小越优。第五页，共五十八页。决策矩阵(属性矩阵、属性值表)第六页，共五十八页。例:学校扩建第七页，共五十八页。例:学校扩建第八页，共五十八页。研究生院试评估的部分原始数据第九页，共五十八页。指标Xj替代方案Ai期望利润(万元)产品成品率（%）市场占有率（%）（万元）投资费用产品外观自行设计（A1）6509530110美观国外引进（A2）7309735180比较美观改建（A3）520922550美观投资决策第十页，共五十八页。数据预处理

（1）属性值有多种类型。有些指标的属性值越大越好，如科研成果数、科研经费等是效益型；有些指标的值越小越好，称作成本型。另有一些指标的属性值既非效益型又非成本型。

例如研究生院的生师比，一个指导教师指导4至6名研究生既可保证教师满工作量，也能使导师有充分的科研时间和对研究生的指导时间，生师比值过高，学生的培养质量难以保证；比值过低；教师的工作量不饱满。第十一页，共五十八页。（2）非量纲化多目标评估的困难之一是指标间不可公度，即在属性值表中的每一列数具有不同的单位(量纲)。即使对同一属性，采用不同的计量单位，表中的数值也就不同。在用各种多目标评估方法进行评价时，需要排除量纲的选用对评估结果的影响，这就是非量纲化，亦即设法消去(而不是简单删去)量纲，仅用数值的大小来反映属性值的优劣。第十二页，共五十八页。（3）归一化原属性值表中不同指标的属性值的数值大小差别很大，如总经费即使以万元为单位，其数量级往往在千、万间，而生均在学期间发表的论文、专著的数量、生均获奖成果的数量级在个位或小数之间。为了直观，更为了便于采用各种多目标评估方法进行比较，需要把属性值表中的数值归一化，即把表中数均变换到［0，1］区间上。第十三页，共五十八页。二、决策指标的标准化指标体系中各指标均有不同的量纲，有定量和定性，指标之间无法进行比较。将不同量纲的指标，通过适当的变化，化为无量纲的标准化指标，称为决策指标的标准化，又叫数据预处理。有三个作用：1）变为正向指标2）非量纲化，消除量纲影响，仅用数值表示优劣3）归一化，把数值均转变为[0,1]区间上，消除指标值标度差别过大的影响。下面介绍几个常用的预处理方法。在决策中可以根据情况选择一种或几种对指标值进行处理。指标的标准化可以部分解决目标属性的不可公度性。第十四页，共五十八页。1、向量归一化第十五页，共五十八页。2、线性比例变化法第十六页，共五十八页。3、极差变换法第十七页，共五十八页。（3）最优值为给定区间时的变换第十八页，共五十八页。第十九页，共五十八页。4、标准样本变换法5、定性指标的量化处理如一些可靠性、满意度等指标往往具有模糊性，可以将指标依问题性质划分为若干级别，赋以适当的分值。一般可以分为5级、7级、9级等。第二十页，共五十八页。6、原始数据的统计处理第二十一页，共五十八页。三、决策指标权的确定多属性决策问题的特点，也是求解的难点在于目标间的矛盾性和各目标的属性的不可公度。不可公度性通过决策矩阵的标准化处理得到部分解决；解决目标间的矛盾性靠的是引入权(weight)这一概念。权，又叫权重，是目标重要性的度量。权的概念包含并反映下列几重因素：①决策人对目标的重视程度；②各目标属性的差异程度；③各目标属性的可靠程度确定权重是非常困难的，因为主观的因素，权重很难准确。第二十二页，共五十八页。确定权的方法有两大类：主观赋权法：根据主观经验和判断，用某种方法测定属性指标的权重；客观赋权法：根据决策矩阵提供的评价指标的客观信息，用某种方法测定属性指标的权重。两类方法各有利弊，实际应用时可以结合使用。下面介绍几种常用的确定权的方法第二十三页，共五十八页。1、相对比较法相对比较法是一种主观赋权法。将所有指标分别按行和列，构成一个正方形的表，根据三级比例标度，指标两两比较进行评分，并记入表中相应位置，再将评分按行求和，最后进行归一化处理，得到各指标的权重。第二十四页，共五十八页。例43使用本方法时要注意：1、指标之间要有可比性；2、应满足比较的传递性（一致性）。2、连环比较法（古林法）连环比较法也是一种主观赋权法。以任意顺序排列指标，按顺序从前到后，相邻两指标比较其相对重要性，依次赋以比率值，并赋以最后一个指标的得分值为1；从后往前，按比率依次求出各指标的修正评分值；最后进行归一化处理，得到各指标的权重。第二十五页，共五十八页。例题（P44）用连环比率法计算例2－1中决策指标的权重。本方法容易满足传递性，但也容易产生误差的传递。第二十六页，共五十八页。第二十七页，共五十八页。3、特征向量法应用前两种方法时，如果目标属性比较多，一旦主观赋值一致性不好时也无法进行评估。为了能够对一致性可以进行评价，Saaty引入了一种使用正数的成对比较矩阵的特征向量原理测量权的方法，叫做特征向量法。这种方法在层次分析法(AHP)采用，也可以用在其他多属性决策。下面我们讲解一下原理。3.1权重的求解思路第二十八页，共五十八页。假设各属性真实的权重是第二十九页，共五十八页。因此权重向量的求解方法：①用幂法原理求矩阵A的最大特征值及其对应的特征向量。第三十页，共五十八页。②算术平均法。对于一个一致的判断矩阵，它每一列归一化后，就是相应的权重向量；当判断矩阵不太一致时，每一列归一化后就是近似的权重向量，可以按行相加后再归一化（相当算术平均值）。1）将判断矩阵按列归一化（即使列和为1）：2）按行求和得一向量：3）再向量归一化： 所得即为A的特征向量的近似值，也就是权重。第三十一页，共五十八页。4）求A的最大特征值第三十二页，共五十八页。③几何平均法。对于一个一致的判断矩阵，按行求几何平均值得到的向量是和权重向量成固定比例的，归一化后就是近似的权重向量。1）将矩阵A按行求几何平均值：2）对向量归一化，令所得即为A的特征向量的近似值，也就是权重。3）按求最大特征值。第三十三页，共五十八页。3.2一致性检验第三十四页，共五十八页。第三十五页，共五十八页。3.3判断矩阵的构造1－9标度法则得到判断矩阵后的第一步是要进行一致性检验，只有通过检验，计算的权向量才有价值。详细内容参考教材p166－p180案例第三十六页，共五十八页。4、最小加权法

又称最小二乘法，是Chu等人提出的，它涉及线性代数方程组解集，而且从概念上比Saaty的特征向量法更容易理解。第三十七页，共五十八页。注意：本方法同样要求判断矩阵的一致性。第三十八页，共五十八页。5、信息熵法

信息熵法是一个客观的赋权法，根据决策矩阵所具有的信息量来赋权。熵是信息论中测定一个系统不确定性的量。信息量越大，不确定性就越少，熵就越少。反之，信息量越小，不确定性越大，熵也越大。如果某一个属性（准则）的值对所有的方案都差不多，那么这个属性对于决策来讲作用就不大，即便是这个属性很重要。如何测定这种效应呢？在信息学中，熵是不确定性的一个指标，用概率分布来表示，它认为一个广泛的分布比具有明显峰值的分布表示更不确定。Shannon给出的表达方法如下：其中k是正的常数。当所有的Pi都相等时，即Pi=1/n，熵值最大。指标值的差异越小，对方案的评价作用越低，权重应该减小。第三十九页，共五十八页。第四十页，共五十八页。第四十一页，共五十八页。第四十二页，共五十八页。X1X2X3X4X5X6EjDjωj0.94460.00540.06490.98290.01710.20550.99890.00110.01330.99310.00690.08290.97030.02970.35700.97700.02300.2764分别计算每个属性的熵、差异系数和标准化权重：可见，X5的权重最大，X3的权重最小。第四十三页，共五十八页。第四十四页，共五十八页。第二节多属性决策方法1、标准水平法由于多属性决策时，属性间具有不可替代性，决策人对部分或全部属性可能设定标准水平要求。有两种方式：1）联合法决策者设立了必须接受的最小属性值（标准等级），任何不满足最小属性值的方案都被否定，这种方法叫联合法。关键点在于标准等级（也叫阈值）的设定，要适当。如：考研单科设限、招收新员工、评定职称第四十五页，共五十八页。2）分离法分离法评价方案是建立在最大的一个属性值上，达到标准的方案就接受。如：高考特招生、选拔足球运动员（在防守、速度特长）特点：属性间不可补偿在实践中被大量应用可以保证任何在某方面特别差的个体或方案不被选入只需分出接受或不接受特点：在实践中被大量应用可以保证所有个体或方案在某方面有特长第四十六页，共五十八页。2、字典法本方法类似查字典。对于一些决策情形下，单个的属性在决策中的作用很显著，甚至在最重要的属性上就可以进行决策。在最重要属性上，如果某个方案对于其他方案有较高的属性值，该方案就被选择，决策结束；如果在最重要的属性上不能区分优劣，就以第二重要的属性来进行比较；这个过程可以进行进行，直到一个方案被选中或所有的属性都被考虑过。如：高校招生，按高考成绩排序，同样成绩者，优秀三好生优先。特点：本方法需要对属性的重要性排序有可能漏掉更好的方案，如对高考的批评。可能的改进是不会因为属性值略高一点就被认为更好。第四十七页，共五十八页。3、简单线性加权法是一种最常用的多属性决策方法。方法是先确定各决策指标的权重，再对决策矩阵进行标准化处理，求出各方案的线性加权均值，以次作为各方案排序的判据。注意：标准化时，要把所有指标属性正向化。步骤：1）用适当的方法确定各属性的权重，设权重向量为第四十八页，共五十八页。3）求出各方案线性加权指标值4）选择线性加权指标值最大者为最满意方案第四十九页，共五十八页。注意：1）简单线性加权法潜在的假设是各属性在偏好上独立，即单个属性值对于整体评价的影响与其他属性值相互独立。如篮球运动员身高和体重不是相互独立的。2）权重设定的不可靠。如一个权重是0.1，另一个是0.4，多达4倍的关系，是否真正合理？3）假设多个属性的效用可以分解成单个属性的效用。如篮球运动员身高和体重需要相匹配。4）但是理论推导、仿真计算和经验判断都表明，简单加权法与复杂的非线性形式产生的结果很相似，而前者有简单多的理解和使用特点，因此得到普遍的应用。第五十页，共五十八页。4、理想解法（TOPSIS法）由Yoon和Hwang开发，又称逼近理想解排序法（TechniqueforOrderPreferencebySimilaritytoIdealSolution）这种方法通过构造多属性问题的理想解和负理想解，以方案靠近理想解和远离负理想解两个基准作为方案排序的准则，来选择最满意方案。理想解：就是设想各指标属性都达到最满意值的解；负理想解：就是设想各指标属性都达到最不满意值的解。理想解和负理想解一般都是虚拟的方案第五十一页，共五十八页。可以将m各方案n个属性的多属性决策问题视作在n维空间中的m个点构成的几何系统中进行处理，此时所有的方案都看成该系统的解。为了直观起见，用两个属性的决策空间：图中