七年级数学下册期中复习备考指南

④≤开口方向向左实心圆点例1：已知关于x的不等式x－a＜1的解集如图所示，试确定a的值．分析：不等式x－a＜1的解集可表示为x<a+1，由图可知解集为x<2,所以a+1=2,解得a=1例2：若不等式3x-6<0与ax<4的解集相同，则a的值为2分析：3x-6<0的解集是x<2，ax<4的解集可表示为x<,所以=2，a=2例3：不等式eq\f(1,3)(x－m)＞3－m的解集为x＞1，则m的值为__．分析：解不等式eq\f(1,3)(x－m)＞3－mx-m>9-3mx>9-2m因为不等式eq\f(1,3)(x－m)＞3－m的解集为x＞1，所以9-2m=1,m=4一元一次不等式的解法例1：2x－1<4x＋13；解：2x－1<4x＋13， 2x－4x<13＋1， －2x<14， x>－7. 它在数轴上的表示如图13.2.4.例2：2（5x＋3）≤x－3（1－2x）. 解：10x＋6≤x－3＋6x， 3x≤－9， x≤－3. 它在数轴上的表示如图13.2.5例3当x取何值时，代数式与的值的差大于1？解： 根据题意，得－>1， 2（x＋4）－3（3x－1）>6， 2x＋8－9x＋3>6， －7x＋11>6， －7x>－5， x<所以，当x取小于的任何数时，代数式与的值的差大于1。归纳：解一元一次不等式的步骤和解一元一次方程类似，都包含去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1,这几个基本步骤，需要注意的是不等式的性质3改变不等号的方向。一元一次不等式组及其解法1、一元一次不等式组：把两个一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组，也可以是三个一元一次不等式组成的不等式组。如2、不等式组的解集：几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。 解一元一次不等式组，通常可以先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分。利用数轴可以直观地帮助我们求出不等式组的解集。例1解不等式组：①②解解不等式①，得 x>2解不等式②，得 x>4在数轴上表示不等式①、②的解集，所以不等式组的解集是x>4①②例2解不等式组： 解解不等式①，得 x<－1 解不等式②，得 x≥2 在数轴上表示不等式①、②的解集，如图13.3.3所以这个不等式组无解。归纳：不等式组解集确定方法，同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小没得找不等式组规律同大取大同小取小大小小大中间找大大小小没得找解集X>2X<-32<x<3无解常考类型评析1.若a＞b，则下列不等式变形错误的是(D)A．a＋1＞b＋1B.eq\f(a,2)＞eq\f(b,2)C．3a－4＞3b－4D．1－a＞1－b2.关于x的不等式3x－2a≤－2的解集如图所示，则a的值是__1__．分析：不等式3x－2a≤－2的解集是x≤所以=0，a=13.如果关于x的不等式2(x－1)＜a＋5与2x＜4的解集相同，则a的值为-3．分析：2(x－1)＜a＋5的解集是x<,2x<4的解集是x<2,所以=2，a=-3如果关于x的不等式(a＋1)x＜a＋1的解集是x＞1，那么a的取值范围是分析：不等式(a＋1)x＜a＋1两边同时除以a+1,不等号方向改变，说明a+1<0所以a<-15.关于x的不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞a，,x＞1))的解集为x＞1，则a的取值范围是(D)A．a＞1B．a＜1C．a≥1D．a≤1分析：根据同大取大，故a<1,但a=1时也成立，所以a≤16.关于x的不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－1＞4（x－1），,x＜m))的解集为x＜3，那么m的取值范围为(D)A．m＝3B．m＞3C．m＜3D．m≥3分析：3x-1>4(x-1)的解集是x<3,根据同小取小，可知m>3,但m=3也成立，所以m≥37、已知关于x的不等式组5-2x≥-1无解，则a的取值范围是a≥3x-a>0分析：5-2x≥-1的解集是x≤3，x-a>0的解集是x>a,根据大大小小没得找可知a>3,但是a=3时也成立，所以a≥3若不等式组的解集是-1<x<1,那么(a+1)(b+1)的值等于-2分析：2x-a<1的解集是x<,x-2b>3的解集是x>2b+3,因为不等式组的解集是-1<x<1，所以2b+3=-1,=1,故a=1,b=-29、不等式3x-a<2的正整数解只有1,2两个，则a的取值范围是4<a≤7分析：3x-a<2的解集是X<，因为它的正整数解只有1,2两个，结合数轴可知在2和3之间，所以解得4<a≤7关于x的不等式组有4个整数解，则a的取值范围是分析：解这个不等式组得根据有4个整数解可知整数解应该是9,10,11,12，结合数轴可知2-4a在12和13之间，所以解得≤a<11、已知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝4k①，,2x＋y＝2k＋1②))中的x，y满足x＋y＜1，求k的取值范围．解：由①＋②可得x＋y＝eq\f(6k＋1,3)，∵x＋y＜1，∴eq\f(6k＋1,3)＜1，故k＜eq\f(1,3)12、已知关于x的方程3k－5x＝－9的解是非负数，求k的取值范围解：3k－5x＝－93k+9=5xX=因为方程3k－5x＝－9的解是非负数所以≥0，解得k≥-313、已知方程组x+y=m+2的解x,y都是正数,求m的取值范围

4x+5y=6m+3

解：①×4，得4x+4y=4m+8③②－③,得y=2m-5将y=2m-5代入①，得x+2m-5=m+2,解得x=7-m因为x,y都是正数，所以解得2.5<m<714.若关于x的方程5x－2a＝x－4的解在2和10之间(不包括2和10)，则a应满足条件_______.分析：方程5x－2a＝x－4的解是x=,所以根据题意得15、已知方程3(x－2a)＋2＝x－a＋1的解适合不等式2(x－5)＞8a，求a的取值范围．分析：方程3(x－2a)＋2＝x－a＋1的解是x=,将x=代入2(x－5)＞8a解得a<16.已知不等式5（x-2）+8<6(x-1)+7的最小整数解是方程2x-ax=3的解，求a的值。分析：5（x-2）+8<6(x-1)+7的解集是x>-3,最小整数解是-2，因此将x=-2代入方程2x-ax=3中，得a=3.517、若方程组的解为x，y,且2<k<4，则x-y的取值范围是（B）A、0<x-y<B、0<x-y<1C、-3<x-y<-1D、-1<x-y<1分析：①-②，得2x-2y=k-2,即x-y=因为2<k<4，所以2-2<k-2<4-2,即0<k-2<2,两边同时除以2，得0<<1,即0<x-y<118.先阅读，再解题.解不等式：＞0.解：根据两数相除，同号得正，异号得负，得①或②解不等式组①，得x＞3，解不等式组②，得x＜－所以原不等式的解集为x＞3或x＜－.参照以上解题过程所反映的解题思想方法，试解不等式：＜0.解：根据两数相除，同号得正，异号得负，得①或②解不等式组①，得不等式组无解，解不等式组②，得-<x<1.5所以原不等式的解集为-<x<1.5变式：解不等式（3x-1）(2x+5)>0解：根据两数相乘，同号得正，异号得负，得①或②解不等式组①，得x＞，解不等式组②，得x＜－所以原不等式的解集为x＞或x＜－.（7）应用题评析例1：某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度是1.2厘米/秒，人跑步的速度是5米/秒。问导火线必须超过多长，才能保证操作人员的安全？分析：导火线燃烧时间要比人跑到400米外安全区域所用时间多，因此设导火线必须超过x厘米，列不等式为>400÷5解得x>96例2：一次智力测验，有20道选择题。评分标准为：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分。小明有2道题未答。问至少答对几道题，总分不低于60分？分析：若答对x道题，可得5x分，答错的题有（20-2-x）,因此可列不等式为5x-2(20-2-x)≥60解得x≥由题意可得x=14例3：已知购买1个足球和1个篮球共需130元，购买2个足球和1个篮球共需180元．(1)求每个足球和每个篮球的售价；(2)如果某校计划购买这两种球共54个，总费用不超过4000元，问最多可买多少个篮球？解：(1)设每个篮球x元，每个足球y元，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝130，,x＋2y＝180，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝80，,y＝50，))答：每个篮球80元，每个足球50元(2)设买m个篮球，则购买(54－m)个足球，由题意得80m＋50(54－m)≤4000，解得m≤10，∵m为整数，∴m最大取10，答：最多可以买10个篮球例4：某商场用36万元购进A，B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：(1)该商场购进A，B两种商品各多少件？(2)商场第二次以原进价购进A，B两种商品，购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元？AB进价(元/件)12001000售价(元/件)13801200解：(1)设商场购进A，B两种商品分别为x件与y件，依题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1200x＋1000y＝360000，,（1380－1200）x＋（1200－1000）y＝60000，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝200，,y＝120.))答：商场购进A，B两种商品分别为200件与120件(2)设B种商品最低售价为每件z元，则由题意可知(1380－1200)×400＋(z－1000)×120≥81600，解得z≥1080，答：B种商品最低售价为每件1080元例5：为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器，一商场抓住商机，从厂家购进了A，B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．(1)求A，B两种型号家用净水器各购进了多少台；(2)为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元．(注：毛利润＝售价－进价)解：(1)设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝160，,150x＋350y＝36000，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝100，,y＝60，))答：A种型号家用净水器购进了100台，B种型号家用净水器购进了60台(2)设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，则每台B型号家用净水器的毛利润是2a元，由题意得100a＋60×2a≥11000，解得a≥50，150＋50＝200(元)，答：每台A型号家用净水器的售价至少是200元例6：某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A，B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：(进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本)(1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价；(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？(3)在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．销售时段

销售数量

A种型号B种型号销售收入

第一周3台5台1800元第二周4台10台3100元解：(1)设A，B两种型号的电风扇的销售单价分别为x元、y元，则由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋5y＝1800，,4x＋10y＝3100，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝250，,y＝210，))答：A，B两种型号的电风扇的销售单价分别为250元、210元(2)设A种型号的电风扇最多能采购z台，则由题意可得200z＋170(30－z)≤5400，解得z≤10，答：A种型号的电风扇最多能采购10台(3)由题意可得(250－200)z＋(210－170)(30－z)＝1400，解得z＝20，∵由(2)中知，z≤10，∴在(2)的条件下不能实现利润为1400元的目标例7：为了更好治理南湖水质，保护环境，市环保局决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格及月处理污水量如下表：经调查，购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台B型设备比购买3台A型设备少16万元A型B型价格（万元/台）ab处理污水量（吨/月）240200(1)求a，b的值；(2)经预算：市环保局购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为有哪几种购买方案？(3)在(2)的条件下，若该月要求处理南湖的污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为市环保局设计一种最省钱的购买方案．解：(1)由题意可列方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b＋2，,3a－2b＝16，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝12,b＝10))(2)设购买A种设备x台，则由题意可得12x＋10(10－x)≤105，解得x≤2eq\f(1,2)，故有三种购买方案：方案一，购买A型设备0台，B型设备10台；方案二，购买A型设备1台，B型设备9台；方案三，购买A型设备2台，B型设备8台(3)选择方案一所需费用12×0＋10×10＝100(万元)，可处理污水0×240＋10×200＝2000(吨)；选择方案二所需费用12×1＋1