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矩阵论电子教程2021/5/91

矩阵的分解第四章2

§4.4单纯矩阵的谱分解定理1:

设是一个阶可对角化的矩阵，相异特征值为，则使得:此式称为A的谱分解称为A的谱族且满足:2021/5/93分析:设是的代数重复度则:2021/5/94证明(1)

因为所以:证明(2)2021/5/95(3)由得同理可得证明:而:,所以:证明:证明:(5)

假设A有谱分解和2021/5/96则由(3)知:由于,所以:同理可得:因为因为所以,唯一性得证2021/5/97

可对角化矩阵的谱分解步骤：（1）首先求出矩阵的全部互异特征值及每个特征值所决定的线性无关特征向量（3）令:（2）写出（4）最后写出2021/5/98例1：已知矩阵为一个可对角化矩阵，求其谱分解表达式。解:

首先求出矩阵的特征值与特征向量。容易计算从而的特征值为

可以求出分别属于这三个特征值的三个线性无关的特征向量:2021/5/99于是2021/5/910取令那么其谱分解表达式为2021/5/911正规阵的谱分解:设为正规矩阵，那么存在使得:

其中是矩阵的特征值所对应的单位特征向量。我们称上式为正规矩阵的谱分解表达式。2021/5/912

设正规矩阵有个互异的特征值，特征值的代数重数为，所对应的个两两正交的单位特征向量为,则的谱分解表达式又可以写成其中，并且显然有:2021/5/913（6）满足上述性质的矩阵是唯一的。我们称为正交投影矩阵。即对于正规阵,满足如下6条:推论1

设是一个阶可对角化的矩阵，谱分解为:,若:则有2021/5/914解：首先求出矩阵的特征值与特征向量。容易计算例2：求正规矩阵的谱分解表达式。从而的特征值为2021/5/915当时，求得三个线性无关的特征向量为

当时，求得一个线性无关的特征向量为将正交化与单位化可得2021/5/916将单位化可得：2021/5/917于是有2021/5/918这样可得其谱分解表达式为2021/5/919解：首先求出矩阵的特征值与特征向量。求正规矩阵的谱分解表达式。练习从而的特征值为

可以求出分别属于这三个特征值的三个线性无关的特征向量:2021/5/920再将其单位化可得三个标准正交的特征向量202

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