第2章-系统的数学模型(拉普拉斯变换)

数学工具----Laplace变换

1、Laplace变换定义常见函数的拉普拉斯变换2、拉普拉斯变换性质3、拉普拉斯逆变换4、求解微分方程

拉氏变换是研究线性动力学系统的有力数学工具，它将时域的微分方程转化为复数域的代数方程，即：时域（微分方程）复数域（代数方程）1.Laplace变换定义1定义与基本变换拉氏变换的定义函数f(t)的拉氏变换，像原像拉氏变换运算符复变量单边拉氏变换，隐含着当t<0，f(t)=0在求取拉普拉斯变换时，s看成常数。例1指数函数在复平面上有一个极点1定义与基本变换例2阶跃函数f(t)A0t注意：A=1，称其为单位阶跃函数，记为1(t)。阶跃函数相当于在t=0处将一个不变信号突然加到系统上。1定义与基本变换例3斜坡函数f(t)t0A1注意：A=1，称其为单位斜坡函数。1定义与基本变换例4正弦函数注意：用到尤拉公式余弦函数的拉氏变换可类似求得1定义与基本变换A例5脉冲函数01定义与基本变换单位脉冲函数的拉氏变换为11.线性定理：该定理表示：①常数与原函数乘积的拉氏变换等于常数与该原函数的拉氏变换的乘积。②若干原函数之代数和的拉氏变换等于各原函数拉氏变换之代数和。2.延迟定理：3.位移定理：2拉普拉斯变换性质微分定理零初始条件下零初始条件下同样：由微分方程求传递函数2拉普拉斯变换性质积分定理零初始条件下2拉普拉斯变换性质当在n重积分，零初始条件下初值定理2拉普拉斯变换性质终值定理求稳态误差若函数f(t)的拉氏变换为F(s)若函数f(t)的拉氏变换为F(s)卷积定理卷积则即：两个原函数卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。2拉普拉斯变换性质例

求下面函数的拉普拉斯变换：解：2拉普拉斯变换性质例已知时间函数f(t)的拉普拉斯变换F(s)为试求的值

3拉普拉斯反变换

对于任何时间连续的时间函数来说，它与拉普拉斯变换之间保持唯一的对应关系。

一一对应f(t)F(s)3拉普拉斯反变换部分分式展开法：把F(s)拆解成很多简单项的和，而简单项逆拉普拉斯容易得到1)只包含不同极点的F(s)的部分分式展开3拉普拉斯反变换

求的拉氏反变换。解:留数法待定系数法常用不常用查表例题3拉普拉斯反变换例：求下列函数的反拉普拉斯变换如果分子阶次大于分母阶次，则可以采用长除法进行化简例：求下列函数的反拉普拉斯变换对于特征根为复数情况，利用衰减正弦函数和衰减余弦函数来进行求逆，更为简单。3拉普拉斯反变换2)F(s)有共轭复极点解：3)包含多重极点的F(s)的部分分式展开3拉普拉斯反变换解：拉氏反变换4求解线性微分方程一般步骤是：1.对线性微分方程的每一项进行拉氏变换，使微分方程变成以s变量的代数方程；2.求解代数方程，得到输出变量象函数的表达式；3.将象函数展开成部分分式；4.对部分分式进行拉氏反变换，得到微分方程的解。4求解线性微分方程f(t)F(s)f(t)F(s)f(t)F(s)Laplace变换：小结习题求下列函数f(t)的拉氏变换

1)f(t)=t^22)f(t)=sin(t/2)3)f(t)=(t^n)*(e^(at))4)f(t)=(t-1)^2)*(e^(2t))

2.试求下列函数的拉氏反变换3.试求解下列微分方程，第2章控制系统的数学模型§2.2拉氏变换及反变换§2.3传递函数及基本环节的传递函数§2.4系统框图及其简化§2.1控制系统的微分方程重点是微分方程、传递函数、拉普拉斯变换及反变换、解微分方程、化简传递函数方框图；难点是建立微分方程及化简传递函数方框图。

数学模型：描述控制系统输入变量、输出变量和内部变量之间关系的数学表达式，称为系统的数学模型。意义：通过数学模型，在理论上掌握系统在一定的输入作用下的运动规律以及稳定情况和动态过程。①微分方程②传递函数③状态方程形式微分方程是最基本数学模型，是其他两种的基础一、建立微分方程的一般步骤(1)确定输入量、输出量和扰动量，并根据需要引进一些中间变量。(2)根据物理或化学定律，列出微分方程。(3)消去中间变量后得到描述输出量与输入量(包括扰动量)关系的微分方程（标准形式）。输入量在等号的右边，输出量在等号的左边，均按降次排列实例1：RLC网络左图是由电阻R、电感L和电容C组成的无源网络，研究以外加电压Ui(t)为输入，电容上电压Uo(t)为输出的微分方程解：设流过电感L的电流为i(t)

则：消去电流为i(t)实例2：弹簧-质量-阻尼系统系统的微分方程建立M：质量f：粘性摩擦系数(摩擦力与物体运动速度的比值

)k：弹簧弹性因数

1.输入量F（Force）,输出量y。2.由牛顿第二定律3.标准化令：假设：1、忽略物体m所受的重力2、阻尼力为干性摩擦3、弹簧的伸长在弹性限度内4、不考虑弹簧质量物理系统的相似性2阶系统

许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样可以用一个运动方程来表示，称它们为结构相似系统上例的机械平移系统和RLC电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的数学模型。一般n阶线性定常（时不变）系统微分方程的通式为：其中，y(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，m<n。ai，bi(i=0,1,…,n;j=0,1,…,m)

均为实数，是由系统本身的结构参数所决定。非线性微分方程的线性化0xyf(x)x0x0+Δxy0y0+Δy实际物理系统都是存在非线性的，从模型的准确出发，应使用非线性方程来描述，但这又增加了模型复杂性;而且解析法求解非线性微分方程十分困难。在工程上通常将非线性微分方程线性化线性微分方程非线性方程y=f(x),在工作点(x0，y0)连续可微,泰勒级数展开令

式中，Δy=KΔx则线性化方程为线性方程§2.3传递函数一.传递函数的定义和概念二.传递函数的性质三.求系统的传递函数用微分方程来描述系统比较直观，但是一旦系统中某个参数发生变化或者结构发生变化，就需要重新排列微分方程，不便于系统的分析与设计。为此提出传递函数的概念。以[例2.1]

RLC电路的微分方程为例：一.传递函数的定义和概念设初始状态为零，对上式进行拉氏变换，得到：G(s)R(s)C(s)定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值称为该系统的传递函数，用G(s)表示。传递函数是经典控制最基本，最重要的概念之一。一般形式：设线性定常系统（元件）的微分方程是：

c(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：控制系统传递函数的一般表达式分母中s的最高阶次n即为系统的阶次

G(s)的分母阶次大于等于分子阶次，即,有理真分式传递函数的多项式形式

传递函数的零极点形式(根轨迹增益形式)

(1)传递函数是一种数学模型，是对微分方程在零初始条件下进行拉氏变换得到的；

(2)传递函数与微分方程一一对应；

(3)传递函数描述了系统的外部特性。不反映系统的内部物理结构的有关信息；

(4)传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入信号的形式和大小无关；

(5)传递函数一旦确定，系统在一定的输入信号下的动态特性就确定了;(6)传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应二、传递函数的特点例1系统运动的微分方程模型为：其中，y为输出，r为输入，请确定系统的传递函数。解：对方程两端取拉氏变换，得：

代入零初始条件，得：

于是，传递函数为：

三、求取系统传递函数例2系统运动的微分方程模型为：其中y为输出，x为中间变量，r为输入，求取系统传递函数。解：将中间变量消除，得：代入零初始条件并作变换，得：

于是，传递函数为：

求取从输入到中间量，从中间量到输出传递函数，也可得到：

例：z1=-2；p1=-3,p2=-1+j,p3=-1-j[S平面]实轴虚轴j-j0-1-2-3jωσ零、极点分布图这些常用的典型环节有比例环节、一阶惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节及延迟环节等。掌握这几种基本环节的数学模型，就能为研究自动控制系统的动态特性奠定基础。四、典型环节的传递函数

一个物理系统是由许多元件组合而成的，虽然元件的结构和作用原理多种多样，但考察其数学模型，却可以划分成为数不多的几种基本类型，称之为典型环节。(1)比例环节（又叫放大环节）方框图C(s)R(s)特点：输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现象。运动方程:c(t)=kr(t)

K——放大系数，通常都是有量纲的。传递函数：比例环节:电子放大器、齿轮、电阻（电位器）、杠杆等。输入：n1(t)——转速Z1——主动轮的齿数

输出：n2(t)——转速Z2——从动轮的齿数(2)积分环节特点：输出量的变化速度和输入量成正比。当输入消失，输出具有记忆功能。运动方程：传递函数：方框图:C(s)R(s)【例】积分电路输入为r(t)，输出为c(t)

传递函数：其它积分环节：电动机角度与角速度间的传递函数、电容器充电。(3)惯性环节(又叫非周期环节)

特点：此环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。运动方程：传递函数：方框图:C(s)R(s)【例】RC电路输入为vi，输出为vo传递函数：思考：如果输入为v1，输出为电阻电压，其传递函数还是惯性环节吗？。

传递函数与系统的输入输出的位置有关；ui

uo

R

C （4）微分环节①理想微分环节：特点：动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度。运动方程：传递函数：方框图:C(s)R(s)②实际微分环节特点：理想微分在实际中是不存在的。在实际得到应用的多为实际微分环节。传递函数：方框图:C(s)R(s)运动方程：③一阶微分环节特点：此环节的输出量不仅与输入量本身有关，而且与输入量的变化率有关。传递函数：方框图:C(s)R(s)运动方程：（5）二阶振荡环节特点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。运动方程：传递函数：方框图:C(s)R(s)【例】

RLC网络

弹簧-质量-阻尼系统。（6）延迟环节（滞后环节）特点：输出量能准确复现输入量，但需要延迟一固定时间间隔τ。运动方程：传递函数：方框图:C(s)R(s)【例】

皮带运输机§2.4系统框图及其简化本节的难点：框图的变换法则及实际应用本节重点：框图的定义及相关概念框图的变换法则控制系统的传递函数－Ur－－UcU1I1I2描述系统及各组成元件之间信号传递关系的数学图形，它表示系统中各变量之间的因果关系及各变量所进行的数学运算，这种图形称为方框(块)图。它由综合点、引出点、(函数)方框和有向线段(信号线)组成。综合点引出点函数方框有向线段一.系统方框图方框图的基本组成1、信号线：有箭头的直线，箭头表示信号传递方向。2、引出点：信号引出或测量的位置。从同一信号线上引出的信号，数值和性质完全相同3、综合点：对两个或两个以上的信号进行代数运算，“＋”表示相加，常省略，“－”表示相减。4、方框：表示典型环节或其组合，框内为对应的传递函数，两侧为输入、输出信号线。系统方框图的建立例：建立如图所示的双T网络的动态结构图。1）建立各元件的微分方程2）将各元件的微分方程进行拉氏变换3）绘出系统的动态结构图按照变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来作用：1）直观形象的分析变量之间的关系

2）方便求解传递函数系统的传递函数求取?等效变换的目的:

化简结构图，求出系统的总传递函数，便于分析设计系统。等效变换原则:

变换前后有关部分的输入量、输出量之间的数学关系(传递函数)保持不变。三种基本连接形式：串联、并联、反馈信号引出点和／或综合点的移动两种等效变换方式：方框的合并二.等效变换法则

1)串联连接

特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量。Ｒ(s)D(s)C(s)(a)Ｒ(s)C(s)(b)结论：环节串联的等效传递函数等于各串联连接传递函数的乘积。(n为相串联的环节数)D(s)＝G1(s)R(s)C(s)＝G2(s)D(s)C(s)＝G2(s)G1(s)R(s)

2)并联连接特点：各环节的输入信号是相同的，均为R(s)，输出C(s)为各环节的输出之和。Ｒ(s)C(s)(n为相并联的环节数，包括“-”的情况)C1(s)＝G1(s)R(s)C2(s)＝G2(s)R(s)

Ｒ(s)C1(s)C(s)±C2(s)C(s)＝C1(s)+C2(s)＝[G1(s)+G2(s)]R(s)结论：环节并联的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和。3)反馈连接

R(s)C(s)R(s)C(s)±B(s)E(s)

特点：输入信号R(s)有与反馈信号B(s)在综合点代数相加，所得信号作为前向通道G(s)方框的输入信号。

C(s)＝G

(s)[R(s)±H(s)C(s)]结论：C

(s)＝G

(s)E(s)B(s)＝H(s)C(s)E(s)＝R(s)±B(s)“-”对应正反馈“+”对应负反馈以后一般采用Ф(s)表示闭环传递函数开环传递函数前向通路传递函数单位反馈对于单位反馈有：误差传递函数二.等效变换法则4)引出点前移：引出点从方框的输出端移到输入端

5)引出点后移：引出点从方框的输入端移到输出端

R(s)C(s)(a)C(s)R(s)C(s)(b)C(s)(a)R(s)C(s)R(s)R(s)C(s)(b)R(s)将分支点跨越框图移动时，必须遵循移动前后所得的分支信号保持不变的等效原则。6)综合点前移：综合点从方框的输出端移到输入端R(s)C(s)(a)±X(s)R(s)C(s)(b)±X(s)

C(s)＝R(s)G

(s)±X(s)=[R(s)±X(s)/G

(s)]G

(s)7)综合点后移：综合点从方框的输入端移到输出端

C(s)＝[R(s)±X(s)]G(s)=R(s)G

(s)±X(s)G

(s)R(s)C(s)±(b)X(s)(a)R(s)C(s)±X(s)将比较点跨越框图移动时，应遵循移动前后总输出量保持不变的等效原则。相邻综合点之间可以随意调换位置

相邻综合点移动x1Yx2x3x1Yx2x3注意：相邻引出点和综合点之间不能互换!相邻引出点位置的交换

(b)R(s)R(s)R(s)R(s)(a)R(s)R(s)R(s)R(s)等效变换举例简化系统结构图的步骤：①确定系统的一个输入量与一个输出量，对于多个输入量或输出量，保留其中一个；②移动引出点和/或综合点以便消除交叉连接；③多回路无交叉连接时，应从内回路开始，从里向外进行变换。在移动引出点和/或综合点时，应遵循以下两条原则：①变换前后有关回路中各方框传递函数的乘积应保持不变；②变换前后有关前向通道中各方框传递函数的乘积应保持不变。

[例1]

试化简如图所示系统结构图，求出传递函数Φ(s)=C(s)/R(s)。R(s)C(s)(a)－＋R(s)C(s)(b)－＋等效变换举例R(s)C(s)(c)－R(s)C(s)(b)－＋－等效变换举例等效变换举例R(s)C(s)(c)－－R(s)C(s)(d)－－等效变换举例R(s)C(s)(d)－－R(s)C(s)(e)－等效变换举例(f)R(s)C(s)R(s)C(s)(e)－等效变换举例

[例2]试化简如图所示系统结构图，求出传递函数Φ(s)=C(s)/R(s)。R(s)C(s)(a)－＋－R(s)C(s)(b)－＋－等效变换举例R(s)C(s)(b)－＋－R(s)C(s)(c)－＋－等效变换举例R(s)C(s)(d)－R(s)C(s)(c)－＋－等效变换举例R(s)C(s)(e)R(s)C(s)(d)－确定输入量与输出量。如果作用在系统上的输入量不止一个，则必须分别对每个输入/输出关系逐个化简，令其它输入为零，求得各自的传递函数。在简化过程中必须遵循的原则是，交换前后变量关系保持等效。对多回路结构，可由内向外进行等效变换，直到变换为一个方框为止，即得到所求传递函数1.闭环系统的开环传递函数它是当主反馈回路断开时反馈信号与误差信号之间的传递函数。闭环系统的开环传递函数：三.控制系统的传递函数2.给定输入信号作用下系统的闭环传递函数即假设N(s)=0，输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。3.扰动信号作用下系统的闭环传递函数假设R(s)=0，输出信号C(s)与扰动信号N(s)之比。扰动n(t)作用下系统的闭环传递函数

4.系统的总输出根据线性系统的叠加原理，系统的总输出为给定输入和扰动输入引起的输出的总和。R(s)C(s)－B(s)E(s)＋N(s)5.闭环控制系统的误差传递函数R(s)C(s)－B(s)E(s)＋N(s)R(s)－E(s)r(t)作用下误差输出Ｅ(s)＋N(s)n(t)作用下误差输出R(s)－E(s)N(s)Ｅ(s)＋①r(t)作用下系统的误差传递函数②n(t)作用下系统的误差传递函数③系统的总误差重点：

1.正确理解传递函数的定义、性质及意义。

2.熟练掌握由传递函数派生出来的系统开环传递函数、闭环传递函数、误差传递函数、典型环节传递函数等概念。

3.熟练掌握常用元部件传递函数的求取。

4.熟练掌握控制系统方框图的简化及求简化后系统整体传递函数的方法。难点：1.建立物理对象的微分方程；

2.结构图的等效变换；

本章小结线性定常系统：传递函数模型：用tf

函数建立控制原理中的传递函数单入单出系统的数学模型格式：sys=tf(num,den)说明：num和den分别是传递函数分子多项式系数和分母多项式系数G(s)=s/(s^2+2s+10)>>num=[1,0];den=[1,2,10];Sys=tf(num,den