第十八章平行四边形微专题-动点问题训练2（人教版数学八年级下册）

人教版数学八年级下册第十八章平行四边形微专题——动点问题训练2如图，▵ABC中，点P是AC边上一个动点，过P作直线EF/​/BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角∠ACD平分线于点F．

(1)请说明：PE=PF；

(2)当点P在AC边上运动到何处时，四边形AECF是矩形？为什么？2.如图，已知在▱ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．(1)如图 ①，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD=CP，求∠B的度数;(2)如图 ②，在(1)的条件下，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，连结AF，若AB=4cm，求△APF的面积．(3)如图 ③，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动(同时Q点也停止运动)，若AD=6cm，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点为顶点的四边形是平行四边形．3.如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN // BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．

(1)求证：EO=FO；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；(3)若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论。4.如图所示，在四边形ABCD中，AD/​/BC，BC=18cm，CD=15cm，AD=10cm，AB=12cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动.(当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动)

(1)几秒后，四边形ABQP为平行四边形？并求出此时四边形ABQP的周长．(2)几秒后，四边形PDCQ为平行四边形？并求出此时四边形PDCQ的周长．5.如图，正方形ABCD的边长为4，E为边BC上的一点，BE=1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，求PF+PE的最小值．6.已知：如图，在菱形ABCD中，AC=2，∠B=60°.点E为边BC上的一个动点(与点B、C不重合)，∠EAF=60°，AF与边CD相交于点F，联结EF交对角线AC于点G.设CE=x，EG=y．

(1)求证：△AEF是等边三角形；

(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

(3)点O是线段AC的中点，联结EO，当EG=EO时，求x的值．7.如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=3cm，AD=14cm，BC=10cm，动点P从D点出发，沿DA方向以2cm/秒的速度运动，运动时间为t秒．

(1)当t为何值时，以PDCB为顶点的四边形是平行四边形？

(2)当t为何值时，以P、C、D为顶点的三角形是直角三角形？8.如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以每秒3cm的速度向点B移动，点Q以每秒2cm测得速度向点D移动，当点P到达点B处时，两点均停止移动

(1)P，Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为10cm？

(2)是否存在某一时刻，使四边形PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P为AD上的一个动点(点P不与A，D重合)，过点P作PM⊥AC，PN⊥BD，垂足分别为M，N.若AB=6，BC=8，求PM+PN的值．10.已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，

(1)求证：△BGF≌△FHC；

(2)当E是AD的中点时，四边形EHFG是什么样的特殊四边形？请证明你的结论11.如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A、B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH。

(1)求证：GF=GC；(2)猜想线段BH与AE的数量关系，并证明。12.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=5 cm，BC=9 cm.M是CD的中点，P是BC边上的一个动点(点P与点B，C不重合)，连接PM并延长交AD的延长线于点Q．

(1)试说明△PCM≌△QDM；(2)当点P在点B，C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．13.如图，E、F分别是正方形ABCD的边AD、CD上的两个动点，且AE=DF，BE交AF于点H，若AB=2，求线段DH的最小值．14.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠B=∠ACB=45°.点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.解答下面的问题：

(1)当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图甲，CF、BD之间的关系为_________；(2)当点D在线段BC的延长线上时，如图乙，(1)中的结论是否仍然成立？为什么？15.如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点(P与B、C不重合)，连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC'，延长QC'交BA的延长线于点M．

(1)试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；(2)当AB=3，BP=2PC，求QM的长；(3)当BP=m，PC=n时，求AM的长．16.在正方形ABCD中，如图1，点E是AB边上的一个动点(点E与点A、B不重合)，连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．

(1)求证：△ABF≌△BCE．

(2)如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，若AB=2，求DG的长．

参考答案1.解：

(1)∵CE平分∠BCA，

∴∠1=∠2，

∵EF/​/BC，

∴∠E=∠1，

∴∠E=∠2，

∴EP=PC，

同理PF=PC，

∴EP=PF；

(2)结论：当点P在AC中点时，四边形AECF是矩形，

理由：

∵PA=PC，PE=PF，

∴四边形AECF是平行四边形，

又∵∠ECF=12∠BCD=90°，

∴平行四边形AECF2.解析(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD/​/BC，∠B=∠D，∴∠DPC=∠PCB，∵CP平分∠BCD，∴∠PCD=∠PCB，∴∠DPC=∠DCP，∴DP=DC，又∵CD=CP，∴PC=CD=PD，∴△PDC是等边三角形，∴∠B=∠D=60(2)如图，过点C作CH⊥AD于H．

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴CD=AB=4cm，由(1)知△PCD为等边三角形，所以DH=1由勾股定理得CH=C∴S∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB/​/CD，BC//AD，AB=CD，∴S∴S∴S∴S(3)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD/​/BC，∴PD//BC．要使以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形，则PD=BQ，设运动时间为t秒， ①当0<t⩽ 3时，PD=6−0.5t，BQ=6−2t，∴6−0.5t=6−2t，解得t=0，不合题意，舍去; ②当3<t⩽ 6时，PD=6−0.5t，BQ=2t−6，∴6−0.5t=2t−6，解得t=4.8; ③当6<t⩽ 9时，PD=6−0.5t，BQ=18−2t，∴6−0.5t=18−2t，解得t=8; ④当9<t⩽ 12时，PD=6−0.5t，BQ=2t−18，∴6−0.5t=2t−18，解得t=9.6．综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点为顶点的四边形是平行四边形．

3.(1)证明∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN/​/BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．(2)当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=1同理，∠ACF=1∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=1∴四边形AECF是矩形．(3)△ABC是直角三角形：∵四边形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵MN/​/BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．

4.解：(1)设x

s后，四边形ABQP为平行四边形，

由题意易得2x=18−3x，

解得x=3.6．即3.6 s后，四边形ABQP为平行四边形，

此时四边形ABQP的周长是3.6×2×2+12×2=38.4(cm)．(2)设y s后，四边形PDCQ为平行四边形．

由题意易得10−2y=3y，

解得y=2．

即2 s后，四边形PDCQ为平行四边形，

此时四边形PDCQ的周长是3×2×2+15×2=42(cm)．

5.解：作E关于直线AC的对称点E'，连接E'F，则E'F即为所求，

过F作FG⊥CD于G，

在Rt△E'FG中，

GE'=CD−BE−BF=4−1−2=1，GF=4，

所以E'F=FG26.(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=BC，

∵∠B=60°，

∴△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=60°，AC=AB，

∴∠BAE+∠EAC=60°，

∵AB/​/CD，

∴∠BAC=∠ACF=60°，

∵∠EAF=60°，即∠EAC+∠CAF=60°，

∴∠BAE=∠CAF，

在△AEB和△AFC中，

∠BAE=∠CAFAB=AC∠B=∠ACD，

∴△AEB≌△AFC(ASA)，

∴AE=AF，

∴△AEF为等边三角形；

(2)解：过点A作AH⊥BC于点H，

∵△AEF为等边三角形，

∴AE=EF=AH2+EH2，∠AEF=60°，

∵∠ABH=60°，

∴AH=32AB=3，BH=HC=1，

∴EH=|x−HC|=|x−1|，

∴EF=(3)2+(x−1)2=x2−2x+4，

∵∠AEF=∠B=60°，

∴∠CEG+∠AEB=∠AEB+∠BAE=120°，

∴∠CEG=∠BAE，

∵∠B=∠ACE=60°，

∴△BAE∽△CEG，

∴EGAE=ECAB，

∴EGx2−2x+4=x2，

∴y=EG=x2x2−2x+4(0<x<2)，

(3)解：∵AB=2，△ABC是等边三角形，

∴AC=2，

∴OA=OC=1，

∵EG=EO，

∴∠EOG=∠EGO7.解：(1)当PD=BC=10时，

∵四边形PDCB是平行四边形，

∴2t=10，

∴t=5．

∴当t=5时，四边形PDCB是平行四边形；

(2)过C作CE⊥AD于E，

∴CE=AB=3．

ED=AD−BC=14−10=4．

①当CP⊥AD，PD=4时，△PCD是直角三角形．

2t=4，解得t=2．

②当CP⊥CD，设PE=x，CD=CE2+ED2=5，CP2=PE2+CE2=PD2−CD2

即x2+32=(x+4)8.解：(1)过点P作PH⊥CD于点H，

∴HQ=16−5t，

∴PQ2=PH2+HQ2，

即102=(16−5t)2+62，

解得：t1=85,t2=245，

答：P，Q两点出发85或2459.解：连接OP．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90∘，OA=12AC，OD=12BD，AC=BD．

∴OA=OD，AC=AB2+BC2=610.解：(1)∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，

∴FH//BE，FH=12BE，FH=BG，

∴∠CFH=∠FBG，

∵BF=FC，

∴△BGF≌△FHC(SAS)，

(2)当E是AD的中点时，四边形EHFG是菱形．

当E是AD的中点时，BE=CE，

∵BE=2FH，CE=2FG，

∴FH=FG，同理，EG=EH，

∵BE=2FH，BG=GE，

∴FH=GE，同理，FG=EH，

∴EH=HF=FG=GE，

∴四边形11.证明：(1)如图1，连接DF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴DA=DC，∠A=∠C=90°，

∵点A关于直线DE的对称点为F，

∴△ADE≌△FDE，

∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°，

∴∠DFG=90°，

在Rt△DFG和Rt△DCG中，

∵DF=DCDG=DG，

∴Rt△DFG≌Rt△DCG(HL)，

∴GF=GC；

(2)BH=2AE，理由是：

证法一：如图2，在线段AD上截取AM，使AM=AE，

∵AD=AB，

∴DM=BE，

由(1)知：∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠ADC=90°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，

∴2∠2+2∠3=90°，

∴∠2+∠3=45°，

即∠EDG=45°，

∵EH⊥DE，

∴∠DEH=90°，△DEH是等腰直角三角形，

∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°，DE=EH，

∴∠1=∠BEH，

在△DME和△EBH中，

∵DM=BE∠1=∠BEHDE=EH，

∴△DME≌△EBH，

∴EM=BH，

Rt△AEM中，∠A=90°，AM=AE，

∴EM=2AE，

∴BH=2AE；

证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N，

∴∠ENH=90°，

由方法一可知：DE=EH，∠1=∠NEH，

在△DAE和△ENH中，

∵∠A=∠ENH∠1=∠NEHDE=EH，

∴△DAE≌△ENH，

∴AE=HN，AD=EN，

∵AD=AB，

∴AB=EN=AE+BE=BE+BN12.(1)证明：∵AD/​/BC

∴∠QDM=∠PCM

∵M是CD的中点，

∴DM=CM，

∵∠DMQ=∠CMP，

在△PCM和△QDM中

∵∠QDM=∠PCMDM=CM∠DMQ=∠CMP，

∴△PCM≌△QDM(ASA)．

(2)解：当四边形ABPQ是平行四边形时，PB=AQ，

∵BC−CP=AD+QD，

∴9−CP=5+CP，

∴CP=(9−5)÷2=2．

∴当PC=213.解：取AB的中点O，连接OH，OD，如图所示，∵∠AHB=90°，∴OH=1∵OD=2当O，D，H三点重合时，在一条直线上时，DH长度最小，线段DH长度的最小值是5−1

14.解：(1)垂直，相等；

(2)当点D在BC的延长线上时①中的结论仍成立．

理由：∵四边形ADEF是正方形，

∴∠DAF=90°，AD=AF，

∴∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，

即∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

AB=AC∠BAD=∠CAFAD=AF,

∴△BAD≌△CAF(SAS)，

∴CF=BD，

∴∠B=∠ACF，

∵∠B+∠BCA=90°，

∴∠BCA+∠ACF=90°，

15.解：(1)AP=BQ．

理由：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，

∴∠ABQ+∠CBQ=90°．

∵BQ⊥AP，∴∠PAB+∠QBA=90°，

∴∠PAB=∠CBQ．

在△PBA和△QCB中，

∠PAB=∠CBQAB=BC∠ABP=∠BCQ，

∴△PBA≌△QCB，

∴AP=BQ；

(2)过点Q作QH⊥AB于H，如图．

∵四边形ABCD是正方