江苏省南通市海安高级中学高三下学期4月阶段性检测（二模）数学试题

2022届江苏省南通市海安高级中学高三下学期4月阶段性检测（二模）数学试题一、单选题1．设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集、并集的定义计算可得；【详解】解：由，即，解得，所以，因为，，所以，所以；故选：B2．已知i为虚数单位，复数z满足，则z的虚部为（

）A．2 B．1 C．－2 D．－1【答案】A【分析】令，则，利用可得答案.【详解】令，则，，，∴，，∴，故选：A．3．已知函数，则图中的函数图象所对应的函数解析式为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将一次代入选项中，根据周期性以及诱导公式可判断每个选项的正误，进而选出答案.【详解】因为，∴排除BC；对于A，，不过，排除；对于D，，满足条件，正确，故选：D．4．设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为100米，50米．现欲在M，N之间架设高压电网，须计算M，N之间的距离．勘测人员在海平面上选取一点P，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为30°，45°，并从P点观测到M，N点的视角为45°，则M，N之间的距离为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】根据题意可得，，然后利用余弦定理即得.【详解】如图，由题可知，∴，，又，∴，∴（米）．故选：A.5．已知抛物线的焦点为F，准线为l．点P在C上，直线PF交x轴于点Q，且，则点P到准线l的距离为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据抛物线的定义即可求解.【详解】设，，∵，,∴，∴，∴P到l的距离，故选：C．6．已知，则（

）A．256 B．255 C．512 D．511【答案】D【分析】令，求得，再分别令和，两式相加，从而可得出答案.【详解】解：令，①，令，②，①+②得：，∴，令，，∴.故选：D．7．已知A（0，0），B（5，0），C（1，3），连接ABC的各边中点得到A1B1C1，连接A1B1C1的各边中点得到A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：ABC，A1B1C1，A2B2C2，…，则这一系列三角形的面积之和无限趋近于常数（

）A． B．5 C．10 D．15【答案】C【分析】由成等比数列，其首项为，公比为求解.【详解】解：因为，所以，所以，….成等比数列，其首项为，公比为，所以这一系列三角形的面积之和为，无限趋近于10，故选：C．8．如图，长方形中，，，点在线段（端点除外）上，现将沿折起为．设，二面角的大小为，若，则四棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将棱锥的底面边长及高用含有的三角函数来表示，根据体积公式写出棱锥体积，整理化简后利用三角函数求最值.【详解】设过与垂直的线段长为，则，，，，则四棱锥的高，则，，∴四棱锥体积的最大值为.故选：A.【点睛】求解立体几何体积的最值时，一般需要将体积写为函数关系式或者是三角函数关系式，进而利用函数求最值或三角函数求最值的方法求解其最值.二、多选题9．关于平面向量，下列说去不正确的是（

）A．若，则 B．C．若，则 D．【答案】ACD【分析】令时可判断A；利用，可判断B；由可知与的模长相等，但不一定为0可判断C；与共线的向量，与共线，可判断D．【详解】时，，与可任取，故A错；，故B对；可知与的模长相等，不一定为0，∴，故C错；与共线的向量，与共线的向量．∴，D错．故选：ACD.10．已知直线l过点，点，到l的距离相等，则l的方程可能是(

)A． B．C． D．【答案】BC【分析】分直线l斜率存在和不存在进行讨论﹒当l斜率存在时，设其方程为，根据点到直线的距离公式列出关于k的方程，解方程即可求直线l的方程．【详解】当直线的斜率不存在时，直线l的方程为，此时点到直线的距离为5，点到直线的距离为1，此时不成立；当直线l的斜率存在时，设直线的方程为，即，∵点到直线的距离相等，，解得，或，当时，直线的方程为，整理得，当时，直线的方程为，整理得综上，直线的方程可能为或故选：BC．11．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为：“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为2，众数为3；

乙地：平均数为2，方差为3；丙地：平均数为3，极差为5；

丁地：平均数为5，众数为6．则一定没有发生大规模群体感染的是（

）A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地【答案】BC【分析】A.举例判断；B.假设出现一次大于7，设，利用方差运算判断；C.假设出现了8人，则一定有出现3人情况判断；D.举例判断.【详解】对于甲地，如0，0，1，1，1，3，3，3，3，8，故错误；对于乙地，若出现一次大于7，设，则，，矛盾，故正确；对于丙地，若出现了8人，则一定有出现3人情况，这样平均数就不可能是3，∴丙地不可能有超过7人的情况，故正确．对于丁地，无法判断是否有超过7人的情况，如2，2，3，5，6，6，6，6，6，8，平均数为5，众数为6，故错误；故选：BC．12．已知，则（

）A．

B．

C．

D．

【答案】ABC【分析】将变为结合指数函数的性质，判断A;构造函数，求导，利用其单调性结合图象判断x,y的范围，利用余弦函数单调性，判断B;利用正弦函数的单调性判断C，结合余弦函数的单调性，判断D.【详解】由题意，，得，，，∴，∴，A对；，令，即有，令，在上递减，在上递增，因为，∴，作出函数以及大致图象如图：则，∴，结合图象则，∴，∴，B对；结合以上分析以及图象可得，∴，且，∴，C对；由C的分析可知，，在区间上，函数不是单调函数，即不成立，即不成立，故D错误；故选：ABC．【点睛】本题综合考查了有条件等式下三角函数值比较大小问题，设计指数函数性质，导数的应用以及三角函数的性质等，难度较大，解答时要注意构造函数，数形结合，综合分析，进行解答.三、填空题13．已知，向量，，且，则θ＝______________．【答案】【分析】由向量共线的坐标运算可得答案.【详解】因为，所以，所以，因为，，所以，因为，所以，．故答案为：.14．某社区将招募的5名志愿者分成两组，要求每组至少两人，分别担任白天和夜间的网格员，则不同的分配方法种数为_____________．【答案】20【分析】利用组合分组分配求解.【详解】解：由两人担任白天网格员有种，由三人担任白天网格员有种，所以共有种，故答案为：2015．如图，F1，F2是平面上两点，|F1F2|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径依次是1，2，3，…，点A，B，C分别是其中两圆的公共点．请写出一个圆锥曲线的离心率的值为_____________，使得此圆锥曲线可以同时满足：①以F1，F2为焦点；②恰经过A，B，C中的两点．【答案】5（或）（答案不唯一）【分析】根据已知条件结合圆锥曲线的定义，分过A，C两点和过B，C两点两种情况求解即可【详解】因为，若过A，C两点，则由题意得，此时离心率．若过B，C两点，则由题意得，此时离心率．故答案为：5（或）（答案不唯一）四、双空题16．“以直代曲”是微积分中最基本、最朴素的思想方法，如在切点附近，可用曲线在该点处的切线近似代替曲线．曲线在点处的切线方程为_____________，利用上述“切线近以代替曲线”的思想方法计算所得结果为_____________（结果用分数表示）．【答案】

【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程；根据切线方程可得，代入求解即可.【详解】由得：，在点处的切线斜率，则切线方程为：；由题意知：，，即，，即.故答案为：；.五、解答题17．在平面凸四边形ABCD中，已知，求sinA及AD．【答案】，【分析】在中，由余弦定理求得BD,从而求得，可得，再解，求得，即可求得答案.【详解】连接，在中，由余弦定理，得，且,又有，故,在中，由正弦定理，得,因为，所以，所以,因为，所以,故，在中，由正弦定理，得．18．如图所示的几何体中，平面ABC，平面ABC，，，点M在棱AB上，且．(1)求证：平面平面ABDE；(2)求直线CD与平面MCE所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明出，，可以证明出平面．利用面面垂直的判定定理可以证明出平面平面．（2）以A为坐标原点，平面内过A且与垂直的直线为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系．用向量法求直线与平面所成角的正弦值．【详解】(1)因为平面，所以．又，，，点M在棱上，且．故，，．所以，所以．因为平面，所以，又平面，所以平面．又平面，所以平面平面．(2)如图，以A为坐标原点，平面内过A且与垂直的直线为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系．则．所以．设平面的一个法向量为，则,即令，则，所以．所以．所以直线与平面所成角的正弦值为．19．已知数列前n项积为，且．(1)求证：数列为等差数列；(2)设，求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由已知得，，两式相除整理得，从而可证得结论，（2）由（1）可得，再利用累乘法求，从而，然后利用放缩法可证得结论【详解】(1)因为，所以，所以，两式相除，得，整理为，再整理得，．所以数列为以2为首项，公差为1的等差数列．(2)因为，所以，由（1）知，，故，所以．所以．又因为，所以．20．我国某芯片企业使用新技术对一款芯片进行试产，设试产该款芯片的次品率为p（0＜p＜1），且各个芯片的生产互不影响．(1)试产该款芯片共有两道工序，且互不影响，其次品率依次为，．①求p；②现对该款试产的芯片进行自动智能检测，自动智能检测为次品（注：合格品不会被误检成次品）的芯片会被自动淘汰，然后再进行人工抽检已知自动智能检测显示该款芯片的合格率为96%，求人工抽检时，抽检的一个芯片是合格品的概率．(2)视p为概率，记从试产的芯片中随机抽取n个恰含m（n＞m）个次品的概率为，求证：在时取得最大值．【答案】(1)①，②(2)证明见解析【分析】（1）①由题意可知两道生产工序互不影响，利用对立事件可求；②依题意可利用条件概率公式求抽检的一个芯片是合格品的概率；（2）依题意可知，求导后利用导数研究的单调性，即可证明结论成立.【详解】(1)①因为两道生产工序互不影响，法一：所以．法二：所以．答：该款芯片的次品率为；②记该款芯片自动智能检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，且．则人工抽检时，抽检的一个芯片恰是合格品的概率：．答：人工抽检时，抽检的一个芯片恰是合格品的概率为；(2)因为各个芯片的生产互不影响，所以，所．令，得，所以当时，为单调增函数；当时，为单调减函数，所以，当时，取得最大值．21．已知椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，焦距为2，点P是椭圆C上一动点，的内切圆的面积的最大值为．(1)求椭圆C的方程；(2)延长与椭圆C分别交于点A，B，问：是否为定值?并说明理由．【答案】(1)(2)是，理由见解析【分析】（1）由题意表示出内切圆的面积，根据其最大值列出等式，求得，即得答案；（2）设直线方程，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，结合椭圆的方程，得到的表达式并化简，同理求得的表达式，化简即可求得答案.【详解】(1)设的内切圆的半径为r，点P的坐标为．因为焦距为2，所以，故．的面积，故．对于给定的椭圆，要使的内切圆的面积最大，即r最大，即最大,由于的内切圆的面积的最大值为,故此时,所以时，有，①又．②由①②，得，所以椭圆C的方程．(2)由题意知：,设，直线的方程为，与（1）中所求椭圆联立方程组并消去x得，，，所以，所以．因为点在直线上，所以，又点在椭圆上，所以，所以．同理，可得，所以（定值）．【点睛】本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系中的定值问题，解答时要注意三角形内切圆面积的求解，解答的关键是解题的思路要清晰明确，计算要准确.22．已知函数．(1)判断函数在上的单调性，并说明理由；(2)对任意的，，求实数的取值范围．【答案】(1)单调递增，理由见解析(2)【分析】（1）首先求出函数的导函数，再令，利用导数说明函数的单调性，就即可得到，从而得到，即可得解；（2）记，求出函数的导函数，由（1）可得在定义域上单调递增，再分和两种情况讨论，结合零点存在性定理即可判断；【详解】(1)解：函数在上是单调增函数，理由如下：因为，所以．记，则，令，得．当时，为单调增函数；当时，为单调减涵数，所以，所以，即．又，所以，所